Met2009
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет
Кафедра математического анализа
Функциональный анализ
практикум
Издательство Алтайского государственного университета Барнаул, 201x
ÓÄÊ 517.5 ÁÁÊ 22,162
Рекомендовано к изданию Пленумом научно-методического совета по математике и механике.
УМО университетов России.
Саженков А.Н., Вайгант В.А., Матукевич О.Ю., Саженкова Т.В., Славский В.В. Функциональный анализ. Практикум. Под общей редакцией А.Н.Саженкова: Учебное пособие. Барнаул: Изд-во Алтайского госуниверситета, 201x.
Учебное пособие создано на основе многолетнего опыта преподавания авторами курса функционального анализа на математическом факультете АГУ. Объем изложенного материала соответствует годовому курсу.
Рецензент: профессор Л.Я. Савельев Новосибирский государственный университет
c Составление:Матукевич О.СаженковЮ.,СаженковаА.Н., ТВайгант.В., В.А.,
Славский В.В., 2001.
c Оформление:Дронов В.С., 201х.
3
Используемые обозначения
Пространства:
à) lp пространство последовательностей x = (x1, x2, . . . ), xn
R : P∞1 |(xn)|p < ∞.
k
á) Cфункций[a, b] напространство непрерывных до k-той производной
[a, b].
â) |
ck пространство сходящихся к k последовательностей x = |
||||||||||||||||||||
|
(x1, x2, . . . ), xn R, xn → k, n → ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) ций на пространство интегрируемых до |
k |
-той степени функ- |
|||||||||||||||||||
|
Lk[a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
[a, b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ä) mстей. пространство ограниченных числовых последовательно- |
|
||||||||||||||||||||
Стандартные метрики (если для метрического пространства не |
|
||||||||||||||||||||
|
указана метрика, то подразумевается одна из данных): |
|
|||||||||||||||||||
|
ðèêà). |
|
|
|
|
|
|
n |
(xk |
− yk)2 |
. (Евклидова мет- |
||||||||||
а) Пространство Rn: ρ(x, y) = pPk=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) Пространство lp: ρ(x, y) = p |
∞ xn |
yn |
| |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) Пространство |
|
: ρ(x, y) = supp x1 | |
y −. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
P |
|
|
n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
| n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) Пространство C(k)[a, b]: |
|
|
|
k |
|
sup |
|
x(n)(t) |
|
y(n)(t) |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(Чебышевская метрика). ρ(x, y) = Pn=0 t [a,b]| |
|
|
− |
| |
|
|||||||||||||||
д) Пространство Lk[a, b]: ρ(x, y) = qp |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
Rab(|x(t) − y(t)|)pdt |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Стандартные нормы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a) Rn: kxk = |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k=1 xk2 |
sup xp |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
á) |
Cn[a, b]: xp= |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
Pp=0 a≤t≤b | |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
â)
ã)
lp: kxk = (Pi∞=1 |xbi|p)1/p |
1/p |
Lp[a, b]: kxk = Ra |x(t)|pdt |
|
Операторы:
à) E тождественный оператор (E(x) = x). á) D(A) область определения оператора A. â) E(A) область значений оператора A.
Оглавление
Первый семестр 1 Нормированные пространства
1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . .
2. Полнота метрического пространства. . . . . . . . . .
3. Всюду плотные множества . . . . . . . . . . . . . . .
4. Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самопроверки к главе 1 . . . . . . . . . . .
2 Линейные операторы
6. Норма линейного оператора . . . . . . . . . . . . . .
7. Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Обратные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самопроверки к главе 2 . . . . . . . . . . .
3 Сопряженное пространство
9. Непрерывные линейные функционалы . . . . . . . .
10. Теорема Хана-Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Второй семестр 4 Гильбертово пространство
12. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . .
13. Ортогональное дополнение . . . . . . . . . . . . . .
14. Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . .
15. Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
7
7
10
11
13
14
17
18
18
22
24
25
26
26
29
31
33
34
34
38
40
41
6 |
|
|
Оглавление |
5 Компактные множества и операторы |
44 |
||
|
16. Компактные множества . . . . . . . . . . . |
. . . . . 44 |
|
|
17. Компактные операторы . . . . . . . . . . . |
. . . . . 47 |
|
|
18. Компактные операторы . . . . . . . . . . . . |
. . . . 49 |
|
6 |
Функциональные уравнения |
51 |
|
|
19. |
Линейные интегральные уравнения . . . . . |
. . . . 51 |
|
20. |
Интегральные самосопряженные уравнения |
. . . . 54 |
|
21. |
Сжимающие отображения . . . . . . . . . . |
. . . . 57 |
|
22. |
Принцип Шаудера . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 58 |
|
Дополнительные задачи |
60 |
|
|
Фурье и вейвлет преобразование |
74 |
|
Библиографический список |
86 |
Глава 1
Нормированные
пространства
1. Метрические пространства
Опротображение1.1 ПустьдекартоваX произвольноепроизведениямножество, ρ : X × X → R
ражение |
X × X в множество R. Îòîá- |
1) |
ρ называется метрикой на X, åñëè |
2) ρ(x, y) ≥ 0; ρ(x, y) = 0 x = y; 3) ρ(x, y) = ρ(y, x);
Îïð 1ρ.(2x,Множествоy) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y).
