- •Министерство образования рф
- •2003 Г. Содержание
- •Введение.
- •Открытые и замкнутые множества.
- •1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.
- •Доказательство:
- •Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.
- •2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.
- •2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •5. Внутренняя мера множества и её свойства.
- •Мера Лебега: определение, свойства.
- •6.1 Определение меры Лебега.
- •6.2 Свойства меры Лебега.
- •Доказательство.
- •Измеримые множества и их свойства
- •7.1 Определение измеримых множеств.
- •7.2 Основные свойства измеримых множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.
Теорема 13: Для того чтобы F ограниченное было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получена из этого отрезка удалением из него конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат F.
Доказательство:
(необходимость)
Пусть F ограниченное замкнутое множество тогда существует наименьший отрезок содержащийF.
Возможны два случая:
1. =F; -отрезок,F - отрезокF ограниченное замкнутое множество.
2. F, т.е. \F ;\F=(дополнение домножестваF)
Возьмем не предельная точка дляF - не внутренняя точка множества. Т.к.- произвольная точка, то- открыто. По теореме о строении ограниченных открытых множеств- является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG (составляющих интервалов), удаляя из них получим замкнутое множество.
(достаточность)
1. Если =F; -отрезок,F - отрезокF замкнутое множество.
2. Пусть F получено из удалением из него конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатF.
Пусть G – объединение удаляемых интервалов, т.е. . Как мы только что доказалиG- открыто. Пусть ,x не может быть предельной точкой для F т.к. она принадлежит G вместе с некоторой своей окрестностью. Т.е. F содержит все свои предельные точки, т.е. F –ограниченно.
Следствие 4: Для того чтобы F было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось числовой прямой или получено удалением из R конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат R.
Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.
2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.
Определение 1: Мерой интервала (a, b) a<b называется его длина, т.е. число m=m(0,1)=a-b m(a, b)>0.
Всякое открытое множество является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).
Пусть G – открытое множество. = . Т.к.G – открытое множество, то мера, которогоm=a-b. Очевидно что . Итак интервалыпопарно не пересекаются и содержатся в интервале (a,b).
Рассмотрим два случая:
G–конечное объединение интервалов. т.е.G=- положительное число, выражающее собственную сумму мер не пересекающихся интервалов входящих в состав множестваG.
Пусть . Рассмотрим ряд- положительный числовой ряд.
(1) - частичная сумма ряда
Последняя частичная сумма возрастающая (т.к. члены ряда все положительные) и ограничена сверху (с.м. случай 1).по определению (1) сходиться и его сумма есть не отрицательное число. ЕслиG открытое ограниченное множество, то сумма мер его составляющих интервалов не отрицательное число, не большее чем b-a.
Определение 2: Мерой ограниченного открытого множества G называется сумма мер его составляющих интервалов. Ясно что .
2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.
Теорема 1: Если ограничено открытое множество G является объединением конечного или счетного числа попарно не пересекающихся открытых множеств Gk, то .
Доказательство:
. В правой части последнего равенства не более чем счетное число интервалов. Т.к. не пересекаются попарно, то и интервалы в последнем равенстве не пересекаются, следовательно, они являются составляющими интервалами для множестваG, а, следовательно .
Теорема 2: Пусть - ограниченно открытые множества, такие что. Тогда.
Доказательство:
. Возьмем любой составной интервал множества для него обязательно существует такой составной интервал, что;. Проссумируем по к и в итоге получим:.
Мера ограниченного замкнутого множества: определение, свойства.
3.1 Определение меры ограниченного замкнутого множества.
Определение 1: Мерой пустого множества называется число 0.
Пусть F ограниченное замкнутое множество. тогда существует наименьший отрезок содержит множествоF. - ограниченное открытое множество. Следовательно, существует мера этого множества. Т.к.
Определение 2: Мерой ограниченного замкнутого множества F называется число, обозначаемое mF, и определяемое по формуле , где- наименьшиё отрезок содержащий множествоF.
3.2 Свойства мер ограниченных замкнутых множеств.
Теорема 1:
Доказательство:
Теорема 2: Пусть (a,b) и (c,d) не пересекающиеся отрезки, тогда мера их объединения равна сумме мер отрезков.
Доказательство:
Теорема 2: Пусть F ограниченное замкнутое множество содержащиеся в интервале (c,d), тогда
CF Доказательство:
Пусть наименьший
c а b d отрезок содержащий множество
F.
F
Тогда по определению
Теорема 3: Пусть - ограниченно замкнутые множества, такие что. Тогда.
Доказательство:
Пусть G – открытое множество т.ч. (это возможно сделать т.к.ограниченно). Рассмотрим множество- открытое множество. Действительно
. (умножим на -1 и прибавимmG)
Внешняя мера множества и её свойства.
Пусть E – ограниченное множество. . Возьмём всевозможные открытые множестваG покрывающие множество E. .
Определение 1: Пусть A множество всевозможных множеств покрывающих множество E. Внешней мерой множества E называется число, обозначаемое A(E) – множество всевозможных множеств содержащих множество E.
Выясним основные свойства внешней меры:
Свойство 1: .
Доказательство:
.
Свойство 2: Если , то.
Доказательство:
- множество всевозможных множеств содержащих множество .
- множество всевозможных множеств содержащих множество .
. Если область расширенно, то его область значения может только уменьшиться, т.к. .
Свойство 3: Если множество Е представляет собой сумму конечного
или счетного числа множеств (символически), то
(1)
Доказательство.
Фиксируем произвольное >0. По определению меры как точной нижней грани, для каждого номераk найдется покрытие множествасистемой интервалов(n=1, 2, ...) такое, что:
(2)
Обозначим через S покрытие всего Е, объединяющее все покрытия (k=1, 2, ...) и состоящее из всех интервалов (k = 1, 2,...; n=1, 2, ...)• Так как S является покрытием Е, то m*E, но .
Из последних двух соотношений и из (2) получим:
Будем обозначать расстояние между множествами .
Свойство 4:Если>0 то