5. Общие принципы синтеза алгоритмической структуры системы управления

Для решения задачи синтеза алгоритмической структуры должны быть известны передаточная функция W_o(p)объекта управления, возмущениях_в, действующие на входе и выходе объекта, а также помехи, возникающие в каналах задания и измерения (рисунок 9.15, а, б).

В простейшем случае, когда возмущающие воздействия на объект отсутствуют, управление можно осуществлять по разомкнутой схеме (рисунок 9.15, а). Если при этом передаточную функцию W_у(р)управляющего устройства принять равной

Рисунок 9.15 Простейшая структурная оптимизация САУ (а – при отсутствии возмущений, б – с возможностью полной компенсации возмущения)

то обеспечится полная (структурная) компенсация инерционности объекта, и система управления будет практически мгновенно воспроизводить на выходе объекта задающее воздействие.

Если на объект действует возмущение х_в, которое поддается измерению, то теоретически можно синтезировать идеальную разомкнутую систему управления с полной компенсацией возмущения (рисунок 9.15, б). Причем, передаточная функция, обеспечивающая полную компенсацию инерционности объекта, оказывается наилучшей и для компенсации возмущения х_в. Действительно, при выполнении условия

(9.27)

всегда , поэтому полезная составляющаях_y на выходе объекта будет полностью уравновешивать возмущениех_в.

Однако, возмущение х_вкак правило, не удается измерить, и систему управления приходится строить по замкнутой схеме или по принципу обратной связи. Для отыскания структуры идеальной замкнутой системы можно использовать идею косвенного измерения возмущениях_вс помощью модели объектаW_oм(p) (рисунок 9.16, а). Очевидно, что при:

, (9.28)

вычисляемый на выходе модели (см. штриховые стрелки) сигнал

, (9.29)

является косвенно измеренным возмущением х_в, и его можно, как и в предыдущей схеме (рисунок 9.16, б), ввести в управляющее устройство с передаточной функцией1/W_o(р)и, таким образом, снова получить идеальную разомкнутую структуру. В ней, в соответствии с правилами структурных преобразований, сигналх_умможно перенести на вход управляющего устройства и приложить к сумматору 2. Тогда управляющее устройство1/W_о, окажется охваченным внутренней положительной обратной связью, а сигнал после сумматора 1 будет соответствовать сигналу ошибки. Последнее означает, что система стала замкнутой и работает по принципу отрицательной обратной связи с регулятором (рисунок 9.16, а, штриховой прямоугольник).

Рисунок 9.16 САУ с косвенным измерением возмущающего воздействия с использованием модели объекта управления

. (9.30)

При точном совпадении модели и объекта регулятор W_p(p) будет работать как пропорциональный ск_p=, что соответствует нулевым ошибкам по каналам задания и возмущения.

Используемое в идеальной системе включение последовательно с объектом звена в виде обратной модели объекта является принципиальной основой структурного и параметрического синтеза систем управления, а сам прием называется методом компенсации инерционности объекта.

В практических задачах синтеза чаще всего применяется частичная (параметрическая) компенсация – устранение влияния одной – двух (обычно самых больших) постоянных времени объекта. Для этого последовательно с инерционным объектом:

, (9.31)

где , включают форсирующее звено первого - второго порядка с передаточной функцией:

, (9.32)

для которого постоянные времени должны быть равны компенсируемым постоянным времени объекта, т. е.:

;

и передаточный коэффициент:

Следует заметить, что практическая реализация систем с идеальной структурой (рисунок 9.16, б) и применение метода компенсации инерционности объекта связаны с определенными техническими ограничениями и препятствиями, которые не всегда могут быть преодолены. В частности: как правило, невозможно точно реализовать обратную передаточную функцию объекта 1/W_o. Форсирующие звенья (9.32), используемые для частичной компенсации инерционности объекта, реально имеют свою инерционность. Регулятор с внутренней положительной обратной связью обычно структурно неустойчив или имеет большой передаточный коэффициент, который вызывает нереализуемые управляющие воздействия. Тем не менее, несмотря на невозможность практической реализации системы с идеальной структурой, она является теоретическим пределом, к которому необходимо стремиться при синтезе высококачественных систем управления. Таким образом, принцип структурно - параметрической оптимизации систем управления с обратной связью можно сформулировать следующим образом: управляющее устройство должно содержать динамическое звено с передаточной функцией, равной или близкой обратной передаточной функции объекта.

Установить степень приближения к желаемому теоретическому пределу возможно путём использования различных критериев.

При проектировании систем управления объектами, не содержащими чистого запаздывания, наибольшее применение получили два критерия - модульный оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО).

