§ 3. Плоскость и прямая в пространстве.
3.1. Даны координаты точки и уравнение плоскости: . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно плоскости нам необходимо провести через точку прямую , перпендикулярную этой плоскости и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .
И так, пусть имеем: точку = и плоскость : . Это определяет вектор = нормали плоскости. Так как этот вектор параллелен прямой , то его можно принять в качестве направляющего вектора прямой = в каноническом уравнении прямой: = = = . Одновременно запишем уравнение прямой в виде параметрических уравнений: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы: точка =(1,0,1) и плоскость : . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение:
1) Выделим вектор нормали заданной плоскости: =(4,6,4)=2(2,3,2). Примем: =(2,3,2).
2). Решим уравнение: → = .
3). Вычислим координаты точки : = .
4). Вычислим координаты точки = =2 –(1,0,1)=(3,3,3).
Ответ: =(3,3,3).
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
||
1. |
|
. |
16. |
|
. |
2. |
|
. |
17. |
|
. |
3. |
|
. |
18. |
|
. |
4. |
|
. |
19. |
|
. |
5. |
|
. |
20. |
|
. |
6. |
|
. |
21. |
|
. |
7. |
|
. |
22. |
|
. |
8. |
|
. |
23. |
|
. |
9. |
|
. |
24. |
|
|
10. |
|
. |
25. |
|
. |
11. |
|
. |
26. |
|
|
12. |
|
. |
27. |
|
. |
13. |
|
. |
28. |
|
. |
14. |
|
. |
29. |
|
. |
15. |
|
. |
30. |
|
. |
3.2. Даны координаты точки и уравнение прямой : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно прямой нам необходимо провести через точку плоскость , перпендикулярную этой прямой и найти точку пересечения прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .
Итак, пусть имеем: точку = и прямую . Это определяет направляющий вектор прямой . Его можно принять в качестве вектора нормали плоскости : . Точка и вектор определяют плоскость . Представим уравнение прямой в параметрической форме: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы: точка =(0,-3,2) и прямая : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .
Решение:
1) Определим направляющий вектор прямой : =(1,-1,1). Тогда = =(1,-1,1).
2) Запишем уравнение плоскости : , или .
3). Представим уравнение прямой в параметрической форме: .
4). Решим уравнение: → = .
3). Вычислим координаты точки : = .
4). Вычислим координаты точки = =2 –(0,-3,2)=(1,1,1).
Ответ: =(1,1,1).
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
||
1. |
|
= = . |
16. |
|
= = . |
2. |
|
= = . |
17. |
|
= = . |
3. |
|
= = . |
18. |
|
= = . |
4. |
|
= = . |
19. |
|
= = . |
5. |
|
= = . |
20. |
|
= = . |
6. |
|
= . |
21. |
|
= = . |
7. |
|
= = . |
22. |
|
= = . |
8. |
|
= = . |
23. |
|
= = . |
9. |
|
= = . |
24. |
|
= = . |
10. |
|
= = |
25. |
|
= = . |
11. |
|
= = . |
26. |
|
= = . |
12. |
|
= = . |
27. |
|
= = . |
13. |
|
= = . |
28. |
|
= = |
14. |
|
= = . |
29. |
|
= = . |
15. |
|
= = . |
30. |
|
= = . |
3.3. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые. Если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости. Если прямые скрещиваются, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй прямой.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
П усть имеем уравнения двух прямых:
: = = ,
: = = .
Из уравнений прямых следуют координаты точек: = , = , и векторов: = , = .
Кратко представим названные условия задачи:
1*: Если прямые и параллельны, то || , то есть = .
2*: Прямые и пересекаются, если смешанное произведение: =0.
3*: Прямые и скрещивающиеся, если смешанное произведение: 0.
Рассмотрим продолжение решения задачи в каждом из возможных случаев.
Случай 1*. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .
Случай 2*. Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .
Случай 3*. Если прямые скрещивающиеся, то примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение для : .
Замечание: в каждом из возможных случаев приходим к построению одной и той же плоскости: трудоёмкость вычислений и оформления во всех вариантах одинаковы.
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы прямые : = = и : = = . Необходимо исследовать их взаимное положение и построить оговоренную плоскость.
Решение:
1) Из уравнений прямых следует: =(1,2,3), =(0,18,0), =(2,3,1), =(3,1,2).
2) Построим вектор: = – =(0,18,0)– (1,2,3)=(-1,16,-3).
3). Так как векторы и не параллельны, то и прямые и не параллельны.
4). Вычислим смешанное произведение векторов: = , применяя любой из способов вычисления определителя 3-го порядка. В рассматриваемом примере получаем: = =0 → прямые и пересекаются.
3). Примем для использования в уравнении плоскости : = =(1,2,3) и вычислим векторное произведение векторов и : = x = = = =(5,-1,-7).
4). Запишем уравнение требуемой плоскости : для рассматриваемого примера:
Ответ: прямые и пересекаются; уравнение плоскости: .
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
|
1. |
= = . |
= = . |
2. |
= = . |
= = . |
3. |
= = . |
= = . |
4. |
= = . |
= = . |
5. |
= = . |
= = . |
6. |
= = . |
= . |
7. |
= = . |
= = . |
8. |
= = . |
= = . |
9. |
= = . |
= = . |
10. |
= = . |
= = . |
11. |
= = . |
= = . |
12. |
= = . |
= = . |
13. |
= = . |
= = . |
14. |
= = . |
= = . |
15. |
= = . |
= = . |
16. |
= = . |
= = . |
17. |
= = . |
= = . |
18. |
= = . |
= = . |
19. |
= = . |
= = . |
20. |
= = . |
= = . |
21. |
= = . |
= = . |
22. |
= = . |
= = . |
23. |
= = . |
= = . |
24. |
= = . |
= = . |
25. |
= = . |
= = . |
26. |
= = . |
= = . |
27. |
= = . |
= = . |
28. |
= = . |
= = . |
29. |
= = . |
= = . |
30. |
= = . |
= = . |