- •Министерство образования и науки российской федерации иэуп
- •Казань 2012
- •Введение
- •Цель освоения дисциплины
- •Место дисциплины в структуре основной образовательной программе высшего профессионального образования
- •Результаты образования, формируемые в процессе освоения дисциплины
- •Общие рекомендации по работе над дисциплиной «техническая механика»
- •Самостоятельная работа с книгой
- •Самопроверка
- •Выполнение упражнений и решение задач
- •Контрольное задание
- •Консультации
- •Методические указания по изучению дисциплины «техническая механика»
- •Раздел 1. Основные понятия
- •Раздел 2. Внутренние усилия, построение эпюр
- •Раздел 3. Геометрические характеристики
- •Раздел 4. Теория напряженного состояния
- •Раздел 5. Теория деформированного состояния
- •Раздел 6. Растяжение и сжатие
- •Раздел 7. Расчет гибких нитей (проводов)
- •Раздел8. Плоский изгиб, расчет на прочность
- •Раздел 9. Перемещения при изгибе
- •Раздел 10. Сдвиг икручение
- •Раздел 11. Сложное сопротивление
- •Раздел 12. Теории прочности
- •Раздел 13. Усталость материалов при циклических нагрузках
- •Раздел 14. Энергетические способы определения перемещений
- •Варианты контрольного задания
- •Правила выполнения и оформления контрольных заданий
- •Задания к контрольной работе
- •Примеры выполнения задания 1
- •3 Участок (рис. 11): ,1,5 м;
- •Задание 2 определение геометрических характеристик составного поперечного сечения
- •Пример выполнения задания 2
- •Задание 3 расчет балки на прочность и жесткость
- •Пример выполнения задания 3
- •Задание 4 расчет на изгиб с кручением
- •Пример выполнения задания 4
- •Оглавление
3 Участок (рис. 11): ,1,5 м;
= -2х3 +1,75;
= - 1,75х3.
При 1,75 кН,0, при1,5 м-1,25 кН,-0,375 кНм.
Вычисляем минимальное значение изгибающего момента:
= 0, 0,875 м;
= -0,766 кН·м.
Построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента (рис. 8).
Задание 2 определение геометрических характеристик составного поперечного сечения
Целью задания является определение центра тяжести и вычисление главных центральных моментов инерции составного сечения.
Для заданного составного поперечного сечения стержня, состоящего из равнополочного уголка, прямоугольника и двутавра или швеллера (рис. 12),
1) определить положение центра тяжести относительно первоначально принятых осей;
2) вычислить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей, параллельных первоначально принятым осям;
3) определить положение главных центральных осей инерции сечения;
4) вычислить величины главных моментов инерции сечения.
5) сделать чертеж заданного сечения в масштабе и указать на нем основные размеры и оси.
Исходные данные взять из табл. 2. Данные о прокатных профилях принимаются из таблиц сортамента (ГОСТ 8239-72, ГОСТ 8240-72, ГОСТ 8509-86).
Таблица 2
№ п/п |
Номер двутавра или швеллера |
Прямоугольник, мм |
Равнополочный уголок, мм |
б |
в |
г | |
1 |
10 |
20010 |
80806 |
2 |
12 |
22012 |
80808 |
3 |
14 |
24010 |
75757 |
4 |
16 |
24014 |
75758 |
5 |
18 |
25014 |
75759 |
6 |
20 |
24012 |
70706 |
7 |
22 |
22010 |
70707 |
8 |
24 |
23012 |
70708 |
9 |
27 |
25010 |
707010 |
0 |
30 |
30014 |
63636 |
Пример выполнения задания 2
Вычислить главные моменты инерции составного сечения (рис. 13).
Исходные данные: Составное сечение представляет собой набор из трех элементов: равнополочного уголка 63636 мм, швеллера № 16 и прямоугольника 20012 мм.
Решение
1. Выпишем из таблиц сортамента и подсчитаем геометрические характеристики отдельных частей поперечного сечения:
а) равнополочный уголок 63636 мм (рис. 14): b1= 6,3 см, 7,28 см2,27,1 см4, 42,9 см4, 11,2 см4, 1,78 см, = -45 (поворот главных осей z0 и y0 по часовой стрелке), Iz1y1= =sin2 =sin2(-45) = -15,85 cм4;
б) швеллер № 16 (рис. 15): h2 = 16 см; b2 = 6,4 см, 18,1 см2, 1,8 см,747 см4, 63,3 см4, (оси z2 и y2 являются главными центральными осями);
в) прямоугольник 20012 мм (рис. 16):
b3 = 1,2 см, h3 = 20 см, 1,220 = 24 см2,
см4,
=2,88 см4, (оси z3 и y3 - главные центральные оси).
2. Проводим вспомогательные оси z и y, заключив все сечение в положительной четверти (рис. 13). Определим координаты центров тяжести О1, О2 и О3 отдельных частей сечения в системе координат zOy:
= h2 + b3 + z01 = 16 + 1,2 + 1,78 = 18,98 см;
= h2 /2 = 16/2 = 8 см;
= h2 + b3 /2 = 16 + 1,2/2 = 16,6 см;
= h3 - b1+ z01=20 - 6,3 + 1,78 = 15,48 см;
= b2 - 6,4 – 1,8 = 4,6 см;
= h3/2 = 20/2 = 10 см.
3. Определим координаты центра тяжести заданного сечения в системе координат zОy:
zC = ==
= =см;
yC = ==
= = см.
Центр тяжести С заданного сечения должен находиться внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести отдельных частей сечения, в нашем примере - внутри треугольника C1 C2 C3.
4. Проводим центральные оси zC и yC параллельно осям z и y. Вычисляем расстояния между осями zC и z1, z2, z3, осями yC и y1, y2, y3:
а1 = у1 – уC = 15,48 - 8,83 = 6,65 cм;
a2 = y2 – yC = 4,6 - 8,83 = -4,23 cм;
a3 = y3 – yC = 10 - 8,83 = 1,17 cм;
c1 = z1 – zC = 18,98 - 13,8 = 5,18 cм;
c2 = z2 – zC = 8 - 13,8 = -5,8 cм;
с3 = z3 – zC = 16,6 - 13,8 = 2,8 cм.
5. Вычисляем значения осевых и центробежного моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей zC и zC по формулам параллельного преобразования осей:
= 27,1 + 6,6527,28 + 63,3 +
+ (-4,23)218,1 + 800 + 1,17224 = 1569,01 см4;
=27,1 + 5,1827,28 + 747 +
+ (-5,8)218,1 + 2,88 + 2,8224 = 1769,34 см4;
=-15,85 + 6,655,187,28 + + 0 + (-4,23)(-5,8)18,1 + 0 + 1,172,824 = 757,61 см4.
6. Определим положение главных центральных осей инерции сечения:
tg 20 = == 7,564,
откуда 0 = 41,23.
Угол 0 положительный, поэтому оси zC и yC поворачиваем против часовой стрелки на угол 41,23 и проводим главные центральные оси сечения z0 и y0 (рис. 13).
7. Вычисляем значения главных центральных моментов инерции сечения по формулам углового преобразования осей:
= cos20 + sin20 –sin20 =
=1569,01 cos241,23 + 1769,34 sin2 41,23 – 757,61 sin(2·41,23) = 904,97 cм4;
= cos20 + sin20 + sin20 =
= 1769,34 cos241,23 + 1569,01 sin241,23 + 757,61sin(2·41,23) = 2433,38 см4.
Значения главных моментов инерции сечения можно вычислять также и по формуле
=
= 1669,17 1528,41;
Imax = 2433,38 см4; Imin = 904,97 см4.
Если центробежный момент инерции сечения 0, то главная ось инерции, относительно которой главный момент инерции сечения принимает максимальное значение, проходит через четные четверти. Поэтому = Imax = 2433,38 см4; = Imin = 904,97 см4.
Правильность вычислений значений главных моментов инерции сечения проверяем по выполнению условий:
а) сумма моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей не меняется
+= + ,
2433,38 + 904,97 = 1569,01 + 1769,34,
3338,35 = 3338,35;
б) центробежный момент инерции сечения относительно главных осей равен нулю
= sin20 + cos20 =
=sin(2·41,23) + 757,61 cos(2·41,23)= -99,30 + 99,30 = 0.
Значит, расчет выполнен точно.