Задание 3 расчет балки на прочность и жесткость

Целью задания является расчет балки на прочность при плоском изгибе и исследование влияния формы поперечного сечения на ее металлоемкость.

Для заданной балки (рис. 18):

1) определить реакции опор;

2) записать уравнения поперечной силы и изгибающего момента для всех участков и построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента;

3) подобрать балку двутаврового поперечного сечения из условия прочности по нормальным напряжениям и проверить балку на прочность по касательным напряжениям;

4) произвести анализ изменения веса балки в зависимости от формы ее поперечного сечения (рис. 17), приняв за единицу вес двутавровой балки;

5) построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте двутавровой балки в произвольном ее сечении, в котором ни поперечная сила, ни изгибающий момент не равны нулю;

6) записать уравнения углов поворота и прогибов сечений балки для всех участков и построить эпюры углов поворота и прогибов;

7) графическая часть задания должна содержать чертеж балки в стандартном масштабе с указанием размеров балки и нагрузки (под чертежом балки расположить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогибов сечений балки), эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения балки.

Материал балки – сталь Ст.3. При расчетах принять: допускаемые напряжения _adm = 160 МПа, _adm = 100 МПа, модуль упругости Е = = 210⁵ МПа.

Для построения эпюр углов поворота и прогибов сечений балки необходимо подсчитать соответствующие величины в 4-6 сечениях на каждом участке.

Разрешается ординаты эпюр углов поворота и прогибов сечений балки увеличить в EI раз.

Исходные данные взять из табл. 3.

Таблица 3

Номер строки	l, м	l1, м	l2, м	F, кН	M, кНм	q, кН/м
	а	б	в	г	а	б
1	2,0	4,0	3,0	50	10	40
2	2,5	5,0	3,5	45	20	30
3	3,0	6,0	4,5	40	30	20
4	3,5	7,0	1,5	35	40	10
5	4,0	6,0	2,0	30	50	15
6	1,5	5,0	2,5	25	15	25
7	2,0	4,0	3,0	20	25	35
8	3,0	3,0	3,5	15	35	45
9	4,0	2,0	4,0	10	45	20
0	2,5	7,0	2,0	60	55	30

Пример выполнения задания 3

Рассчитать балку (рис.19) постоянного поперечного сечения на прочность при плоском поперечном изгибе и исследовать влияние формы поперечного сечения на ее весовые характеристики.

Исходные данные: l = 2 м, l₁ = 5 м, l₂ = 2 м, F = 30 кН, М = 30 кНм, q = 20 кН/м, _adm = 160 МПа; _adm = 100 МПа.

Решение

1. Определим опорные реакции из условия равновесия балки:

, Н_А =0;

, ;

= = -57,14 кН.

, ;

== 27,14 кН.

Проверка правильности определения реакций опор:

, ;

27,14 - 57,14 - 20·2 + 30 + 202 = 0;

0 = 0.

2. Запишем выражения поперечной силы Q и изгибающего момента M_z по участкам, используя метод сечений. Определим значения поперечных сил Q и изгибающих моментов М_z в характерных точках по длине балки и построим эпюры Q и M_z.

1-й участок: 0 ≤х₁≤ 2 м (рис. 20)

;

= = 10.

При х₁ = 0 Q = 0, M_z = 0; при х₁ = 3 м Q = -40 кН, -40 кНм.

2-й участок: 2 м ≤ х₂ ≤ 7 м

= 27,14 - 202 = -12,86 кН;

.

При х₂ = 2 м -10 кНм, при х₂ = 7 м -74,3 кНм.

3-й участок: 7 м ≤ х₃ ≤ 9 м

При х₃ = 7 м Q_y = 17,14 кН, = -74,3 кНм, при х₃ = 13 м 0, Q_y =57,14 кН.

По результатам расчета построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M_z (рис. 19).

3. Определим опасное сечение: из эпюр поперечных сил и изгибающих моментов = 57,14 кН,74,3 кНм.

4. Подбираем двутавровую балку из условия прочности по нормальным напряжениям

,

Откуда

см³.

По величине осевого момента сопротивления выбираем двутавр №30 по ГОСТ 8239-72, у которого W_z^табл = 472 см³. Вычисляем фактическое максимальное напряжение

_фmax = == 157,4 МПа.

Вычисляем недонапряжение по нормальным напряжениям

 =100%=100 = 1,6 % < 5 %.

