Тема 3. Динамические ряды

Рядом динамики, или динамическим рядом, называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени.

Уровень динамического ряда – это количественное значение признака на определенную дату или за какой-то интервал времени. Уровни ряда могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.

Показатели, характеризующие изменение явления во времени, называются показателями динамики. Это абсолютный прирост, коэффициент (темп) роста, коэффициент (темп) прироста, абсолютное значение 1 процента прироста. Наиболее часто на практике используются первые три показателя.

Решение типовых задач Пример 3.1.

Представлены показатели капитальных вложений предприятия в сопоставимых ценах (показатели динамики рассчитаны цепным способом):

Заполните пробелы в таблице. Рассчитайте среднегодовые показатели динамики.

Рассчитаем уровни соответствующих лет:

23

2006 г.: 36,8 + 1,6 = 38,4 млн. руб.;

2007 г.: 38,4 106,1 = 40,74 млн. руб.; 100

2008 г.: поскольку представлен показатель абсолютного значения 1% прироста в 2009 году, который рассчитывается, как уровень предыдущего года, деленный на 100, то уровень 2008 года будет равен 0,353 · 100 = 35,3 млн. руб.;

2009 г.: 35,3 97,3 = 34,3 млн. руб.; 100

2010 г.: 34,3 (100 − 2,5) = 33,44 млн. руб.; 100

2011 г.: 33,44 – 6,8 = 26,64 млн. руб.

Имея абсолютные уровни динамического ряда, несложно рассчитать все остальные характеристики.

Представленный в таблице ряд динамики – интервальный, т.е. его значения – объем капитальных вложений – рассчитаны накопленным итогом за год. При сложении всех уровней интервального ряда получается тот же объем капитальных вложений, но за более протяженный период времени, в данном случае – за 7 лет. Разделив найденную сумму на 7, получим среднегодовой уровень ряда:

Приведенный выше расчет среднего темпа (коэффициента) роста ориентирован на достижение конечного уровня динамического ряда yn. Когда при

расчете среднего темпа (коэффициента) роста можно ориентироваться только на суммарное значение исследуемого показателя за определенный период, используют так называемую среднюю параболическую:

n

∑yi

где значение k определяется по специальной таблице (см. прил. 2) на ос-

Пример 3.2.

Имеются следующие данные по строительной фирме об объеме выполненных работ за полугодие по сметной стоимости, тыс. руб.:

Определить среднемесячный темп роста объема выполненных работ за второе полугодие.

Решение.

Используем формулу средней параболической. В данном примере отно-

чение, наиболее близкое к полученному отношению (6,357). Это число 6,323,

которому соответствует k =1,015. Это и есть среднемесячный коэффициент роста объема строительных работ за полугодие. Среднемесячный темп роста, таким образом, составлял 101,5%, а темп прироста был равен 101,5% - 100% = 1,5%.

В том случае, когда имеются данные о величине конечного уровня динамического ряда, но она является случайной, нехарактерной для тенденции развития ряда, то расчет среднего темпа (коэффициента) роста по формуле средней параболической более целесообразен.

Пример 3.3.

Имеются следующие данные об объеме продаж овощей в регионе, млн.

т.:

25

Рассчитайте среднегодовой темп роста (снижения) за 2006 - 2011 г.г. (т.е. за 6 лет), ориентированный на

а) достижение фактического уровня 2011 г.

б) достижение общего объема продаж овощей за 2006 - 2011 г.г.

Решение.

а) Если ориентироваться на уровень 2011 г., то среднегодовой темп роста, рассчитанный по формуле средней геометрической по средней геометрической, равен:

Тр = n yn *100% = 6 35 *100% ≈ 99,5% , т. е. y0 36

Ежегодно объем продаж уменьшался в среднем на 0,5%.

б) Общий объем продаж за 6 лет составил 253 млн. т. Если при расчете Тр ориентироваться на его достижение, необходимо применить формулу сред-

значение, близкое 7,028. Это 7,019. Ему соответствует k = 1,045. Т. е. Тр = 104,5%. Таким образом, прирост объема продаж на протяжении исследуемого периода составлял в среднем 4,5% в год.

При анализе уровней динамического ряда очевидно, что точнее характеризует развитие явления средний темп роста, рассчитанный вторым способом.

