- •Министерство образования рф
- •2003 Г. Содержание
- •Введение.
- •Открытые и замкнутые множества.
- •1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.
- •Доказательство:
- •Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.
- •2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.
- •2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •5. Внутренняя мера множества и её свойства.
- •Мера Лебега: определение, свойства.
- •6.1 Определение меры Лебега.
- •6.2 Свойства меры Лебега.
- •Доказательство.
- •Измеримые множества и их свойства
- •7.1 Определение измеримых множеств.
- •7.2 Основные свойства измеримых множеств.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
Открытые и замкнутые множества.
Определение открытых и замкнутых множеств.
При множествоназывается шаром с центромрадиусаили также-окрестностью точки.
Определение 1: Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними, т.е. если оно не содержит своих граничных точек. Исходя из, этого пустое множество следует считать открытым.
Пример 1: Любое n-мерный интеграл – открытое множество.
Определение 2: Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т.е. если . Иначе если множество замкнуто, то оно содержит свою границу, т.е.. Исходя из, этого пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым.
Пример 2: Любой отрезок – замкнутое множество.
Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.
Пример 3: Множество R рациональных точек ни замкнуто, ни открыто.
Линейный полусегмент - ни замкнутое, ни открытое множество.
Докажем теперь теоремы характеризующие свойства открытых и замкнутых множеств.
1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.
Теорема 1: Производное множество любого множества E замкнуто.
Доказательство:
Пусть в любой окрестноститочкиимеются точки множестваотличные от. Пусть. Т.к.предельная точка множестваE, должна быть предельной для E . Т.о.содержит все свои предельные точки, а это значит что оно является замкнутым.
Следует заметить, что в частном случае производное множество может оставаться пустым.
Теорема 2: Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто.
Доказательство:
Пусть и (в силу замкнутости F) . Но это означает, что некоторая окрестностьV(x) точки x не принадлежит F и поэтому принадлежит CF.
Теорема 3: Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.
Доказательство:
любая предельная точка x множества CG принадлежит этому множеству, т.к. в противном случае . А т.к. множествоG открыто, то и некоторая окрестность V(x) точки x не принадлежала бы G и не принадлежала бы CG, т.е. x не являлась бы предельной точкой множества CG.
Теорема 4: Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством.
Доказательство:
Пусть Е - сумма любого числа открытых множеств и. Тогда (по определению суммы множеств)(хотя бы одному) и т.к.- открытое, то и некоторая окрестностьV(x) точки x принадлежит хотя бы одному аи множествуE.
Теорема 5: Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.
Доказательство:
Пусть Е - пересечение любого конечного числа открытых множеств . Тогда, и поэтому найдется некоторая окрестность. точкиx принадлежащая . Если
Теорема 6: Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Доказательство:
Пусть Е - пересечение любого числа замкнутых множеств .CE представляет собой сумму всех дополнений , каждое из которых является (по теореме 2) открытым множеством. По теореме 4CE – открытое множество, апо теореме 3E – замкнутое множество.
Теорема 7: Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Доказательство:
Пусть Е - сумма конечного числа замкнутых множеств тогдакаждое, из которых является (по теореме 2) открытым множеством. По теореме 4CE – открытое множество, апо теореме 3E – замкнутое множество.
Теорема 8: Любой шар S(a,r) - открытое множество.
Доказательство:
Пусть . Рассмотрим.
Пусть , покажем что.Следовательно, любой шарS(a,r) - открытое множество.
1.3 Структура открытых линейных множеств из R.
Определение 1: Множество E из R называется ограниченным с верху (снизу) если существует такая точка Q(P) что для любых точек .
Определение 2: Множество E называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т.е. если существует P,Q такие что для любого .
Определение 3: Множество E называется ограниченным, если существует положительное число M, такое что для любого .
Определение 4: Точка называется верхней гранью множестваE, если правее точки M нет точек множества E, и для любого >0 существуетлежащая правее точкиM-.ОбозначаетсяM=sup E= .
Определение 5: Точка называется нижней гранью множестваE и обозначается m=infE=.
Теорема 9: Всякое не пустое ограниченное с верху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Теорема 10: Если верхняя (нижняя) грань множества E существует, но не принадлежит E, то она является предельной точкой множества E.