- •Н.А. Ююкин
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации
- •Основные правила комбинаторики
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы
- •1.2.1. Латинские прямоугольники
- •1.2.2. Конечные проективные плоскости
- •1.2.3. Блок-схемы
- •Формула включений и исключений
- •1.3.1. Объединение комбинаторных конфигураций
- •1.3.2. Принцип включения и исключения
- •1.3.3. Число булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных
- •1.3.4. Решето Эратосфена
- •1.4. Рекуррентные уравнения
- •1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
- •1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •1 (2).4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •1.5. Производящие функции
- •1.5.1. Общие сведения о производящих функциях
- •1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов
- •1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
- •1.6.1. Определение z– преобразования
- •1.6.2. Обратное преобразование
- •В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
- •1.6.3. СвойстваZ-преобразования
- •1.6.4. Использование z-преобразований для решения рекуррентных уравнений
- •1.6.5. Таблица односторонних z-преобразований
- •1.7.Трансверсали и перманенты
- •1.7.1. Множества и мультимножества
- •1.7.2. Трансверсали
- •1.7.3. Пермамент матрицы
- •1.7.4. Число трансверсалей
- •1.8. Матрицы Адамара
- •1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
- •1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
- •1.8.3. Построение матриц Адамара
- •2. Теория автоматов
- •2.1. Понятие конечного автомата
- •2.1.1. Общие сведения о конечных автоматах
- •2.1.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •2.2. Эквивалентности в автоматах
- •2.2.1. Основные определения
- •2.2.2. Покрытия и морфизмы
- •2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов
- •2.3. Процедура минимизации конечных автоматов
- •2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами
- •2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •2.4.3. Эксперименты с автоматами
- •2.5. Автоматные языки
- •2.5.1. Представление о формальных языках
- •2.5.2. Алфавит, слово, язык
- •2.5.3. Классификация грамматик и языков
- •2.5.4. Понятие формальной грамматики
- •2.5.5. Автоматные грамматики.
- •2.6. Модификации конечных автоматов
- •2.6.1. Не полностью описанные (частичные) автоматы
- •2.6.2. Понятия недетерминированного и вероятностного автомата
- •2.7. Процедура минимизации не полностью описанного автомата
- •2.7.1. Совместимые состояния
- •2.7.2. Техника определения совместимых состояний.
- •2.7.3. Построение минимального автомата
- •3. Введение в нечеткую математику
- •3.1. Нечёткие множества
- •3.2. Нечеткие отношения
- •3.3. Нечеткая логика
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Элементы комбинаторики 7
- •2. Теория автоматов 58
- •3. Введение в нечеткую математику 106
1.4. Рекуррентные уравнения
1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
Рекуррентным соотношением (уравнением, рекуррентной формулой) называется соотношение вида
,
которое позволяет вычислить все члены последовательности a0,a1,a2,.., если заданы её первыеk членов.
k– порядок рекуррентного уравнения.
Примеры. 1)an+1 = an + d- арифметическая прогрессия.
2) an+1 = q ∙ an- геометрическая прогрессия.
3) an+2 = an + an+1 - последовательность чисел Фибоначчи.
1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
В
(1)
Последовательность a0, a1, a2,.., удовлетворяющая данному уравнению называетсявозвратной.
М
(2)
называется характеристическим многочленомдля возвратной последовательности.
Корни этого многочлена называются характеристическими. Множество всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному уравнению (1) называется его общим решением.
Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения имеет аналогию с решением линейного дифференциального уравнения. А именно, справедливы теоремы.
Теорема 1. Пусть - корень характеристического многочлена (2), тогда последовательность , гдеc– производная константа, удовлетворяет уравнению (1).
Теорема 2. Если - простые корни характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид:
,
где c1,c2,..,ck– произвольные константы.
Теорема 3. Если - корень кратности (i = 1,2,..,s) характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид:
где cij – произвольные константы.
Зная общее решение рекуррентного уравнения (1), по начальным условиям a0,a1,..,ak-1, можно найти неопределенные постоянныеcij, и тем самым получить частное уравнении (1) с данными условиями.
Пример. Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному уравнению
Характеристический многочлен
1 (2).4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное рекуррентное уравнение
an+k + p1an+k-1 + … + pkan = f(n), (n = 0, 1, 2,…) (3)
Пусть {bn} – общее решение однородного уравнения (1). {cn} – частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (3).
Тогда последовательность {bn+cn} образует общее решение уравнения (3). Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 4. Общее решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного рекуррентного уравнения и некоторого частного решении неоднородного уравнения.
В результате, задача нахождения общего решения неоднородного уравнения (3) сводится к нахождению его частного решения. В отдельных случаях имеются рецепты нахождении частного решения.
1) Если f(n) = βn, (гдеβне является корнем характеристического уравнения), то частное решение следует искать в видеcn = Cβn . Тогда, подставляя его в (3), получаем:
.
Отсюда
В результате, частное решение задаётся формулой
2) Пусть f(n)–многочлен степениr от переменнойn, и число 1 не является характеристическим корнем. Тогдаи частное решение следует искать в виде
Подставляя cn в (3) вместоan, получаем
Сравнивая коэффициенты левой и правой частей полученного равенства, найдём соотношения для чисел di, позволяющие эти числа определить.
Пример. Найти решение рекуррентного уравнения
с начальным условием .
Решение.Рассмотрим характеристический многочлен данного рекуррентного уравнения
.
Его корень . Тогда по теореме 1 общее решение соответствующего однородного рекуррентного уравнения задаётся формулой, где– произвольная константа.
Так как , т.е. единица не является корнем характеристического многочлена, а правая частьесть многочлен первой степени, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде полинома первой степени с неопределёнными коэффициентами, гдеи– неизвестные коэффициенты. Подставиввместов исходное уравнение, получимили. Приравнивая коэффициенты левой и правой части последнего равенства, получаем систему уравнений для определения неизвестныхи:
.
Отсюда, находим: и. Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид. По теореме 4 получаем общее решение неоднородного рекуррентного уравнения. Из начального условия. В результате, окончательно имеем:.