Доказательство.

Положим =1/2. Для произволь­ного>0 и выбранного нами б>0 найдется покрытиеS(E) множества и длина каждого интервала покрытияменьше. Очевидно, что интервалы покрывающие точки не содержат точек.И наоборот, интервалы, покрывающие точки, не содержат точек . Иными словами, взятое нами покрытие S(E) распадается на сумму двух покрытий S(E)=,первое из которых покрывает, а второе покрывает. Итак, мы получаем, что .Отсюда следует, чтои, стало быть (в силу произвольности),. так как на основании свойства 3 справедливо и обратное неравенство, то .

Свойство 5:Для произвольного множества Е и произвольного числа > 0 найдется открытое множество G содержащее Е и такое, что .

Доказательство.

Достаточно взять в качестве G сумму всех интервалов, составляющих покрытие S(E) множества Е, для которого .

Лемма: Пусть система открытых множеств.. Тогда.

Доказательство.

Т.к. О – открытое множество, то его можно представить как объединение попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).

- счетное объединение попарно не пересекающихся интервалов.

Берём произвольный интервал . Выберем, таким образом чтобы;;- система покрывающая отрезок. Из системы можно выбрать конечную систему интервалов покрывающих данный отрезок., или. Просуммируем поk: ;(*)

Рассмотрим ;- сходящиеся положительное число.;Т.к.- произвольное положительное число, то можно перейти к пределу при

5. Внутренняя мера множества и её свойства.

Пусть иE некоторое множество из . Рассмотрим,

Определение 1: Внутренней мерой множества F называется число .

Свойство 1: .

Свойство 2: .

Лемма 1: Пусть О,О’- ограниченные открытые множества покрывающие интервал (0,1). Тогда m

Лемма 2: - система попарно не пересекающихся интервалов. Тогда

6. Мера Лебега: определение, свойства.

6.1 Определение меры Лебега.

Определение 1: Если внешняя и внутренняя мера множества равны, то множество Е называется измеримым по Лебегу, или короче, просто измеримым и общее значение мер т*Е и тЕ называется мерой множества Е по Лебегу или, короче, просто мерой Е обозначается т

Примеры измеримых множеств:

Всякое множество Е, внешняя мера которого не более нуля, измеримо. Действительно, внешняя мера множества т*Е не может быть отрицательной :; с другой стороны, по условию, откуда следует:. Внутренняя мера множества, являясь также неотрицательной, не может пре­вышать его внешней меры. Значит, в данном случае

Всякое множество Е, состоящее из конечного числа точек, измеримо. Пусть Е состоит из N точек. Построив окрестности каждой точки длиной /N, получаем совокупность интервалов, покрывающих множество. Е общей длиной, гдесколь угодно мало. Следовательно, внешняя мера. Внутренняя меране может быть отрицательной; значит, и внутренняя мера в этом случае равна нулю:, а, следовательно, и мера множества Е, состоящего из конечного числа N точек, равна нулю.

Всякое замкнутое множество F измеримо. Оно является либо сегментом S, либо получается удалением из него конечного или счетного множества интервалов, составляющих в совокупности открытое множество CF. А так как CF измеримо, то и F измеримо.

Канторово множество как множество замкнутое измеримо.