Решение.

Для того, чтобы сделать вывод о случайности или существенности расхождений двух выборочных средних (или долей), абсолютную разность пока-

зателей ~х1 − ~х2 сопоставляют со средней ошибкой разности, которую рассчитывают по формуле: μ = μ12 + μ22 . В случае малой выборки, как в данном при-

мере, расчетное значение доверительного коэффициента t сравнивают с табличным, которое определяется по таблицам распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы и уровне значимости. Число степеней свободы определяют как n1 + n2 −2. Если фактическое значение коэффициента t меньше табличного, расхождения считают случайными.

Для данного примера абсолютная разность выборочных средних:

~х1 − ~х2 = 3,5− 2,1 = 1,4млн.руб.

Средняя ошибка разности:

По таблицам распределения Стьюдента находим, что при заданном уровне значимости (0,05) и числе степеней свободы, равном 15 (10+7-2), tтабл = 2,1315. Т.к. расчетное, фактическое значение t-критерия больше табличного расхождения в значениях выборочных средних размеров месячного товарооборота в продовольственных и непродовольственных магазинах нельзя считать случайными.

В случае когда выборка имеет численность n > 30 , при фактическом значении t < 3 делают вывод о случайности расхождения выборочных характеристик.

Задачи для самостоятельной работы

5.1.

Методом случайной повторной выборки взято 100 проб продукта А. Средняя влажность продукта А в выборке равна 9% при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя влажность продукта А в генеральной совокупности.

5.2.

С вероятностью, близкой к достоверности, определить границы, в которых находится доля брака в генеральной совокупности, если выборочные данные показали 3%, выборка 5%-ная механическая, объемом 700 единиц.

56

5.3.

С целью изучения дневной выработки рабочих завода проведена 10%- ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по размеру дневной выработки:

На основе этих данных вычислите с вероятностью 0,954:

а) предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых ожидается генеральная средняя;

б) предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса рабочих с дневной выработкой от 40 до 50 изделий.

5.4.

Определите с вероятностью 0,954 необходимый объем бесповторной выборки, чтобы относительная ошибка средней не превышала 3%, если коэффициент вариации равен 30%, а выборка производится из генеральной совокупности объемом 1000 единиц.

5.5.

Средняя из групповых дисперсий в генеральной совокупности составляет 49%. Определите, если это возможно, на сколько средняя ошибка выборки при механическом отборе из этой совокупности при одном и том же объеме выборки будет больше ошибки типической выборки.

5.6.

Организуется выборочное наблюдение, задачей которого является определение доли бездетных семей в городе. При этом возможны следующие способы отбора:

а) отбирать каждый пятидесятый многоквартирный дом и в каждом из них проводить сплошное обследование;

б) отбирать каждую пятидесятую семью из общего списка семей; в) совокупность семей разделить на группы по районам города и отбор

семей производится пропорционально численности групп.

При каком из приведенных выше способов отбора ошибка выборки будет меньше?

57

5.7.

Докажите, что средняя ошибка доли альтернативно варьирующего признака при бесповторном собственно-случайном отборе меньше, чем при повторном отборе.

5.8.

В целях контроля состояния счетов коммерческого банка аудиторской фирмой случайно было отобрано 50 счетов. По 20 из отобранных счетов имело место движение денежных средств в течение месяца. С вероятностью 0,99 определите границы, в которых ожидается в генеральной совокупности доля счетов, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.

5.9.

С помощью собственно-случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что ошибка выборочной средней не превысит 0,5 года, если стандартное отклонение равно 2,7 годам?

5.10.

Каким должен быть объем собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с надежность 0,9 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли женщин от доли женщин во всем коллективе фирмы не превышало 0,05, если в прошлом аналогичном обследовании выборочная доля женщин оказалась равной 0,3. Всего в фирме работает 900 человек.

5.11.

Как изменится необходимый объем выборки, если:

а) степень однородности совокупности возрастет в 1,5 раза, уменьшится в 2 раза;

б) вероятность, гарантирующую результат, уменьшить с 0,997 до 0,954?

5.12.

Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт•ч): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50; 125; 115; 112.

С вероятностью 0,98 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был: а) повторным; б) бесповторным.

58

5.13.

Туристической фирмой с целью разработки маршрутов поездок на предстоящий сезон в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано 100 человек из 800 потенциальных клиентов.

По этой выборке определено, что средняя сумма, которую клиенты считают возможным потратить, составляет 1700 у.е.

С какой вероятностью можно гарантировать, что эта сумма будет отличаться от средней суммы в генеральной совокупности не более, чем на 150 у.е., если стандартное отклонение составило 600 у.е.?

5.14.

Как изменится для повторной выборки вероятность, гарантирующая результат при: а) увеличении среднего квадратического отклонения в 2 раза, на 30%; б) уменьшении объема выборки в 1,5 раза, на 10%?

5.15.

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка по цехам с отбором единиц пропорционально численности групп. Получены следующие результаты:

С вероятностью 0,98 определите пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

5.16.

Врайоне 40 тыс. семей рабочих, служащих и фермеров. Для определения среднего числа детей в семье была проведена 5%-ная типическая выборка

спропорциональным отбором. Внутри групп применялся механический отбор.

Врезультате выборки получены следующие данные:

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится среднее число детей в семьях жителей района.

5.17.

Произведен 10%-ный типический отбор рабочих со сдельной и повременной системами оплаты труда. Выборка дала следующие результаты:

Определите:

а) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее, чем на 120% (с вероятностью 0,954);

б) необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее, чем на 120%, чтобы с вероятностью, равной 0,997, предельная ошибка не превышала 1%.

5.18.

По данным задачи 14 определите, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней заработной платы в цехах №1 и №2 (1900 руб. и 2400 руб.) случайными.

5.19.

Определите, в каком случае предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях): при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое корреляционное отношение равно 0,49 при типическом отборе и 0,81 - при серийном?

60

5.20.

При обследовании структуры занятых по организациям города была организована 10%-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

С вероятностью 0,95 определите границы доли женщин в общей численности занятых в бюджетных и коммерческих организациях города.

5.21.

В магазин-склад поступила партия обуви в 60-ти контейнерах по 100 коробок в каждом. Проверка качества обуви на основе 10%-ного серийного случайного бесповторного отбора показала, что доля бракованной обуви в выборке составила 4%. Определить пределы, в которых можно ожидать долю бракованной обуви во всей поступившей партии, с вероятностью 0,997, если межсерийная дисперсия равна 2%.

61