Met2009

11. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ

31

10.3. Найти критерий того, что функционал

f(x) =

1∞ anxn, çà-

данный в

”, ( a , a

”c

, . . .

}

l

), является опорным для элемента

0

0

0

{ 1

2

1

P

10.4. Найти критерий.

того, что функционал

x = {x1

, x2

, . . . }

f(x) =

1∞ anxn, çà-

данный в

для элемента

0

”0l1”, ({a1, a2, . . . } ”m”), является опорным P

10.5. Пусть

, . . . }

.

x = {x1

, x2

всякий непрерывный линейныйp > 1 (lp)

= lq 1/p + 1/q = 1

функционал,

в пространстве, т. е., что

lp ïðè

p > 1 имеет вид < x, f >=

1∞ xkyk, ãäå x = (x1, x2, . . . ) lp,y =

1 2

q

2

P

k

k

=

k

klq

10.8.(y , y Пусть, . . . )

l

, è 1/p + 1/q = 1,

f

y

.

2 задана следующим

приближенияL äëÿ= {z R : y = 0}. Найти в L

элементы наилучшего

элементатогда и только тогда, когда существует опорный функционал

x0 X

y0 − x0

L

10.10.

Пусть

, обращающийся в нуль на

.

жества

X Банахово пространство. Для произвольного мно-

M X определим его поляру

M

M = {f X

: | < x, f > | ≤ 1, x M}

выпуклое замкнутое множество.

. Доказать, что

xÎïðX,11åñëè.1À.fПоследовательность(x ) f(x), f X .

n

→

щейся к элементу

fn X называется -слабо сходя-

f X, åñëè fn(x) → f(x), x X.

11. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ

33

деленная для каждой пары элементов

(x, y), îïðå-

условиям:

x, y X и удовлетворяющая

12. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

35

1)

пространство Rn со скалярным произведением

n

(x, y) = xiyi, ãäå x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn);

k=1

X

2)

пространство l2,

∞

(x, y) = Xζk

k, ãäå x = {ζk} l2, y = {ηk} l2;

η

k=1

3)

пространство L2[a, b],

(x, y) = Z b x(t)

dt, x, y L2[a, b].

y(t)

a

Равенство доказано.

2

2

2.

(òîx, x)+(y, x)+(x, y)+(y, y) = (x, x)+(x, y)+(y, x)+(y, y). Òàê êàê x

y,

(x, y) = (y, x) = 0, òî åñòü ||x + y||

= (x, x) + (y, y) = ||x||

+ ||y||

Попутно отметим полученное по ходу решения равенство:

2

2

2

2

2

||x+y|| =

||комплексноx|| +||y||

+сопряженных(x, y)+(x, y)чисел),= ||x||

которое+||y|| +служит2Re(x, yаналогом) (из соотношениятеоремы

косинусов в предгильбертовом пространстве.

Пример 12.2. Доказать, что если в нормированном пространстве

выполняется тождество параллелограмма

2

2

(||x − y|| + ||x + y|| =

2

2

2ïî||xформуле|| + 2||y||

), òî â íåì

можно определить скалярное произведение

2

2

(x, y) =

||x+y||

−||x−y||

Проверим, что для введенной4 конструкции выполнены все свойства

36

ГЛАВА 4.

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

действительное число, то оно равно своему сопряженному. Так как

||3.xРазобьем− y|| = ||yýòî− xсвойство||, òî (x,íày) äâà= (y,подсвойства:x).

