На основе приведенных данных

1)проанализируйте динамику средней урожайности, посевных площадей

ивалового сбора зерновых;

2)разложите изменение средней урожайности за счет двух факторов: изменения средней урожайности отдельных зерновых культур и структурных сдвигов в посевных площадях;

3)разложите изменение валового сбора зерновых культур за счет трех факторов:

•изменения размеров посевных площадей;

•изменения уровней урожайности отдельных зерновых культур;

•структуры посевов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Тема 5. Выборочное наблюдение

Выборочное наблюдение является основным видом несплошного статистического наблюдения. Суть его заключается в том, что обобщенные характеристики (средние и относительные показатели) для всей совокупности единиц рассчитываются по некоторой их части, отобранной в случайном порядке. Тем, что отбор единиц проводится в случайном порядке, обеспечивается репрезентативность выборочной совокупности, т.е. ее свойство воспроизводить всю генеральную совокупность.

С помощью выборочного метода решаются три вида задач:

•определение объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результата с заданной вероятностью;

•определение ошибки репрезентативности с заданной вероятностью;

•определение вероятности того, что ошибка выборки не превысит допустимой погрешности.

Основной задачей при этом является определение ошибок выборки. Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки (μ) представляет собой среднюю величину возможных отклонений выборочной средней от генеральной средней, или выборочной доли от генеральной доли.

При случайном повторном отборе для расчета средней ошибки выбороч-

признака в генеральной совокупности, а n - численность выборки. Поскольку дисперсия признака в генеральной совокупности при выборочном наблюдении неизвестна, то на практике используют величину выборочной дисперсии, если объем выборки достаточно большой. В случае малой выборки (при n < 30) в

51

формуле расчета учитывают следующее соотношение между генеральной дисперсией и выборочной: σген2 = σвыб2 n n−1 .

В случае бесповторного отбора в формуле средней ошибки выборки выражение под знаком радикала корректируют на множитель 1− Nn , где N -

численность генеральной совокупности.

Для определения средней ошибки выборочной доли применяют форму-

соответственно, где ω - доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выборочной совокупности, ω(1-ω) - дисперсия альтернативного признака.

Предельная ошибка выборки обозначается символом и рассчитывается по формуле: =tμ, где t называется нормированным отклонением или коэффициентом доверия и представляет собой отношение ошибки конкретной выборки к средней ошибке выборки. Коэффициент доверия определяет размер ошибки в зависимости от того, с какой вероятностью (Р) она находится.

Значения t и Р даны в специальных таблицах (см. приложение № 4), где Р рассматривается как функция t и рассчитывается по формуле:

Рассмотренные выше формулы используют для собственно-случайной и механической выборок. Для районированной (типической) выборки, когда отбор производится не из всей генеральной совокупности, а из отдельных частей, на которые она предварительно разбивается, в формулах расчета средней и предельной ошибок выборки используют величину средней из групповых дисперсий.

При серийной (гнездовой) выборке, когда отбираются не отдельные единицы, а целые серии (гнезда) внутри которых затем производится сплошное наблюдение, в формулах расчета ошибок выборки применяют межгрупповую (межсерийную) дисперсию.

При расчете ошибок малой выборки необходимо учитывать, во-первых соотношение между выборочной и генеральной дисперсией, о чем говорилось выше, а, во-вторых, тот факт, что величина доверительного коэффициента t иначе связана с вероятностной оценкой, чем при обычной выборке. Если выборка мала, то действует закон распределения вероятности Стьюдента, по которому значение вероятности зависит не только от величины t, но и от объема выборки n (см. приложение .№ 5).

52

Решение типовых задач

Пример 5.1.

В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции на заводе проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе:

На основе этих данных определите с вероятностью 0,997:

а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия всей продукции;

б) предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса изделий с массой от 20 до 22 г.

Решение.

а) Формула средней ошибки выборки для бесповторного механического

выборочной средней и дисперсии массы изделия.

Имея значение дисперсии, определяем среднюю ошибку выборки:

Формула предельной ошибки выборки: =tμ. По таблице значений F(t) (см. Приложение № 1) при Р=0,997 находим, что t = 3. Отсюда = 3*0,09 = 0,27 г., или х = ~х ± = 21,32 ± 0,27 , т.е. возможные границы средней массы изделия всей продукции (или доверительный интервал генеральной средней) определяются как 21,05 г.≤ х ≤21,59 г.

б) Из 100 отобранных изделий по условию задачи массу от 20 до 22 г. имеют 70 изделий, т.е. выборочная доля таких изделий составляет 70%. Тогда

53

по формуле выборочной доли для механической бесповторной выборки, находим:

Предельная ошибка выборки при вероятности 0,997 = 3*4=12%, т.е. границы удельного веса изделий с массой от 20 до 22 г. определяются как 58% ≤р≤82%, где р - генеральная доля изделий с массой от 20 до 22 г.

Пример 5.2.

Сколько изделий необходимо обследовать в порядке случайной выборки для определения среднего веса изделия, чтобы с вероятностью 0,954 можно было бы гарантировать ошибку не более 0,2 кг? Из ранее проведенных обследований известно, что среднее квадратическое отклонение веса детали не превышает 0,8 кг.

Решение.

При бесповторном отборе необходимый объем выборки определяют по следующим формулам для средней и доли соответственно:

Пример 5.3.

Выборочное обследование 1000 жителей региона показало, что удельный вес численности студентов ВУЗов составил 2%.

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли студентов в общей численности жителей региона, допущена ошибка, не превышающая 1%?

Решение.

Для определения вероятности допуска той или иной ошибки, из формулы предельной ошибки находим коэффициент доверия, связанный с вероятностью:

По таблице значений F(t) (см. Приложение № 1) для t = 2,27 находим, что Р = 0,977, т.е. с вероятностью 0,977 можно утверждать, что при определе-

54

нии доли студентов ВУЗов (2%) в общей численности жителей региона допущена ошибка не более 1%.

Пример 5.4.

Из партии готовой продукции предприятия в порядке случайного повторного отбора было взято 15 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая составила 10% при среднем квадратическом отклонении 2,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы средней влажности продукта во всей партии готовой продукции.

Решение.

Т.к. n < 30, то выборка в данном случае малая. Средняя ошибка малой выборки определяется по формуле:

Поскольку при малой выборке доверительный коэффициент t связан с вероятностью по закону Стьюдента, по таблице Приложения № 2 находим, что для Р=0,954 и n = 14 (значение n в таблице Приложения № 2 принимается на единицу меньше числа наблюдений, т.е. как число степеней свободы), t = 1,8. Отсюда определяем величину предельной ошибки: = 1,8*0,67 = 1,2%. Тогда пределы средней влажности продукта в партии готовой продукции определяются как х = 10 ±1,2 , т.е. 8,8% ≤ х ≤ 11,2% при заданном уровне вероятности.

Пример 5.5.

В регионе проведено выборочное обследование продовольственных и непродовольственных магазинов. Получены следующие результаты наблюдения:

Определите, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней месячного товарооборота в продовольственных и непродовольственных магазинах (3,5 млн. руб. и 2,1 млн. руб.) случайными, при уровне значи-

мости α = 0,05.

55