Полный факторный эксперимент_44-45

Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

Полный факторный эксперимент позволяет оценивать линейные эффекты и эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных. В полном факторном экспе-рименте для каждого фактора выбирается определенное число уровней К и затем осуществ-ляются все возможные комбинации уровней. Недостатком полного факторного экспе­римента является необходимость одновременной постановки большого числа опытов, так как с рост-ом числа факторов п число опытов N растет по показательной функции:

N = Kⁿ

При варьировании каждого фактора на двух уровнях ( + 1) и (—1) число

возможных комбинаций (опытов)

N = 2ⁿ

Матрица факторного плана составляется по правилу: частота смены знака (уровня) каждого последующего фактора вдвое меньше предыдущего. В табл.4.1 приведен план серии опытов для п = 3.

Каждый столбец матрицы называется вектор - столбцом, а каждая строка — вектор -строкой.

Часто для сокращения записи матрицы вводят буквенные обозначе­ния строк. Пусть х₁ соответствует буква а, х₂—b, х₃—с и т. д. Если для матрицы планирования (см. табл. 4.1) выписать буквы только для фак­торов, находящихся на верхних уровнях, то каждой строке будет соответ­ствовать единственная комбинация из букв. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначается (1). Тогда та же матрица может быть записана в тексте: (1), а, b, аb, с, ас, bс, аbс.

Таблица 4.1

Полный факторный эксперимент для трех факторов позволяет оценить раздельно основные эффекты А, В и С, эффекты взаимодействия первого порядка АВ, ВС и АС, а так же взаимодействие второго порядка АВС.

Матрицы полных факторных экспериментов обладают особыми свой­ствами, позволяющими эффективно использовать их при исследованиях:

- каждому набору значений одного фактора на лю­бом уровне соответствует равное количество +1 и —1 из любого столбца матрицы, поэтому средний уровень влияния прочих эффектов равен нулю. В результате отсутствует корреляция между факторами, и коэффи-циенты рег­рессии определяются независимо друг от друга;

- матрица является ротатабельной. Это значит, что точность предска­зания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстоя­ниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Дисперсии значений параметра оптимизации равны для точек, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования; дисперсии для всех коэффициентов уравнений равны и минимальны.

Для оценки дисперсии воспроизводимости обычно ставят несколько параллельных опытов в центре эксперимента при х_j = 0. Иногда целе­сообразно также дублировать всю матрицу планирования, определяя средневзвешенную дисперсию воспроизводимости.

Выбор нулевой точки (центра эксперимента) соответствует оптималь­ным значениям факторов на основе априорной информации, опыта экспе­риментатора и результатов исследования аналогичных объектов.

При выборе интервала варьирования Δх = 1 руководствуются сле­дующим:

- все значения факторов в матрице должны быть реализуемыми, т. е. должны находиться в области существования данных факторов.

- величина интервала от +1 до —1 должна существенно превышать ошибку фиксирования данного фактора.

Благодаря свойствам симметричности и ортогональности возможен простой прием получения коэффициентов математической модели поверх­ности отклика; Выведем формулу коэффициентов, исходя из простого примера методом наименьших квадратов (МНК). Пусть имеются два фактора х₁ и х₂ и матрица полного факторного эксперимента. Функция отклика имеет вид

Так как МНК основан на минимуме суммы квадратов ошибок

то, взяв частные производные по а₀, а₁ и а₂, получим после преобразований

Общая формула для расчета коэффициентов

,

где j– номер фактора, j=1, 2, …k; i – номер опыта, i = 1, 2, …N.

Для а₀ все х_0i =+1.

Коэффициенты уравнения (или линейной модели) показывают степень влияния данного фактора на параметр оптимизации, а также показы­вают, на какую величину изменяется этот параметр при изменениях фактора от нулевого уровня до верхнего.

Часто используется понятие эффект фактора, который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изме­нение параметра оптимизации при переходе фактора с нижнего уровня на верхний.

Полный факторный эксперимент позволяет получить линейную модель процесса.

Полным факторным экспериментом следует пользоваться лишь тогда, когда имеется уверенность в том, что функция отклика в пределах пространства варьирования факторов линейна или линейное приближение удовлетворяет исследователя.

45