метрическим пространствомX с введенной. на нем метрикой ρ называется
удовлетворяютОпр 1.3 CовокупностьусловиюB(x0, r) тех точек x пространства X, которые Опр 1.3A Cовокупностьρ(x, x0) < r, называется открытым шаром. рые удовлетворяют условиюB(x0, r) тех точек x пространства X, котоОпр 1.4 Множество ρ(x, x0), называется открытым шаром.
U X называется открытым, если u
UÎïð B1.(4Au, r)МножествоU.
полнение U X называется замкнутым, если его до-
Теорема X1.\1U. открытое.
F замкнутое тогда и только тогда, когда
xk F |
|
x |
|
F ; |
||
xk |
→ |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
7
8 |
ГЛАВА 1. |
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|||||||||
U открытое тогда и только тогда, когда |
|
|
|||||||||
|
|
x U |
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
xk → x |
|
n0 |
|
k |
|
k0 xk |
|
U. |
С практической точки зрения Теорема 1.1 часто оказывается полезной в качестве альтернативного определения замкнутого множества.
Пример 1.1 Убедиться, что R2 с метрикой ρ(x, y) = max(|x1 −
Проверимy |, |x − y òðè|) являетсяаксиомыметрическимметрики. Такпространствомкак оба модуля. неотрица-
1 2 2
тельные числа, то и максимум из них неотрицателен. Он равен нулю тогда и только тогда, когда оба модуля равны нулю, то есть
выполняется. |
, что означает совпадение |
x |
è |
y |
. Первая аксиома |
||||||
x1 = y1, x2 = y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выполянется. |
−x1| |
и то же для вторых координат, то вторая |
|||||||||
аксиомаТак как |x1 −y1| = |y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
второй координаты, а потому |
|
|
|
|
|
|
, è |
||||
тоНаконец,же для|x1 − y1| = |
|x1 − z1 + z1 − y1| ≤ |x1 − z1| + |z1 − y1| |
|
|||||||||
|
|
|
|
max(|x1 − y1|, |x2 − y2|) ≤ |
|||||||
и третья аксиома. Таким образом, |
|
|), òî åñòü |
выполнена |
||||||||
max(|x1 − z1|, |x2 |
− z2|) + max(|z1 |
− y1|, |z2 − y2 |
|
2 |
, > |
||||||
- метрическое пространство. |
ρ(x, y) метрика, а пара < R |
|
Примердля которых1.2 Доказать, что M C[0, 1], состоящее из функций x(t), Восппользуемсяx(0)Теоремой= 0 замкнутое1.1. Пустьмножество.
Покажем, что |
xn(t) |
→ x(t) xn(t) M. |
x(t) |
M. Условие xn(t) |
→ x(t) означает, ÷òî |
ýòîρ(xnòî(t)æå, x(tсамое,)) → 0что.Так как мы находимся в пространстве C[0, 1], òî sup |xn(t) − x(t)| → 0. Òàê êàê sup выражения
больше либо равен, чемt [0,значение1] в любой точке (в частности, в нуле), то |xn(0) − x(0)| → 0. Òàê êàê xn(t) M, òî xn(0) = 0, откуда
|x(0)| → 0, à òàê êàê x(0) - константа, то x(0) = 0, что означает, что x(t) M. Таким образом, M - замкнутое множество.
1.1. Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы метрического пространства. Что означает сходимость последовательности в соответствующих пространствах?
а) Пространствосметрикой l1 последовательностей x = (x1, x2, . . . ), xn R;
ρ(x, y) = P∞1 |xn − yn|.
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
9 |
б) Пространство c сходящихся последовательностей x = (x1, x2, . . . ),
xn R; с метрикой ρ(x, y) = sup |xn − yn|.
n
в) Пространство C[a, b] непрерывных функций на [a, b] с метрикой
ρ(x, y) = maxt [a,b] |x(t) − y(t)|.
