2

Решение задачи выполняется в следующей последовательности.

а) Выполняется аппроксимация (кусочно-линейная или сплайновая) заданной функции e(t):

в) Система дифференциальных уравнений приводится к форме Коши и решается по стандартной программе Rkadapt(…)

F Rkadapt(X 0 0.2 10000 D)

51

г) Производится обработка результатов расчета: строятся графические диаграммы исследуемых функций (рис. 32), определяются время и характер переходного процесса и т. д.

25

50

75

100

t

Рис.32

По сравнению с рассмотренным ранее методом интеграла Дюамеля численный метод обладает значительными преимуществами: а) численный метод универсален, он с одинаковым успехом может применяться для любых форм функции e(t) и для цепей любой сложности; б) численный метод экономичен, трудозатраты на решение задачи практически не зависят от ее сложности: в) численный метод обладает сравнительно высокой точностью; г) результаты решения легко поддаются математической обработке и могут быть представлены в любой форме.

Т12. Синтез электрических цепей

1. Характеристика задач синтеза

Синтезом электрической цепи называют определение структуры цепи и параметров составляющих ее элементов R, L и С по известным свойствам (характеристикам), которым должна удовлетворять цепь. Задачи синтеза цепей противоположны по цели и содержанию задачам анализа. В отличие от задач анализа, имеющих, как правило, единственное решение, задачи синтеза могут иметь несколько решений, удовлетворяющих заданным условиям. В этом случае выбирают наиболее рациональное решение (например, по стоимости, по габаритам, по массе, по числу элементов и т.

52

д.) Кроме того, физического решения может не существовать вообще, так как из существующих реальных элементов не всегда можно построить электрическую цепь, удовлетворяющую заданным условиям.

Полученным значениям для Z и Y соответствуют две различные схемы замещения цепи (рис. 33, а, б):

Данная цепь на основе пассивных элементов R, L и С физически нереализуема, так как в природе не существует резисторов с отрицательным сопротивлением.

С задачами синтеза на практике встречаются при проектировании сложных фильтров, корректирующих устройств в радиотехнике, технике связи, автоматике и телемеханике.

Синтез электрических цепей развивался по нескольким направлениям: 1) синтез цепи, заданной операторной входной характеристикой;

53

2) синтез цепи, заданной временной характеристикой в виде реакции цепи на воздействие импульса напряжения или тока прямоугольной формы, и др.

Наиболее простые результаты получены по первому направлению, которое и будет в дальнейшем рассмотрено.

2. Свойства входных операторных функций пассивных электрических цепей

Входной функцией цепи (двухполюсника) называется входное опера-

Рис. 34

Входное операторное сопротивление схемы будет равно:

вить в виде отношения двух полиномов:

Входные операторные функции обладают следующими свойствами:

1)все коэффициенты ак и bк в числителе и знаменателе выражения Z(p) должны быть вещественными и положительными числами, так как они образуются суммами, произведениями и частными от вещественных параметров элементов R, L и С;

2)наивысшая степень числителя должна отличаться от наивысшей степени знаменателя не более, чем на 1;

54

3)нули и полюсы функции Z(p) должны иметь отрицательную вещественную часть;

4)при замене оператора Лапласа на оператор Фурье ( p j j )

Нулями функции Z(p) называются корни рк уравнения N(p) = 0, при подстановке которых значение функции равно нулю: Z(pк) = 0. Полюсами

свободные составляющие переходного процесса в электрической цепи

времени, что возможно только, если действительная часть корней рк отрицательна.

операторное сопротивление Z(p) превращается в комплексное сопротивление Z(j ) = R + jX, вещественная часть которого равна активному сопротивлению R, которое не может быть отрицательным.

Функции, обладающие перечисленными свойствами, называются положительными вещественными функциями. Только такие функции могут быть реализованы в виде конкретной электрической цепи.

3. Синтез двухполюсника лестничной (цепной) схемой

Непрерывной дробью называется математическое уравнение вида:

b 1

c ...

Пусть электрическая цепь имеет лестничную (цепную) схему (рис. 35).

Рис. 35

Методом свертки выразим входное сопротивление и входную проводимость цепной схемы:

55

Входное сопротивление и входная проводимость цепной схемы выражается уравнением, которое имеет структурную форму непрерывной дроби.

Таким образом, задача синтеза двухполюсника, заданного входной

функции к виду непрерывной дроби и последующему переходу к соответствующей этой дроби цепной схеме.

В математике разработаны способы преобразования простых дробей к виду непрерывной дроби. Порядок такого преобразования показан на конкретном примере:

По аналогичной форме выполняется преобразование к виду непрерыв-

1)располагают полиномы N(p) и М(p) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;

2)делят N(p) на М(p) как многочлен на многочлен, в результате получают частное Ч1(p) и некоторый остаток О1(p);

3)делят М(p) на остаток О1(p) как многочлен на многочлен, в результате получают частное Ч2(p) и некоторый остаток О2(p);

4)и т. д. продолжают процесс деления до получения частного без остатка;

5)в соответствии с полученной непрерывной дробью составляют цепную схему замещения в операторной форме;

6)переходят к физическим параметрам элементов схемы (к электрической схеме) на основе формул соответствия:

56

На основании изложенного процесс последовательного деления можно представить следующей схемой:

При делении многочлена на многочлен следят за тем, чтобы в процессе деления в частном содержались только положительные члены, и чтобы они не содержали множитель р в степени больше 1.

4. Синтез двухполюсника методом разложения входной функции на простейшие составляющие

ления N(p) на М(p) как многочлен на многочлен с целью понижения показателя числителя до значения n = m 1, в результате получают частное

простые слагаемые по известной в математике формуле разложения:

ты, определяемые согласно формуле разложения.

После разложения входной функции на простые слагаемые каждому слагаемому подбирают соответствующий ему участок операторной схемы, отдельные участки соединяют между собой последовательно для функ-

57

Рассмотрим простейшие схемы соединения элементов и соответствующие им операторные изображения.

58

Рассмотрим, каким образом может быть реализовано каждое слагае-