2

Определение постоянной интегрирования:

Как следует из полученного уравнения, амплитуда свободной состав-

щей равна нулю и переходной процесс в цепи отсутствует.

19. Анализ переходных процессов в цепи R, L, C

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 22).

E

Рис. 22

Общий вид решения для тока:

i(t) iy (t) icв (t) Iy A1e p2t A2e p2t .

Установившаяся составляющая: I y 0 .

41

Постоянные интегрирования определяется из совместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны

42

ней характеристического уравнения показана на рис. 23. i

Imax

tm t

Рис. 23

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

43

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

xсв(t) Ae bt sin 0t или xсв (t) e bt B sin 0t C cos 0t ,

где коэффициенты A и или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

44

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг

становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя,

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжитель-

характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

ния, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его

Указанное свойство находит применение в электротехнике.

20. Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями [iL (0) 0, uC (0) 0] в момент времени t 0 включается под действием источника постоянной ЭДС e(t) E const (рис. 25).

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а по-

e(t) = E = const

iL(0)=0

e(t)

uC(0) =0

t

Рис. 26

ся функция по времени, численно равная соответствующему току i(t) или напряжению u(t) при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику единичной постоянной e(t) E 1(t) . Переходные функции

46

Решение. Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС e(t) E (рис. 27) классическим методом. В результате найдем:

Рис. 27

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заменив в них Е на 1.

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

21. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС u(t) произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику ЭДС произвольной формы u(t) подключается цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной проводимостью g(t) (рис. 28).

47

они с запаздыванием на , то есть в момент t – . Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через проме-

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

1) Выполняют расчет переходного процесса классическим или операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику единичной

48

49

22. Расчет переходных процессов в цепи при воздействии на нее ЭДС e(t) произвольной формы.

Расчет переходных процессов в цепи при воздействии на нее ЭДС e(t) произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной), может быть выполнен также численным методом на ЭВМ основе стандартных программ. Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.

Пусть на цепь RLC (рис. 30) с заданными параметрами элементов в момент t = 0 действует напряжение импульсной формы (рис. 31).

e(t)

Рис. 30

50