Глава 3. Характеристики и модели типовых динамических систем управления

1. Общая характеристика линейных динамических звеньев

Динамическим звеном называют часть системы, описываемую дифференциальным (или интегральным) уравнением. В общем случае порядок уравнения может быть произвольным и звено сколь угодно сложным. Самая сложная система, в ряде случаев так же может рассматриваться как сложное звено.

Рассматривая характеристики звеньев независимо от их назначения, физического принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков:

1. простейшие: усилительные интегрирующие и дифференцирующие звенья;

2. звенья первого порядка: инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие;

3. колебательные звенья второго порядка.

Передаточная функция всех типовых звеньев представляет собой рациональную дробь

, (3.1)

причем нули и полюсы функции W(p), соответствующие уравнениямK(p)=0иD(p)=0, лежат в левой полуплоскостиРили на ее границе, совпадающей с мнимой осью.

Любая линейная система может быть разложена на звенья четырех типов: интегрирующие, дифференцирующие, суммирующие и масштабные (усилительные). Почти все реальные системы, у которых порядок числителя передаточной функции меньше порядка знаменателя, могут быть разложены на звенья трех типов: интегрирующие, суммирующие и масштабные.

При изучении свойств типовых звеньев будем рассматривать их следующие характеристики:

1. дифференциальное уравнение;

2. передаточную функцию;

3. частотную передаточную функцию (комплексный коэффициент усиления);

4. амплитудно-фазовую частотную характеристику;

5. амплитудно-частотную характеристику;

6. фазовую частотную характеристику;

7. логарифмическую амплитудную частотную характеристику;

8. логарифмическую фазовую частотную характеристику;

9. переходную функцию;

10. весовую функцию.

2. Пропорциональное безинерционное (масштабное) звено

Безинерционным звеном называется звено, не обладающее запаздыванием, у которого выходная величина точно следует за входной и пропорциональна ей.

Для безинерционного звена зависимость между входной и выходной величинами выражается формулой

, (3.2)

где K - коэффициент передачи.

Передаточная функция

, (3.3)

Примером простейшего пропорционального звена может служить потенциометр (рисунок 3.1,а). Передаточная функция которого:

, (3.4)

Безинерционным пропорциональным звеном можно считать также операционный усилитель (рисунок 3.1,б), у которого на входе и в обратной связи включены активные сопротивления, то есть Z₀(p)=R₀, Z₁(p)=R₁. Передаточная функция такого усилителя:

, (3.5)

Комплексный коэффициент усиления:

, (3.6)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рисунок 3.1,в) представляет собой точку, отстоящую по оси абсцисс на расстоянии K от начала координат.

Амплитудно-частотная характеристика:

, (3.7)

Фазовая частотная характеристика

, (3.8)

АЧХ и ФЧХ показаны соответственно на (рисунок 3.1,г, д), из которых следует, что безинерционное звено пропускает все частоты без сдвига по фазе.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

, (3.9)

Переходная функция

, (3.10)

Весовая функция

, (3.11)

ЛАХ, переходная и весовая функции показаны соответственно на рисунке 3.1,е,ж,з.