- •Министерство образования рф
- •2003 Г. Содержание
- •Введение.
- •Открытые и замкнутые множества.
- •1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.
- •Доказательство:
- •Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.
- •2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.
- •2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •5. Внутренняя мера множества и её свойства.
- •Мера Лебега: определение, свойства.
- •6.1 Определение меры Лебега.
- •6.2 Свойства меры Лебега.
- •Доказательство.
- •Измеримые множества и их свойства
- •7.1 Определение измеримых множеств.
- •7.2 Основные свойства измеримых множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
Доказательство.
Будем обозначать пересечение множеств ,,... символом. В силу тождествадоказываемая теорема сразу вытекает из теорем 2 и 4.
Теорема 6. Разность двух измеримых множеств является измеримым множеством.
Доказательство вытекает из тождества и из теорем 4 и 5.
Переходим теперь к доказательству основной теоремы теории меры.
Теорема 7. Мера суммы конечного или счетного числа попарно измеримых непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств.
Доказательство.
Пусть , причем множестваизмеримы и попарно не пересекаются. Рассмотрим отдельно два случая.
1) Сначала предположим, что все ограничены. Заметим, что для случая, когда всезамкнуты и их конечное число, доказываемая теорема сразу вытекает из свойств внешней меры.
Пусть теперь - произвольные ограниченные попарно не пересекающиеся множества.
В силу следствия из теоремы 4 для любого и для каждого номеранайдется замкнутое множество, содержащееся ви такое, что. Так как все множестваограничены, замкнуты и попарно не пересекаются, то для любого конечногов силу сделанного выше замечания
(10)
С другой стороны, из равенства вытекает (в силу свойств внешней меры), что,
так что
(11)
(для любого конечного ). Из (10) и (11) заключаем, что для любого конечного
(12)
Учтем теперь, что сумма всех множеств содержится в. Отсюда следует, что для любого номера
,
так что (в силу (12)) для любого номера
(13)
Переходя в (8.15) к пределу при , мы получим, что
,
и, стало быть, на основании произвольности
. (14)
Теперь остается заметить, что из равенства суммы множествуи из свойств внешней меры вытекает обратное неравенство
. (15)
Из неравенств (14) и (15) вытекает утверждение доказываемой теоремы (для случая ограниченных множеств ).
2) Пусть теперь множества не являются, вообще говоря, ограниченными. Тогда мы обозначим символомограниченное множество.
Из равенства и из рассмотренного выше случая следует, что
.
Теорема полностью доказана.
Для того чтобы сформулировать еще одно свойство меры, введем новое понятие.
Определение 2. Назовем множество множеством типа, еслипредставимо в виде пресечения счетного числа открытых множеств, и множеством типа, еслипредставимо в виде суммы счетного числа замкнутых множеств.
Теорема 8. Если множество измеримо, то найдутся множествотипа, содержащееся в, и множествотипа, содержащее, для которых.
Доказательство.
В силу измеримости и следствия из теоремы 8.5 для любого номеранайдутся открытое множество, содержащее, и замкнутое множество, содержащееся в, такие, что
, . (16)
Положим ,. Так как для любого номера
, ,
то в силу (16) и свойства 1’ внешней меры
, .
В силу произвольности номера отсюда следует, чтои. Теорема доказана.