2

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

I ( p)

I ( p) Z ( p) E( p)

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.

12. Способы составления системы операторных уравнений

При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений.

21

Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.

По 2-му способу вначале составляется операторная схема цепи. Затем для операторной схемы по одному из методов расчета составляется система операторных уравнений, при этом преобразование Лапласа непосредственно не применяется.

Преимущество 2-го способа состоит в том, что система операторных уравнений для расчетной схемы может быть составлена по наиболее рациональному методу расчета.

Оба способа составления операторных уравнений иллюстрируются ниже на примере электрической схемы рис. 9.

Подвергаем преобразованию Лапласа каждое слагаемое в этих уравнениях и таким образом превращаем их в систему операторных уравнений:

По 2-му способу составляется операторная схема замещения (рис. 10):

22

Для операторной схемы рис. 10 составляем систему уравнений по одному из методов расчета сложных цепей, например, по методу контурных токов:

13. Переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t). Формула разложения

В результате совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображение F(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t), является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике для этой цели применяются два способа.

Первый способ – по таблице соответствия. В этом случае операторное выражение искомой функции F(p) преобразуется к одному из табличных видов и по таблице соответствия определяется оригинал функции f(t). Следует заметить, что такое преобразование удается осуществить только для

23

простых выражений, что существенно ограничивает возможности этого способа.

Второй способ – по формуле разложения является более универсальным, поэтому находит применение в большинстве практических случаев. Сущность этого способа изложена ниже.

При решении системы операторных уравнений для искомой функции получают операторное выражение F(p) в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят степенные полиномы:

Для определения коэффициента A1 умножим обе части уравнения на множитель (p – p1) и найдем предел выражения F(p) при p p1. Очевидно, что в правой части уравнения получим A1, а в левой – неопределенность, так

Тогда выражение искомой функции получает вид:

24

По таблице соответствия находим, что операторному изображению

гинал искомой функции получает вид:

Это уравнение получило название формулы разложения и использу-

пенные полиномы.

2) Приравнивают к нулю знаменатель дроби M(p) = 0 и находят корни

слагаемых-экспонент, при необходимости упрощают выражение:

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов операторным методом показано ниже в виде диаграммы.

Примечание. Составление системы операторных уравнений может выполняться по одному из двух вариантов: 1) путем непосредственного преобразования дифференциальных уравнений Кирхгофа в операторные в и 2) путем составления системы уравнений по одному из методов расчета для операторной схемы замещения.

Замечания к формуле разложения.

1) Если в исходной схеме имеются источники постоянных ЭДС Е, то уравнение M ( p) 0 может иметь один корень, равный нулю p1 0 . Подстановка этого корня в формулу разложения дает постоянную величину

25

формулу разложения в сумме дает синусоидальную функцию времени, которая соответствует установившейся составляющей искомой функции:

разложения сумме дает синусоидальную функцию с затухающей амплитудой:

ла разложения неприменима. Случай кратных корней может встретиться в практике крайне редко. Чтобы применить формулу разложения в этом случае достаточно несущественно изменить параметры одного из элементов схемы.

14. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом рассмотрена на конкретном примере. Пусть для схемы рис. 11 с заданными параметрами элементов Е = 100 В, R = 50 Ом, R1 = 20 Ом, R2 = = 30 Ом, С = 83,5 мкФ, требуется определить ток i1 после коммутации.

26

7) Оформляется вид решения для искомой функции:

8) Строится графическая диаграмма искомой функции i1(t) (рис. 13):

i

A

4

3

2

1

t

Рис. 13

15. Расчет переходных процессов методом численного интегрирования дифференциальных уравнений на ЭВМ

Система дифференциальных уравнений, которыми описывается состояние любой электрической цепи, может быть решена методом численного интегрирования на ЭВМ (метод последовательных интервалов или метод Эйлера).

28

Сущность метода состоит в том, что исследуемый промежуток времени Т (при расчете переходных процессов это продолжительность переходного процесса) разбивается на большое число N элементарных отрезков

В дифференциальных уравнениях дифференциалы функций заменяются их конечными приращениями

а производные функций отношениями приращений:

Система дифференциальных уравнений решается на каждом шаге интегрирования, в результате решения определяются численные значения производных и самих функций. В качестве исходных данных для их определения используются значения этих же функций на предыдущем шаге, а на начальном 1-ом шаге – их значения в момент коммутации при t = 0 , т.е. начальные условия. В результате расчета для функций и их производных составляются массивы их значений в исследуемом интервале времени Т, которые после завершения цикла подвергаются соответствующей математической обработке, а именно: строятся графические диаграммы функций, составляются необходимые таблицы, исследуются функции на наличие максимумов и минимумов, устанавливается продолжительность переходного процесса и его характер, и т.д.

Пример. Рассчитать переходный процесс в схеме рис. 14 с заданными

29

Путем расчета схемы в установившемся режиме до коммутации опре-

Далее следуют вычисления по тому же алгоритму для (к + 1)-го шага

ит. д.

Всоответствии с составленным алгоритмом на любом языке составляется программа вычислений на ЭВМ, что представляет собой несложную инженерную задачу.

30