2

2) Метод последовательных приближений. Рассмотренная выше задача может быть решена аналитически методом последовательных приближений. В решении задачи может быть использована как графическая, так и аналитическая форма задания ВАХ нелинейной катушки, например, I = aU + bU5. Решение задачи выполняется в следующей последовательности:

Метод последовательных приближений применим к расчету схем любой сложности. Для сложной схемы составляется система уравнений Кирхгофа в комплексной форме, которая решается методом последовательных приближений, при этом все вычисления в отдельном цикле выполняются в комплексной форме. В качестве примера приведем расчет схемы рис. 73.

Рис. 73

Заданы параметры линейных элементов Е, R, XC. ВАХ нелинейных элементов заданы аналитически в виде уравнений аппроксимации:

Для исследуемой схемы система комплексных уравнений Кирхгофа совместно с уравнениями аппроксимации имеет вид:

101

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом последовательных приближений представлен ниже.

а) Задаются в первом приближении комплексным напряжением на не-

графически по диаграмме функции IL(UL). Аргумент этого комплекса принимается равным 90о (в катушке ток отстает от напряжения на угол =

приближении и повторяют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения желаемой точности. В результатах последнего цикла корректируют аргументы комплексных токов и напряжений путем добавления к ним значения .

3) Расчет нелинейных цепей на ЭВМ. Система нелинейных уравнений, составленная для исследуемой схемы по законам Кирхгофа, может быть решена на ЭВМ методом последовательных приближений как по ин-

102

дивидуальной программе, так и по стандартной программе из пакета MathCAD или MATLAB. При этом система уравнений Кирхгофа дополняется нелинейными уравнениями аппроксимации в комплексной форме. В комплексной форме аппроксимации учитывается как нелинейная связь между модулями величин U и I, так и угол сдвига между ними. Ниже приведены примеры аппроксимации ВАХ U(I) или I(U) для нелинейных элементов разного рода:

Последовательность расчета нелинейной цепи на ЭВМ по стандартной программе из пакета MathCAD приведен ниже.

а) Задана схема нелинейной цепи (рис. 73) и параметры линейных элементов Е, R, XC. ВАХ нелинейных элементов заданы аналитически в виде уравнений аппроксимации в комплексной форме:

б) Составляется система уравнений по законам Кирхгофа, которая дополняется уравнениями аппроксимации в комплексной форме для нелинейных элементов. Полученная таким образом система уравнений решается по стандартной программе:

в) Результаты расчета приводятся к стандартной форме:

4. Резонансные явления в нелинейных цепях

Резонанс в цепи, содержащей нелинейную катушку с ферромагнитным сердечником и линейный конденсатор, получил название феррорезонанса. Для качественного исследования явления феррорезонанса воспользуемся методом эквивалентных синусоид.

Феррорезонанс напряжений будет иметь место в схеме с последовательным соединением элементов (рис. 74, а) при выполнении условия

UL = UC.

Графический расчет схемы представлен на рис. 74, б. Векторное сложение ВАХ отдельных элементов UR(I), UL(I) и UC(I) производится в соот-

б

Рис. 74

При плавном повышении напряжения от 0 до U1 ток будет также плавно изменяться от 0 до I1. При U = U1 произойдет скачкообразное изменение тока от I1 до I2. При последующем повышении напряжения будет наблюдаться опять плавное изменение тока. При плавном уменьшении напряжения обратный скачок тока от I0 до I3 произойдет при напряжении U = U0. Участок ВАХ 1 0 с отрицательным дифференциальным сопротивлением является участком с неустойчивым режимом работы и при питании цепи от источника ЭДС экспериментально не может быть зафиксирован. Если питать цепь от источника тока J, то можно получить все точки ВАХ, включая и неустойчивый участок 1 0. Резонансу напряжений на результирующей ВАХ соответствует точка 0, для которой выполняется условие

104

UL = UC. Таким образом, исследуемая нелинейная цепь обладает следующими свойствами, нехарактерными для линейной цепи: 1) резонансный режим в цепи достигается изменением приложенного к ней напряжения; 2) в цепи могут иметь место скачкообразные изменения тока или триггерный эффект; 3) при одном и том же напряжении источника в цепи могут наблюдаться три различных режима, один из которых – неустойчивый.