При расчетах допускается недонапряжение и перенапряжение до 5 %. Выбранный двутавр № 40 удовлетворяет условию прочности по нормальным напряжениям. Из таблицы балок двутавровых выписываем геометрические характеристики: W_z = 472 см³, h = 30 см, b = 13,5 см, А₁ = =46,5 см²; 7080 см⁴, = 268 см³, s = 0,65 см, t =1,02 см.

Проверяем балку на прочность по касательным напряжениям

_max = = МПа _аdm = 100 МПа.

Таким образом, выбранная двутавровая балка удовлетворяет условию прочности по касательным напряжениям.

5. Определим размеры поперечных сечений балки различной формы:

а) коробчатое сечение (рис. 23)

;

= 10,6 см, 0,7210,6² = 80,9 см²;

б) прямоугольное сечение (рис. 24)

= 464,4, = 8,9 см,

28,9² = 158,4 см²;

в) квадратное сечение (рис. 25)

464,4, а = = 14,1 см,198,8 см²;

г) круглое сечение (рис. 26)

= 464,4, см,

= 221,6 см²;

д) трубчатое сечение (рис. 27)

, ;

y_max = d/2, =464,4,см,

= 113 см²;

е) квадратное сечение с углами по осям координат (рис. 28)

, 0,707 a, (для квадратного сечения моменты инерции относительно любых центральных осей одинаковы),

464,4, а = = 15,8 см,

= 249,6 см².

6. Производим анализ изменения веса балки в зависимости от формы ее сечения, приняв за единицу вес двутавровой балки. Вес балки определим по формуле .

Обозначим  отношение веса балки различной формы сечения к весу двутавровой балки:

Таким образом, сечения балки в порядке возрастания ее веса выстроятся в ряд: двутавр, коробчатое сечение, трубчатое сечение, прямоугольное сечение, квадратное сечение, круглое сечение, квадратное сечение с углами по осям координат.

7. Строим эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте двутавровой балки для сечения, где приложена сила F. В этом сечении Q = 17,14 кН, М_z = 74,3 кНм.

Нормальные напряжения определяются по формуле

 = .

Подсчитаем нормальные напряжения в характерных точках сечения:

y₁ = h / 2, ₁ = = 157,4 МПа;

y₄ = 0, ₄ = 0.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 29.

Касательные напряжения определяются по формуле Журавского

 = .

У двутаврового сечения ширина b сечения и статический момент отсеченной части сечения меняются по высоте, поэтому вычисляем касательные напряжения в характерных точках сечения:

Точка 1: ;.

Точка 2: 199,5 см³.

В точке 2 ширина волокон равна ширине полки b, поэтому

0,35 МПа.

Точка 3: = 199,5 см³, ширина волокон равна толщине стенки s, поэтому

7,4 МПа.

Точка 4: 268 см³, ширина волокон равна толщине стенки s, поэтому

10 МПа.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 29.

8. Определим углы поворота и прогибы сечений балки методом начальных параметров. Уравнения углов поворота и прогибов сечений пометоду начальных параметровимеют вид:

;

,

где ,- угол поворота и прогиб сечения балки в начале координат (на левом конце балки).

Запишем уравнения углов поворота и прогибов сечений балки для различных участков:

1-й участок: 0 ≤ х₁ ≤ 2 м

, .

2-й участок: 2 м ≤ х₂ ≤ 7 м

,

.

3-й участок: 7 м ≤ х₃ ≤ 9 м

Постоянные интегрирования C и D определяем из граничных условий - прогибы на опорах равны нулю:

при x = l = 2 м y_A= y₁ = y₂ = 0;

при x₂ = l + l₁ + l₂ = L = 9 м y_B = y₃ = 0.

Получаем систему уравнений

или

Решая систему уравнений, получаем С = 159,1 кНм², D = -304,8 кНм³.

Вычислим значения углов поворота и прогибов сечений балки в 3-4 точках на каждом участке. Результаты расчета приведены в табл. 4.

Таблица 4

№ участка, i	1			2
xi, м	0	1	2	2	3	5
, кНм2	159,1	155,8	132,4	132,4	101,0	44,6
EIzyi, кНм3	-304,8	-146,5	0	0	125,4	294,5

Продолжение табл. 4

№ участка, i	2		3
xi, м	6	7	7	8	9
,кНм2	-10,4	-78,3	-78,3	-140,7	-166,0
EIzyi, кНм3	312,6	269,3	269,3	157,5	0

Определим экстремальное (максимальное) значение прогиба на 2-м участке:

Решая уравнение методом последовательных приближений, получим х₂ = 5,827 м, 313,5 кН· м³.

На основе полученных результатов строим эпюры углов поворота и прогибов сечений балки (рис. 21).