2

Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид:

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно

цируем уравнение (2) по переменной z и выполним в него подстановку из уравнения (1):

В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому примем С2 = 0, С1 = Сej , тогда решение для искомой функции получит окончательный вид:

201

= 120 377 Ом.

Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:

Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незатухающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн

Рис. 139

202

странства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопро-

Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой.

6. Плоская гармоническая волна в проводящей среде

движения волны.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости m .

203

Введем обозначения:

С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:

где 1 = p = b – jb, 2 = b + jb корни характеристического уравнения. Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная

волна отсутствует, и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме получит вид:

204

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

волновое сопротивление среды, которое носит активно-индуктивный характер.

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распространяется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн E(z, t) и H (z,t) .

затухают по экспоненциальному закону. Глубиной проникновения поля называется расстояние, на котором амплитуды волн затухают в

205

7. Поверхностный эффект в плоском листе

Ранее было показано, что переменное электромагнитное поле быстро затухает по мере проникновения в толщу проводящей среды. Это приводит к неравномерному распределению поля по сечению магнитопровода, и следовательно, к неравномерному распределению магнитного потока по сечению: на оси магнитопровода плотность магнитного потока наименьшая, а у поверхностного наибольшая.

Для более равномерного распределения магнитного потока по сечению магнитопровода и для уменьшения потерь на вихревые токи, магнитопроводы трансформаторов собираются из отдельных тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга. Исследуем распространение переменного поля в таком листе.

a a

z

Hy

Ф

y

Рис. 141

206

Поле проникает в пластину с двух сторон, а на поверхности пластины с обеих сторон при z = ± a векторы поля должны быть равны, следовательно:

тогда решение для произвольной точки:

Амплитуда магнитного потока Фm и среднее значение амплитуды индукции магнитного поля Bmср определяются согласно уравнению трансформаторной ЭДС.

Распределение магнитного поля по сечению листа в зависимости от его толщины d при частоте f = 100 Гц показано на рис. 142.

Bm/Bm(a)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

z/a

Рис. 142

8. Поверхностный эффект в круглом проводе

Электромагнитное поле в проводящей среде в общем случае описывается системой уравнений Максвелла в комплексной форме:

Если оси координат выбрать так, как показано на рис. 143, т.е. ось z совместить с осью провода и положительным направлением тока, то век-

будет направлен нормально к радиусу по касательной, направление его определяется по правилу правоходового винта.

В цилиндрической системе координат те же уравнения примут вид:

y

H

x

i E

z

Рис. 143

208

Совместное решение этой системы уравнений относительно ком-

Бесселя первого порядка при n = 1. Решения этих уравнений известны из математики. Окончательные решения для векторов поля получают вид:

нулевого и первого порядка от комплексного аргумента qr и сами являются комплексными числами.

Общий вид функции Бесселя n-го порядка выражается бесконечным рядом

Значения функций Бесселя приводятся в математических справочниках в виде таблиц или диаграмм.

Анализ решения для вектора напряженности электрического поля E m

и соответственно для вектора плотности тока E показывает, что переменный ток по сечению цилиндрического провода распределяется неравномерно: его плотность возрастает по направлению от центра к поверхности примерно по экспоненциальному закону. Эта неравномерность выражена тем больше, чем больше число k и радиус провода r0 (рис. 144).

209

и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной степени в стальных ( 1) проводах любого сечения.

На расстоянии = 1/k от поверхности провода плотность тока убывает в е раз, это расстояние называют глубиной проникновения поля:

Как известно, сопротивление проводника постоянному току или омическое сопротивление определяется по формуле:

Внутреннее комплексное сопротивление того же проводника переменному току с учетом поверхностного эффекта может быть выражено через параметры поля:

Z R j X

Практический интерес представляет отношение активного сопротивления провода к омическому R/R0, количественно характеризующее поверхностный эффект в проводе. Расчеты показывают, что на промышленной частоте 50 Гц увеличение активного сопротивления R/R0 незначительно для медных и алюминиевых проводов ( = 1) и существенно для стальных проводов ( 1). С ростом частоты f вследствие усиления поверхностного эффекта происходит увеличение активного сопротивления провода (R/R0>1).

210