43

Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)

А. И. Литвинов

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

для самостоятельной работы студентов

по курсу «Линейная алгебра»

Утверждено методическим советом каф. ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

МИЭТ, 2010 г.

—————————————————————————————————

Хочешь понять лучше – попробуй решать!!!

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Линейная алгебра», преподаваемого на первом курсе факультета ЭТМО. Учитывается специфика факультета, направленность профессионального обучения бу­дущих инженеров-технологов.

Хотя основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор за­дач для самостоятельной доработки материала Предмета, по каждой теме представ­лена общая схема решения задачи и приведен частный пример применения общей схемы. Считаем важным также отработку принципов оформления материала по решён­ным задачам (домашние задания, контрольные работы и т.п.): инженер-технолог должен вырабатывать профессиональное восприятие оформления документа по любой разра­ботанной им задаче-технологии.

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

Часть 1. Аналитическая геометрия (АГ):

§ 1. Векторы. Операции с векторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

§ 2. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Часть 2. Линейная алгебра (ЛА):

§ 4. Определители: вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 5. Матрицы: операции с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 6. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 7. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 8. Линейные преобразования (операторы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 9. Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 10. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Терпенье и труд все перетрут!!!

§ 1. Векторы. Операции с векторами.

1.1. Дана система векторов: , , , . Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и все век­торы системы, не входящие в этот базис, выразить через векторы базиса.

Общие сведения. Базисом называют:

1^*. На прямой: любой ненулевой вектор . Всякий вектор , лежащий на этой прямой, мо­жет быть представлен в виде: = · , число – координата относительно этого ба­зиса.

2^*. На плоскости: любая пара неколлинеарных векторов , . Всякий вектор , лежащий в этой плоскости, может быть представлен в виде: = · + · , числа – коорди­наты относительно этого базиса.

3^*. В пространстве: любые три вектора , , , если они не компланарны. Всякий вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: = · + · + · , где , , –координаты вектора относительно этого базиса.

Так как пространство можно рассматривать как общий случай 3-мерного пространства, а плоскость и прямую как частные случаи, то решать задачу будем для 3-мерных векторов.

Общая схема решения задачи:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов.

2). Если базис выделен, записываем линейную комбинацию: = · + · + · .

3). Решая систему уравнений, вычисляем неизвестные: , , .

4). Оформляем ответ.

Примеры (и образец оформления):

Пример-1^*: Заданы векторы: =(1), =(3), =(2). Найти какой-нибудь базис этой системы векто­ров и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой прямой, то признаком существования базиса является присутствие в совокупности векторов , , ненулевого вектора.

2). В качестве базиса примем вектор . Тогда можем записать: = · , = · .

3). Решаем уравнения: (3)= ·(1); (2)= ·(1), то есть уравнения: 3 = ·1; 2 = ·1, из чего следует: =3; =2.

Ответ: один из базисов: ; тогда: =3 , =2 .

Пример-2^*: Заданы векторы: =(1,2), =(3,1), =(2,3). Найти какой-нибудь базис этой системы век­торов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой плоскости, то признаком существова­ния базиса является наличие в совокупности векторов , , хотя бы двух неколлинеарных векторов. В нашем случае среди заданных векторов нет коллинеарных. Это значит: любая пара векторов из заданной совокупности векторов может быть принята в качестве базиса.

2). В качестве базиса примем векторы и . Тогда можем записать: = · + · , то есть: ·(1,2)+ · (3,1)=(2,3). Используя свойства линейных операций с векторами, представим по­следнее равенство в виде: ( ·1+ ·3; ·2+ ·1)= (2,3), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы уравнений: . Тогда можем записать: = .

Ответ: один из базисов: , ; тогда: = .

Пример-3^*: Заданы векторы: =(3,1,2), =(1,3,1) , =(-1,2,4) , =(-2,4,7). Найти какой-нибудь ба­зис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторому пространству, то признаком сущест­вования базиса является наличие в совокупности векторов , , , хотя бы трёх некомпла­нарных векторов. Так как векторы , неколлинеарные, то будем проверять тройки векто­ров , , и , , , используя понятие смешанного произведения:

= = = 35 0, = = = -40 0.

2). В качестве базиса может быть принята любая из троек векторов из заданной системы векто­ров. Примем в качестве базиса тройку векторы , , . Тогда можем записать: = · + · + · , то есть: ·(3,1,2)+ ·(1,3,1)+ ·(-1,2,4)=(-2,4,7). Используя свойства ли­нейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: ( ·3+ ·1– ·1; ·1+ ·3+ ·2; ·2+ ·1+ ·4)=(-2,4,7), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы: . Тогда можем записать: = · + · + · .

Ответ: один из базисов: , , ; тогда: = · + · + · .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	=(3,1,2), =(1,3,1), =(-1,2,4), =(-2,4,7).	16.	=(2,3,1), =(2,2,3), =(4,1,2), =(8,0,5).
2.	=(1,3,0), =(2,-1,1), =(1,-1,2), =(6,12,-1).	17.	=(4,2,3), =(3,2,-1), =(4,1,2), =(3,1,8).
3.	=(2,1,-1), =(4,3,2), =(1,-1,1), =(1,-4,4).	18.	=(1,2,-1), =(3,0,2), =(-1,1,1), =(8,1,12).
4.	=(4,1,1), =(2,-1,-3), =(-1,2,1), =(-9,5,5).	19.	=(1,4,1), =(-3,2,0), =(1,-1,2), =(-9,-8,-3).
5.	=(-2,3,1), =(1,3,-1), =(2,4,1), =(-5,-5,5).	20.	=(2,1,-2), =(3,-1,1), =(4,1,0), =(-5,9,-13).
6.	=(5,1,1), =(2,-1,3), =(1,2,-1), =(13,,7).	21.	=(0,5,1), =(3,2,-1), =(-1,1,0), =(-15,5,6).
7.	=(3,2,1), =(-2,2,1), =(3,1,-1), =(6,12,-1).	22.	=(2,2,-1), =(0,-2,1), =(1,3,1), =(8,9,4).
8.	=(3,1,2), =(2,1,1), =(2,-1,4), =(3,-3,4).	23.	=(2,2,1), =(1,-2,0), =(-3,2,5), =(3,-4,0).
9.	=(4,2,1), =(-1,2,1), =(-1,1,2), =(3,3,-1).	24.	=(2,1,3), =(3,5,3), =(4,2,1), =(3,1,3).
10.	=(-1,2,1), =(2,1,3), =(1,1,-1), =(-1,7,4).	25.	=(2,3,1), =(1,-1,2), =(2,-1,0), =(-1,7,0).
11.	=(1,1,4), =(0,-3,2), =(2,1,-1), =(6,5,-14).	26.	=(1,-1,2), =(3,2,0), =(-1,1,1), =(11,-1,4).
12.	=(1,-2,0), =(1,1,3), =(1,1,4), =(6,-1,7).	27.	=(-1,1,2), =(0,3,2), =(1,-1,1), =(1,3,-1).
13.	=(1,0,5), =(-1,3,2), =(1,-1,1), =(5,15,0).	28.	=(2,1,3), =(-1,0,4), =(3,2,4), =(4,1,3).
14.	=(1,3,2), =(0,-1,2), =(3,3,4), =(2,-1,11).	29.	=(-3,2,4), =(-2,0,1), =(2,3,1), =(3,-2,0).
15.	=(1,-1,2), =(-1,0,1), =(2,5,-3), =(11,5,-3).	30.	=(5,1,3), =(0,1,2), =(-1,1,1), =(1,1,1).

1.2. Заданы точки A,B,C,D в правой системе координат. Вычислить указанные в заданиях величины с точностью 0.001.

а) проекцию вектора на вектор ;

б) площадь треугольника ABC;

в) объём тетраэдра .

Общие сведения: по всем представленным заданиям:

1). Для удобства применения необходимых выражений обозначим: A= , B= , C= , D= . Тогда можем записать выражения для векторов, используемые во всех названных за­дачах: =B–A= = ;

=D–A= = .

=C–A= = .

2). Теперь приступим к решению задач, применяя формулы из общей теории.

а)^*. Заданы векторы и . Требуется найти проекцию вектора на направление, определяе­мое вектором . Из выражения для скалярного произведения заданных векто­ров: проекция вектора на направление может быть вычислена по формуле: = . Рисунки иллюстрируют формулы:

Для векторов, заданных в координатной форме, запишем необходимые для вычисления выражения:

= ;

б)^*. Заданы векторы и . Требуется найти площадь треугольника, образованного векто­рами и . Известно, что площадь параллелограмма, заданного векторами и , опреде­ляется выражением: , где – модуль векторного произведе­ния векторов и . Для решаемой задачи это значит, что площадь треугольника, постро­енного на векторах и , можно вычислять по формуле:

, где = = = ∙ – ∙j + ∙k,

где – единичные векторы, определяющие направления осей правой прямоугольной системы координат .

в)^*. При вычислении объёма тетраэдра важно вспомнить, что , где – объём параллелепипеда. В задании требуется вычислить объём , определяемого тремя векторами , , . Но этими же векторами определяется параллелепипед, объём которого вычисляется при помощи смешанного (векторно-скалярного) произведения этих векторов. Для иллюстрации используемых при решении задачи формул удобно привести все векторы к общей точке: так как векторы свободные, то от этого они не изменяются. На рисунке показаны все участвующие в формулах элементы.

И меем: ( x )∙ = ∙ = ∙ = ∙ , где | |=H, причём =H, если тройка векторов – правая и =–H, если – левая. Из этой фор­мулы следует: ( x )∙ =V – объём параллеле­пи­педа, но со знаком.

Так как в задании требуется вычислить только объём, то независимо от того, какая тройка используется в вариантах задания, все используют формулу: |( x )∙ |=|V|.

Итак, имеем векторы , , . Вычисляем:

( x )∙ = – + = = .

Записываем окончательную формулу: = |( x )∙ |.

Примеры (и образец оформления):

Общая часть. Пусть имеем точки A= =(1,2,0), B= =(1,1,2), C= =(2,3,1), D= =(0,1,-1). Построим векторы: =B–A= = = (0,-1, 2);

=D–A= = =(-1,-1,-1).

=C–A= = =(1,1,1);

2). Теперь приступим к решению задач, применяя необходимые формулы.

Пример- а)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2), =(-1,-1,-1). Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором .

Решение:

1). Воспользуемся формулой: = .

2). Вычислим: = = =–1.

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = = =– =–0.577350269... При заданной точности вычислений при­мем: =–0.577.

Ответ: =–0.577.

Пример- б)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2), =(1,1,1). Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и .

Решение:

1). Общая формула: , где = = = ∙ – ∙ + ∙ .

2). Вычислим: = = ∙ – ∙ + ∙ =–3 +2 – .

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = =1.87082869... При заданной точности вычислений примем: =1.871.

Ответ: =1.871.

Пример- в)^*: Заданы векторы: =(0,-1,2), =(-1,-1,-1) , =(1,1,1). В задании требуется вычислить объём тетраэдра , определяемого тремя векторами , , .

Решение:

1). Общая формула: = .

2). Вычислим: = = =0 – векторы , , компланарны.

3). Вычислим: |( x )∙ |=0.

4). Вычислим: =0. При заданной точности вычислений примем: =0.000.

Ответ: =0.000.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	A=(1,3,6),B=(2,2,1),C=(-1,0,1),D=(-4,6,3).	16.	A=(1,5,-7),B=(-3,6,3),C=(-2,7,3),D=(-4,8,-12).
2.	A=(-4,2,6),B=(2,-3,0),C=(-10,5,8),D=(-5,2,4).	17.	A=(-3,4,-7),B=(1,5,-4),C=(-5,-2,0),D=(2,5,4).
3.	A=(7,4,2),B=(7,-1,-2),C=(3,3,1),D=(-4,2,1).	18.	A=(-1,2,-3),B=(4,-1,0),C=(2,1,-2),D=(3,4,5).
4.	A=(2,1,4),B=(-1,5,-2),C=(-7,3,2),D=(-6,-3,6).	19.	A=(4,-1,3),B=(-2,1,0),C=(0,-5,1),D=(3,2,-6).
5.	A=(-1,-5,2),B=(-6,0,3),C=(3,6,-3),D=(-10,6,7).	20.	A=(1,-1,1)B=(-2,0,3),C=(2,1,-1),D=(2,-2,4).
6.	A=(0,-1,-1),B=(-2,3,5),C=(1,5,-9),D=(-1,-6,3).	21.	A=(1,2,0),B=(1,-1,2),C=(0,1,-1),D=(-3,0,1).
7.	A=(5,2,0),B=(2,5,0),C=(1,2,4),D=(-1,1,1).	22.	A=(1,0,2),B=(1,2,-1),C=(2,-2,1),D=(2,1,0).
8.	A=(2,-1,-2),B=(1,2,1),C=(5,0,-6),D=(-10,9,-7).	23.	A=(1,2,-3),B=(1,0,1),C=(-2,-1,6),D=(0,-5,-4).
9.	A=(-2,0,-4),B=(-1,7,1),C=(4,-8,-4),D=(1,-4,6).	24.	A=(3,10,-1),B=(-2,3,-5),C=(-6,0,-3),D=(1,-1,2).
10.	A=(4,4,5),B=(-5,-3,2),C=(-2,-6,-3),D=(-2,2,-1).	25.	A=(-1,2,4),B=(-1,-2,-4),C=(3,0,-1),D=(7,-3,1).
11.	A=(1,2,0),B=(3,0,-3),C=(5,2,6),D=(8,4,-9).	26.	A=(0,-3,1),B=(-4,1,2),C=(2,-1,5),D=(3,1,-4).
12.	A=(2,-1,2),B=(1,2,-1),C=(3,2,1),D=(-4,2,5).	27.	A=(-1,0,3),B=(4,2,1),C=(-3,-1,0),D=(4,1,5).
13.	A=(1,1,2),B=(-1,1,3),C=(2,-2,4),D=(-1,0,-2).	28.	A=(2,4,-2),B=(0,1,-3),C=(1,4,7),D=(-3,0,5).
14.	A=(2,3,1),B=(4,1,-2),C=(6,3,7),D=(7,5,-3).	29.	A=(-1,0,2),B=(3,7,1),C=(1,2,5),D=(-4,0,1).
15.	A=(1,1,-1),B=(2,3,1),C=(3,2,1),D=(5,9,-8).	30.	A=(2,3,4),B=(-5,1,0),C=(2,7,1),D=(-3,0,5).