Индивидуальные задания № 1 Векторная алгебра.
Задания разного уровня сложности.
Задачи необходимо иллюстрировать в MATLAB
1.
Дан правильный шестиугольник 
Точка 
– середина стороны 
Выразить вектор 
через векторы 
.
2.
В параллелограмме 
и 
– середины сторон 
и 
соответственно. Выразить вектор 
через векторы 
3.
В треугольнике 
– биссектриса угла 
Выразить вектор 
через векторы 
и длины этих векторов.
4.
Пусть 
– точка пересечения медиан треугольника
Вычислить сумму 
5.
Дан правильный шестиугольник 
Точка 
– середина стороны 
Разложить вектор 
по базису 
6.
На сторонах
треугольника 
соответственно взяты точки 
и 
такие, что 
Пусть 
– точка пересечения отрезков 
и 
Разложить вектор 
по базису 
7. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Указание.
Пусть 
и 
– высоты, пересекающиеся в точке 
Утверждение будет доказано, если мы
покажем, что 
Переформулируем нашу задачу на языке
скалярного произведения:
дано:
доказать:
8.
В треугольнике
проведена высота 
Выразить вектор 
через векторы 
9.
Пусть 
Вычислить:
1) 
2)
3) 
4) 
5) 
Следующие две задачи наглядно показывают возможности скалярного произведения для решения задач элементарной геометрии. Например, для нахождения длин отрезков и для вычисления углов между скрещивающимися прямыми.
10. Все рёбра правильной треугольной призмы равны 1. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух боковых граней призмы.
Решение (см. рис. 17).
11.
Все грани параллелепипеда – ромбы со
стороной 1 и углом 
Найти наибольшую диагональ параллелепипеда.
Дан правильный шестиугольник
Точка 
– середина стороны 
Выразить вектор 
через векторы 
Точка
– центр правильного шестиугольника 
Выразить вектор 
через векторы 
В треугольнике
Из точки 
опущена высота 
Разложить вектор 
по базису 
В треугольнике
проведены медианы 
и 
пересекающиеся в точке 
Разложить вектор 
по базису 
В параллелограмме
точка 
– середина стороны 
Разложить вектор 
по базису 
Доказать, что в любой трапеции следующие 4 точки лежат на одной прямой: середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон.
Пусть
– точка пересечения медиан треугольника
а 
– произвольная точка. Доказать, что 
Пусть
и 
– треугольники, 
и 
– точки пересечения медиан этих
треугольников соответственно. Выразить
вектор 
через векторы 
и 
Дан параллелепипед
Разложить вектор 
по базису 
Список рекомендуемой литературы
А. Кривелёв. Основы компьютерной математики с использованием системы MatLab. М, 2005.
В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Аналитическая геометрия. М.,Наука,2001, Шифр - 514.12(075.8) И-46.
Ржавинская Е.В., Соколова Т.В., Олейник Т.А. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, М.,МИЭТ. 2007.
Сборник задач по математике для втузов под редакцией А.В.Ефимова, А.С.Поспелова. В 4 частях. Часть 1.(4-е изд. перераб. и доп.)2001, 2004.