Критерий модульного оптимума, называемый также критерием амплитудного или технического оптимума, заключается в выполнении следующих требований к форме амплитудной характеристики A(), замкнутой системы по каналух_з … y: характеристика в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равной единице; наклонный участок характеристики должен быть как можно более крутопадающим. Другими словами, критерий модульного оптимума требует, чтобы настраиваемая система приближалась по своим частотным передаточным свойствам к идеальному фильтру низкой частоты, имеющему, как известно прямоугольную частотную характеристику с частотой пропускания равной резонансной частоте_пр = _о. Тогда при отсутствии помехи на входе, система будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействиех_з, и подавлять возмущениех_в. При наличии на входе высокочастотной помехи частоту пропускания_п, системы выбирают также достаточно большой, но по компромиссному условию совместной фильтрации всех действующих сигналов.

Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет так называемый фильтр Баттерворта, у которого АЧХ:

, (9.33)

На практике обычно используют фильтры с порядком . Нетрудно убедиться, что колебательная модель:

, (9.34)

замкнутой системы при коэффициенте демпфирования x = 0,7имеет амплитудную характеристику:

,

соответствующую частному случаю фильтра с n = 2.

Таким образом, в рамках приближенной модели критерию МО соответствует значение коэффициента демпфирования x = 0,7; при этом главные показатели качества:

; (9.35)

где - частота собственных незатухающих колебаний замкнутой системы (приx=0), характеризующая полосу пропускания фильтра;T₀₁- постоянная времени разомкнутого контура системы.

Для колебательной модели нестрогий критерий МО обеспечивает одновременно минимумы интегральной и «улучшенной» интегральных оценок с весовым коэффициентом .

Настройку на модульный оптимум применяют для контуров регулирования при передаточной функции объекта

, (9.36)

Здесь T₀₁является наименьшей постоянной времени, влияние которой не компенсируется, причемТ₀₁приближенно заменяет собой несколько постоянных времени с еще более малыми значениямиТ_oiт.е.и

Регулятор в данном случае имеет передаточную функцию:

, (9.37)

где соответствующей передаточной функции ПИ-регулятора.

Передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

, (9.38)

Очевидно, что при единичной обратной связи .

На рисунке 9.17, а показаны ЛАЧХ L()разомкнутого контура и переходная характеристикаh(t)замкнутой системы с объектом (9.36) и ПИ-регулятором, настроенным на МО. Передаточная функция замкнутого контура, настроенного на МО, имеет вид:

, (9.39)

Ей соответствуют показатели качества:

,

При необходимости реализовать астатическое регулирование в данном случае пользуются настройкой на симметричный оптимум (СО).

Рисунок 9.17 Частотные и переходные характеристики одноконтурной системы регулирования, настроенной по критериям модульного (а) и симметричного (б) оптимумов

Для астатических объектов второго порядка вида:

, (9.40)

по условиям структурной устойчивости замкнутой системы нельзя использовать ПИ-регулятор с настройкой , полностью компенсирующей единственную постоянную времени. Поэтому для таких объектов применяют настройку, обеспечивающую лишь частичную компенсацию постоянной времениТ₀₁. Найдем наилучшие соотношения настроечных параметров для частичной компенсации. Передаточная функция разомкнутого контура, состоящего из астатического объекта (9.40) и ПИ-регулятора с, имеет вид:

, (9.41)

Ей соответствует передаточная функция замкнутой системы:

, (9.42)

Применяя к знаменателю функции (9.42) соотношения Баттерворта, можно получить следующие настройки ПИ-регулятора:

;= T_и = 4T₀₁

причем Т_и = 2Т₀₁.

При полученных настройках передаточные функции (9.41) и (9.42) принимают вид:

, (9.43)

, (9.44)

Передаточной функции (9.43) соответствует симметричная ЛАЧХ (рисунок 9.17, б), поэтому изложенный подход к выбору настроек получил название симметричного оптимума.

Передаточной функции (9.44) соответствует переходная характеристика замкнутой системы (рисунок 9.17, б). Переходный процесс в контуре, настроенном на СО, характеризуется следующими показателями:

, ;

Для сравнения передаточных свойств контуров, настроенных по разным критериям, найдем передаточные функции замкнутой системы по каналу х_в:

а) по критерию МО:

, (9.45)

, (9.46)

где W_з(р)- передаточные функции замкнутой системы по основному каналу.

Сравнивая попарно функции (9.39 и 9.44) и (9.45 и 9.46), обратим внимание на следующие их особенности и различия. Все функции имеют знаменатели, соответствующие полиномам Баттерворта. Это означает, что собственные динамические свойства систем, настроенных по МО и СО, можно приближенно описать инерционным звеном первого порядка:

где Т_э =2Т_о, для системы, настроенной на МО, иТ_э = 4Т_о, для системы, настроенной на СО. В числителе передаточной функции (9.44) присутствует форсирующий сомножитель4T₀₁р+1, из-за которого в системе, настроенной на СО, переходный процесс по каналу х_з…yобладает значительным перерегулированием (рисунок 9.17, б). В передаточную функцию (9.45) в качестве сомножителя входит реальное дифференцирующее звено с постоянной времениТ₀₂, вследствие чего переходный процесс по каналу х_з…yв системе, настроенной на МО, имеет большую длительность, чем в системе, настроенной на СО.