- •Министерство образования рф
- •2003 Г. Содержание
- •Введение.
- •Открытые и замкнутые множества.
- •1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.
- •Доказательство:
- •Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.
- •2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.
- •2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •5. Внутренняя мера множества и её свойства.
- •Мера Лебега: определение, свойства.
- •6.1 Определение меры Лебега.
- •6.2 Свойства меры Лебега.
- •Доказательство.
- •Измеримые множества и их свойства
- •7.1 Определение измеримых множеств.
- •7.2 Основные свойства измеримых множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
Доказательство:
Пусть M=supE и . Докажем чтоM предельной точкой множества E. Возьмём любую окрестность (M,)точкиM.
M-M
Возьмем такого чтоM-, так какM=sup E, то такой что. По определениюM предельная точка множества E. Теорема доказывается аналогично для случая, когда m=infE.
Следствие 1: Если замкнутое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет самую правую (левую) точку.
Доказательство:
Если множество E ограничено, то оно имеет sup E, inf E.
Пусть М=sup E. Рассмотрим два случая:
1. 2.
1. Из теоремы 2 следует, что М – предельная точка множества Е, но Е замкнуто, следовательно , противоречие. Т.е. случай 1 невозможен, т.о. М=sup E , т.е. М – самая правая точка множества Е.
Пусть м=inf Е. Рассмотрим два случая:
1. 2.
1. Из теоремы 2 следует, что m – предельная точка множества Е, но Е замкнуто, следовательно , противоречие. Т.е. случай 1 невозможен, т.о.m=inf E, , т.е. м – самая левая точка множества Е.
Следствие 2: Если Е ограниченное замкнутое множество, то существует наименьший отрезок, содержащий Е, им является отрезок [m, M].
Лемма 1: Множество попарно не пересекающихся интервалов на R или конечно или счетно.
Доказательство:
Пусть - множество попарно не пересекающихся интервалов наR. Q – счетное множество рациональных чисел, представим его в виде бесконечной последовательности . Возьмем, насуществует бесконечно много рациональных чисел. Пустьодно из рациональных чисел, соответствующий интервал обозначим. Для числамы поставим в соответствие, которому он принадлежит. И т.д.
Число интервалов равно числу натуральных чисел. Множество, состоящее из натуральных чиселили конечно или счетно. Таким образом,A или конечно или счетно.
Определение 6: Если открытое множество, интервал составляющим интервалом множестваG, если ,.
Теорема 11: Если ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому интервалу его составляющему.
Доказательство:
рассмотрим множество .
1. F- замкнуто. тогда G-открыто, CG-замкнуто, - замкнуто,- замкнуто.
2. F- ограничено снизу следовательно существует M=supF. F- Замкнуто, следовательно М предельная точка множества F, . Рассмотрим промежутоки покажем, что он содержится вG. Предположим что , ночто невозможно т.к.M нижняя грань множества F.
Аналогично строится промежуток . Т.о. любая изG принадлежит некоторому его составляющему интервалу.
Теорема 12: (о строении ограниченных открытых множеств)
Для того чтобы ограниченное множество G было открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).
Доказательство:
(необходимость)
Пусть G ограниченное открытое множество. Докажем что G объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов. По теореме 3 каждая точка из G принадлежит некоторому интервалу его составляющему. Различные составные интервалы не пересекаются, т.к. их концы не принадлежат G. Т.к. G содержится в R, то множество попарно не пересекающихся интервалов или конечно или счетно.
(достаточность)
Пусть G объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G. Т.о. G открыто, как объединение конечного или счётного числа отрытых множеств.
Следствие 3: (о строении открытых множеств)
Для того чтобы было открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).