Важное место в анализе динамических рядов занимает изучение взаимосвязанного варьирования их уровней - корреляция. Измеряют зависимость между колебаниями уровней различных рядов с помощью коэффициента корреляции. Но, поскольку коэффициент корреляции отражает и влияние автокорреляции, то непосредственно по уровням коррелировать можно только те динамические ряды, между уровнями которых отсутствует автокорреляция. В противном случае коррелируют не сами уровни, а их отклонения от тренда, от выравненных теоретических уровней, так называемые остаточные величины.

Пример 3.4.

Имеются следующие данные по предприятию за ряд лет:

26

Измерьте корреляцию между уровнями динамических рядов x и y, т. е. между объемом выпуска продукции и количеством переработанного сырья.

Решение.

Прежде, чем измерять корреляцию между x и y, необходимо каждый из этих рядов проверить на автокорреляцию.

а) проверим на автокорреляцию ряд хt . Для этого параллельно со значе-

ниями хt записывают значения, сдвинутые на единицу, т.е. xt −1 . Чтобы ряд xt −1 не укорачивался, в первую строку его значений записывают последнее значе-

ние хt . При этом средние уровни и стандартные отклонения этих двух рядов

Находим фактическое значение ra факт :

По таблице прил. 3 находим, что для n = 7 и 5%-ном уровне значимости (α = 0,05) табличное значение ra = 0,370. Так как raфакт raтабл , делаем вывод о наличии автокорреляции в ряду х.

б) проверим на автокорреляцию ряд yt :

Так как и в этом случае raфакт raтабл , опять делаем вывод о наличии автокорреляции в ряду y.

Одним из способов исключения влияния автокорреляции является коррелирование остаточных величин: εx = x − xt и εy = y − yt , где xt и yt - вырав-

ненные, теоретические уровни динамических рядов.

Предположив, что объем выпуска продукции предприятием и количество переработанного сырья изменяется во времени по параболе 2-го порядка, произведем аналитическое выравнивание рядов x и y, и рассчитаем xt и yt .

а) уравнение параболы 2-го порядка: xt = a0 + a1t + a2t 2 . Для расчета параметров a0 ,a1 и a2 , необходимо решить систему нормальных уравнений, удовлетворяющую требованиям метода наименьших квадратов, которая при ∑t = 0 , имеет вид:

28

a0 ∑t 2 + a2 ∑t 4 = ∑xt 2

В приведенной ниже таблице сделаны все необходимые для решения системы нормальных уравнений расчеты:

Подставляя полученные суммы в систему уравнений, получаем:

7а0 + 28а2 = 436,828а1 = 71,528а0 +196а2 = 1946

отсюда а0 = 52,928 ; а1 = 2,554 ; а2 = 2,368.

Тогда искомое уравнение тренда xt = 52,928 + 2,554t + 2,36t 2 .

Подставляя в это уравнение значения t, определяем теоретические значения xt (см. графу 8 таблицы). В графе 9 таблицы рассчитаны остаточные величины.

29

б) аналитическое выравнивание ряда y:

Используя расчеты из приведенной выше таблицы, получаем уравнение тренда уt =1,849 + 0,17t + 0,145t 2 . Подставляя в данное уравнение показатели вре-

мени, получаем выравненные значения yt , которые приведены в графе 8 таблицы. Остаточные величины находятся в графе 9.

По ряду причин между остаточными величинами также может существовать автокорреляция и тогда нельзя по их значениям коррелировать динамические ряды. Поэтому далее необходимо проверить каждый ряд на наличие автокорреляции между остаточными величинами. Для этого используют коэффициент автокорреляции для остаточных величин:

n

∑εt εt −1

ra = t =2n

∑εt2

t =1

Все необходимые расчеты для динамического ряда x приведены ниже в таблице:

30

Используя рассчитанные в таблице суммы, получаем: ra = 91,2,958 = 0,032

Таким образом, расчетное значение коэффициента автокорреляции для остаточных величин намного ниже критического табличного значения, что говорит об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах, а также о том, что линия тренда подобрана удачно.

Таблица необходимых расчетов для ряда y:

Используя полученные в таблице суммы, имеем: ra = −0,0,23931193 = −0,499

При 5%-ном уровне значимости табличное значение коэффициента автокорреляции равно -0,674, что, как видим, больше расчетного значения. Таким образом, между остаточными величинами динамического ряда y отсутствует автокорреляция.

Теперь можно измерить зависимость между динамическими рядами x и y по остаточным величинам. Для этого используют коэффициент корреляции между остаточными величинами, который рассчитывают по формуле:

31