При параллельном соединении тех же элементов в цепи будет наблюдаться феррорезонанс токов. На рис. 75, а представлена схема цепи, а на рис. 75, б – ее графический расчет.

При плавном увеличении напряжения ток вначале плавно увеличивается до значения I1, затем уменьшается до значения I0, после чего наблюдается его быстрый рост. Резонансному режиму соответствует точка 0 на ре-

зультирующей ВАХ, для которой соблюдается условие I L IC .

При питании цепи от источника тока J будут наблюдаться скачкообразные изменения напряжения на ее входе.

105

5. Нелинейная катушка с сердечником на переменном токе

Рассмотрим физические процессы, протекающие в катушке с сердечником на переменном токе (рис. 76, а).

Протекающий по обмотке w ток i создает магнитный поток ф, большая часть которого (основной поток) ф0 замыкается по сердечнику, и незначительная часть (поток рассеяния) фs – по воздуху. Основной поток фо нелинейно зависит от тока i, а поток рассеяния пропорционален току, сле-

Протекающий по обмотке w ток i создает магнитный поток ф, большая часть которого (основной поток) ф0 замыкается по сердечнику, и незначительная часть (поток рассеяния) фs – по воздуху. Основной поток ф0 нелинейно зависит от тока i, а поток рассеяния пропорционален току, сле-

Электрическое состояние цепи можно описать нелинейным диффе-

При синусоидальном напряжении на зажимах искажения форм кривых других переменных (i, ф 0 ) будут незначительны, поэтому для исследова-

ния режима катушки можно применить метод эквивалентных синусоид. Уравнение цепи в комплексной форме получит вид:

U m RI m j LS I m j w 0m I m (R jX S ) U 0m для комплексных амплитуд;

U I (R jX S ) U 0 для комплексных действующих значений.

Данному уравнению соответствует эквивалентная схема замещения катушки с сердечником (рис. 76, б), в которой приняты следующие обо-

106

значения: R, XS активное и реактивное (рассеяния) сопротивления обмотки катушки; G 0 , B 0 активная и реактивная проводимости, вносимые сердечником, значения которых для конкретной катушки определяются через

Векторная диаграмма для схемы замещения показана на рис. 77:

+j

UIjXS

IR

U0=E

I

отставать от тока I на угол , который принято называть углом потерь.

6. Трансформатор с сердечником и его схема замещения

Картина распределения магнитных потоков в трансформаторе с сердечником показана на рис. 78:

107

u1 R1i1 LS1 didt1 e1

Анализ полученных уравнений показывает, что ЭДС в первичной цепи e1 направлена навстречу приложенному уравнению u1 и уравновешивает большую его часть, т.е. играет роль противодействующей ЭДС, а ЭДС во вторичной цепи e2 создает ток i2, т.е. играет роль генераторной ЭДС.

Применим к уравнениям трансформатора методом эквивалентных синусоид и запишем их в комплексной форме:

108

U1 I1R1 I1 jX S1 E1 (R1 jX S1 )I1 E1

цепи «приводят» к первичной цепи. Приведение заключается в замене ре-

ального трансформатора с kT w1 1 эквивалентным расчетным транс- w2

ные величины обозначаются штрихом сверху. Условием эквивалентности

Формулы приведения:

Уравнения приведенного трансформатора получат вид:

Этим уравнениям соответствует схема замещения (рис. 79):

109

Рис. 79

Основной магнитный поток Ф 0 создается суммой МДС обеих обмоток. По закону Ома для магнитной цепи: