Представленные в приложении 1 показатели (данные условные):

1.доходы бюджетов субъектов РФ (млрд. руб.) в 20ХХ г.;

2.розничный товарооборот субъектов РФ (млрд. руб.) в 20ХХ г.;

3.обеспеченность населения собственными легковыми автомобилями (на 1000 чел. населения, на конец года, штук) в 20ХХ г.;

4.объем промышленной продукции (млрд. руб.) в 20ХХ г.;

5.денежные доходы в расчете на душу населения (в среднем в месяц) в 20ХХ г.;

6.объем подрядных работ, выполненных строительными организациями различных форм собственности в 20ХХ г.;

7.численность наличного населения на 1 января 20ХХ г.

Тема 2. Средние величины и показатели вариации

Средняя величина – типическое значение признака для совокупности объектов. Это центральная характеристика вариационного ряда.

Напомним, что вариационный ряд представляет собой таблицу, в верхней части которой представлены количественные значения исследуемого признака совокупности (их называют вариантами), а в нижней части – частоты, т.е. величины, которые показывают, сколько раз в совокупности встречается то или иное конкретное значение признака, или варианта. Варианты и частоты в таблице могут располагаться и по ее графам. Собственно, сама вариация представляет собой изменчивость (колеблемость) значений признака у разных единиц совокупности на один и тот же момент времени. Одной из задач, решаемых статистическими методами, является измерение либо устранение вариации.

Признаки, которые невозможно представить количественно, называют атрибутивными, они образуют атрибутивные ряды распределения, например, распределение населения по полу, национальности, семейному положению.

Значения вариационного ряда обычно обозначают через xi , а частоты -

fi .

Простейший пример вариационного ряда: статистическая совокупность (студенческая группа) может быть охарактеризована множеством признаков, в том числе, оценками, полученными студентами группы на экзамене по кон-

7

кретной дисциплине. Сгруппированные данные можно представить в виде следующей таблицы:

Как рассчитать среднюю оценку группы? Всего в группе 25 человек, общая сумма баллов, набранная группой, может быть рассчитана так:

2 3 +3 7 + 4 10 +5 5 = 92 .

В расчете на одного студента придется 92 : 25 = 3,68 балла. Общий вид формулы по расчету средней для вариационного ряда:

∑xi fi

х = ∑i fi . i

Ряд, представленный в качестве примера, называется дискретным, т.е. его варианты даны в виде конечных значений или точек. Чаще при решении экономических задач приходится оперировать интервальными рядами, когда признак представлен в виде интервалов значений, например:

Чтобы применить формулу средней арифметической, необходимо определиться, какую величину использовать в качестве представителя каждого интервала. Поскольку чаще всего исследователь имеет дело с уже сгруппированными определенным образом данными, невозможно наверняка судить о том, как распределены варианты внутри каждого интервала. Предполагая, что это распределение близко к равномерному, в качестве центрального варианта выбирают середину закрытых интервалов, как полусумму нижней и верхней гра-

интервалов правило следующее: центральный вариант нижнего открытого интервала равен верхней границе за минусов половины длины следующего за ним интервала; центральный вариант верхнего открытого интервала равен нижней границе этого интервала плюс одна вторая длины предшествующего интервала. В нашем примере центральным вариантом первого интервала будет

100 = 2002+0 , так как длина данного интервала меньше следующего за ним, а

отрицательные значения группировочного признака (численность работающих) невозможны, центральный вариант последнего открытого интервала бу-

8

дет равен 1250 = 1000 + 250. Расчет средней осуществляется по серединам интервалов:

х = 100 198 +350 380 +750 240 +1250 86 = 465,2 чел. 198 +380 + 240 +86

Описание структуры вариационного ряда осуществляется при помощи так называемых структурных средних – это мода, медиана, а также системы перцентилей распределения.

Размах вариации среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия дают абсолютные, т.е. выраженные в абсолютных единицах, размеры вариации, что, кстати, не позволяет использовать эти оценки при сравнении различных вариационных рядов и различных признаков. Отношение абсолютных показателей к средней величине ряда распределения позволяет сформировать лишенные вышеупомянутого недостатка относительные показатели вариации, выражаемые чаще всего в процентах.

Какую вариацию считать слабой или сильной – вопрос, ответ на который можно дать только для конкретного признака. Более того, умеренная вариация для цены на хлеб по магазинам конкретного города будет выглядеть очень слабой в сравнении с вариацией цен на хлеб в масштабе страны.

Средняя арифметическая характеризуется несколькими свойствами:

−отклонения от средней в сумме погашаются и равны нулю;

−при увеличении всех вариант в А раз средняя возрастет также в А

раз;

−при изменении всех вариант на константу А, средняя также изме-

нится на А;

−при изменении всех частот в А раз, средняя не изменится. Доказательства всех этих свойств производятся через подстановку в

формулу средней арифметической измененной варианты или частоты. Свойства средней можно использовать для упрощения расчетов среднего значения для вариационных рядов. Единственное условие для использования способа моментов – наличие равных по ширине интервалов в ряду распределения.

Основные этапы использования способа моментов:

1.из значений центральных вариантов вычитается значение признака, представляющего интервал с наибольшей частотой;

2.каждое из преобразованных значений делят на ширину интервала в ряду, получая тем самым ряд натуральных чисел со знаком плюс или со знаком минус:

Обратные преобразования приводят к определению средней величины исходного ряда:

х = −0,25 250 +1375 =1312,5 ч.

Средние относительных показателей

Относительные показатели представляют собой результат отношения двух абсолютных величин и чаще используются на практике, поскольку несут в себе больший объем информации. К примеру, показатель производительности труда цеха определяется как отношение объема выпущенной за период продукции к средней численности работающих в цехе за тот же период. В практике вычисления средних относительные показатели занимают особое место. Дело в том, что сумма показателей производительности труда для нескольких цехов предприятия при вычислении по формуле средней арифметической реальной величиной не является. Для нескольких цехов средняя по ним производительность труда будет определяться как отношение общего по предприятию объема выпуска к суммарной численности работающих. Это отношение называется исходным статистическим соотношением (исходным соотношением средней) и является ключевым для реального расчета средней исключительно относительных показателей, как правило, на уровне предприятия или региона. Средняя производительность труда при этом становится зависимой не только от значений производительности труда по цехам, но и от распределения численности рабочих по цехам. Средняя производительность будет смещена в сторону значения цеха, имеющего максимальную численность занятых. Одновременно с этим, статистическое изучение производительности труда, например, по предприятиям отрасли, на основе вариационного ряда, будет абстрагироваться от влияния показателей численности работающих на предприятиях.

Решение типовых задач

Пример 2.1.

Необходимо рассчитать среднюю урожайность зерновых культур по следующим данным:

10

Урожайность определяется как валовой сбор в расчете на 1 га посевных площадей. Таким образом, исходное статистическое соотношение будет выглядеть так:

Валовой_ сбор_(ц) . Посевная_ площадь_(га)

Поскольку посевная площадь по хозяйствам в явном виде не задана в условии, необходимо ее вычислить через имеющиеся данные. По первому хозяй-

ству это 23024 = 95,8 га, по второму - 31018 =172,2 га. Средняя урожайность будет

равна:

х = 230 +310 = 20,16 ц/га. 23024 + 31018

Дисперсия урожайности будет рассчитываться так:

Пример 2.2.

Определите рентабельность реализованной продукции по двум предприятиям:

Показатель рентабельности продукции (продаж) определяется как отношение прибыли от реализации (продаж) к выручке от реализации продукции и чаще всего выражается в процентах. Следовательно, средняя по двум видам продукции рентабельность будет определяться как отношение общей прибыли к общей выручке:

х = 219,3++171,5 100 =10,5% .

11

Пример 2.3.

Определите среднюю фондовооруженность труда одного рабочего по трем предприятиям в совокупности:

Показатель фондовооруженности труда одного рабочего определяется отношением стоимости основных фондов к численности рабочих. Для определения средней величины фондовооруженности по трем предприятиям вместе необходимо рассчитать общую стоимость основных фондов и общую численность рабочих.

Общую стоимость основных фондов можно рассчитать, умножая данные по фондовооруженности на численность рабочих, тогда расчет средней фондовооруженности будет выглядеть так:

х = 25 960 + 22 870 +19 1100 = 21,86 тыс. руб./чел. 960 +870 +1100

Пример 2.4.

Известно распределение предприятий отрасли по показателю затрат на 1 руб. товарной продукции (ТП):

Расчет реальной средней величины показателя затрат на 1 руб. товарной продукции по отрасли будет следующим:

В приведенном расчете в числителе дроби представлена суммарная по всем предприятиям отрасли величина затрат на производство продукции, а в знаменателе – общая по совокупности предприятий стоимость товарной продукции.

12