г) ПространствоL[a, b] непрерывных функций на [a, b] с метрикой
|
ρ(x, y) = |
ab |x(t) − y(t)|dt. |
x ≥ 0 и удовлетворяет |
следующим1.2. Пусть f(x)R |
|
||
|
условиям:функция,а) определена при |
|
|
убывает при |
f(0) = 0, f(x) > 0 ïðè x > 0; á) f(x) íå |
||
öèÿ |
x ≥ 0; â) f(x)/x не возрастает при x > 0, тогда функ- |
что открытыйρ(x, y) = føàð(|x − открытоеy|) определяетмножество,расстояниезамкнутыйна R.шар1.3. Доказать,замкну-
тое множество. Доказать, что замыкание открытого шара лежит в включение?замкнутом шаре, т. е. B(x, r) B[x, r]. Возможно ли здесь строгое
1.4.ныхДоказать,функций что множество M C[0, 1], состоящие из всевозмож- x(t), удовлетворяющих условию sin t < x(t) < 1 + t
1(t.5. Сходится[0, 1]), открытоли последовательность.
xn(t) = tn+1/(n+ 1) −tn+2/(n+
12).6в.Пустьпространстве: а) C[0, 1]; á) C1[0, 1]?
ρ(x, A) = inf ρ(x, y) расстояние от точки x до множества
y A
A. Доказать, что
à) ρ(x, A) = 0 <=> x cl(A), á) |ρ(x, A) − ρ(y, A)| ≤ ρ(x, y),
â) Uε(A) = {x; ρ(x, A) < ε} открытая окрестность множества A.
метрического1.7. Пусть f : пространстваA → R функция, заданная на множестве A M M и удовлетворяющая на A условию |ственнаяf(x) − f(функцияy)| ≤ Cρ(x, y), x, y A. Доказать, что существует един-
|
|
f1, непрерывная и определенная на замыкании |
|||||
cl(1.8A. )Построитьисовпадающаяметрическоес f на пространствоA. |
(X, ρ) и в нем замкнутые |
||||||
øàðû |
|
|
|
|
|||
1.9. Сходится лиипоследовательностьтак, чтобы |
B1 |
B2 |
è |
r1 > r2. |
|||
B1[x1, r1] |
B2[x2, r2] |
|
|
||||
à) |
1 |
|
{xn} |
|
|
|
|
xn = |
n sin nt в пространстве C[0, 1]; |
|
|
|
в пространстве
|
1 |
|
n |
|
n |
|
á) xn = |
1 + n |
|
|
, |
|
X = R × C[0, 1]. |
|
n+t2 |
10 |
ГЛАВА 1. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
2. Полнота метрического пространства. Принцип сжимающих отображений
Опрзывается2.1 Последовательностьфундаментальной,если{xn} метрического пространства X наОпр 2.2 Метрическое пространствоρ(xn, xm) → 0 ïðè n, m → ∞. любая фундаментальная последовательность(X, ρ) называетсясходится,полным,т.е. из тогоесли
.3 Множествоследует, что |
x X : ρ(xn, x) → 0 |
ïðè |
n → ∞. |
||
Опрчто ρ(2xm, xn) → 0 |
|
|
|
||
ñòâà |
Y - множество всех предельных точек множе- |
иначеY- называется замыканием множства Y . Можно определить и
держащееY это минимальное по включению замкнутое множество, со-
Опр 2.4 ПустьY
X
рическое пространство0 неполное метрическое пространство. Полное мет- 1) X называется пополнением X0, åñëè
2) X0 X;
ТеоремаX =(Хаусдорфа)X? Всякое метрическое пространство имеет по-
0
полнение.
2.1. Доказать, что фундаментальная последовательность ограниче- |
||||||
íà. |
|
xn |
|
yn |
|
|
2.2. Пусть |
, |
|
|
|||
÷òî |
|
|
|
|
||
|
последовательностьфундаментальные последовательности. Доказать, |
|||||
2.3. Доказать, что |
пространство всех |
полиномовсходится. на отрезке |
||||
λn = ρ(xn, yn) |
[a, b] ñ |
|||||
чебышевской метрикой не полное. |
ряет2.4. Пустьусловиямфункцияа) f(x) заданная на действительной оси, удовлетвообласть значений f(x) = f(y) тогда и только тогда, когда x = y; á) f замкнутое множество. Доказать, что формула
ρ2.(5x,. yПусть) = |f(x) − f(y)| определяет полную метрику на R.
странства вfñåáÿ: Mтакое,→ Mчтоотображение полного метрического прозать, что ρ(f(x), f(y)) ≤ kρ(x, y), 0 ≤ k < 1. Дока- 2.6. Рассмотримf имеетуравнениеединственную неподвижную точку.
2tet = 1
а) Доказать, что это уравнение имеет единственное решение и что это решение лежит в интервале (0, 1).
б) Привести уравнение к виду, пригодному для составления итераций, и определить число итераций, необходимых для того,