è

(x+y, z) = (x, z)+(y, z)

ходному(αx, z). = α(x, z). Выполнение этих двух свойств эквивалентно ис-

ственный3.1. Рассмотрим0. Распишем(x + y,ýòîz) −êàê(x, z) − (y, z)

2и покажем,

2

2

что это тожде-

2

2

2

||x + y + z|| + ||x + y −z|| −||x + z|| −

||ðîëèx − zïðè|| −проверке||y + z||

íà− ||равенствоy − z|| ( )0)(четверка. в знаменателе не играет

Так как по тождеству параллелограмма

||(x + y) ± z||2 + ||(x + y) z|| = 2||(x + y)||2 + 2||z||2,

записать выражение2 (*) êàê

2

||

2

||2

||

2, и можно

òî

||(x + y)

± z||

= −||(x + y) z|| + 2||

+ 2

2

(x + y)

z

2

2

−||y−z||

2

−||x + z −y||

+ ||x −y −z||

+ ||x + z||

+

||x−z||

−||y+z||

( ). Взяв полусумму (*) и (**), получим

||y + z + x||2 + ||y + z − x||2

||y − z − x||2 + ||y − z − x||2

y+z

2

+

y

z

2

2

−

2

−||

||

||

−

||

Применив к двум дробям в начале правило параллелограмма, полу-

÷èì:

0, ïðè

||αx+z||2−||αx−z||2

−

α

||x+z||2

−||x−z||2

. Ïðè α = 0

ýòî

4

4

α = −1 ýòî òîæå 0, òàê êàê (−x, z) = (0−x, z) = (0, z)−(x, z) =

−Ïðè(x, zлюбом).

целом

n (αx, z) − α(x, z) = (sgn(n)(x + x + . . . + x), z) =

ство доказано. Если же

=

n (x, z). Для целых n равен-

(n)[(x, z) + . . . + (x, z)] = nsgn(n)(x, z)

p |

|

1

p

1

p, q- целые, то ( q x, z) = p( q x, z) = q q( q x, z) =

12. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

37

12.2. Пусть

x1, x2, . . . , xn

ортогональная система в гильбертовом

пространстве

H, x =

1n xk. Доказать, что

xk2 =

1n kxkk2 < ∞.

пространстве12.3. Пусть en (n NP) ортонормированнаяkсистемаPв гильбертовом

плексных

H λn

чисел., Доказать,последовательностьчто ряд

вещественных или ком-

только тогда, когда

1∞

|λk|2 < ∞.

1∞ λkek сходится в H тогда и

ства12.4. Доказать, что P

P

x гильбертова простран-

для того, чтобы элемент

L H, необходимо и до-

статочно,H былчтобыортогоналендля любогоподпространствуэлемента

y L имело место неравенство

2

2

2

2

k12x.8+. yÂkлинейном+ kx − ykпространстве= 2(kxk + последовательностейkyk ).

xn R таких, что

1∞ xk2 < ∞, положим

x = (x1, x2, . . . ),

(x, y) =

P

1

k

k P

λk

R 0 < λk < 1

∞

λ

x yk

пространство гильбертовым?, где

,

. Будет ли полученное

38

ГЛАВА 4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

Ïðè ýòîì

x = m + n, ãäå m L, n L .

Элементρ(x, L) = ||x − m|| = ||n||.

m называется проекцией элемента x на подпространство

L.Опр 13.2. Система векторов

странстве

{xα} в евклидовом (унитарном) про-

мированной, еслиназываетсяона ортогональнаортогональной,и нормирована;если

полной, ортонореслиона-

H

(xα, xβ) = 0;

2. Всякую систему

x1, ..., xn

но превратить в

ортонормированнуюлинейносистемунезависимыхс помощьюэлементовпроцессамож-

ортогонализации Шìèäòà.

Полагаем

l1

=

x1

пусть

y2

= x2

− c21l1,

число

c21 выберем

так, чтобы

||x1||

âèäíî,

y2

l1

.

Î÷å

что для этого следует взять

c21 =

(x2, l1).

y2

|| 6= 0.

l1, l2, ..., lk−1

Полагаем

l2 =

||y2|| , ||y2

Далее, пусть

уже построены. Возьмем

P

чтобы

yk = xk −

k−1

и подберем

òàê,

yk

i=1 ckili

cki

yk было ортогонально l1, l2, ..., lk−1; ò.å. cki = (xk, li) . Полагаем

lk =

, ||yk|| 6= 0 è ò.ä.

||yk||

Теоремагильбертова2.

Пустьпространства линейно независимая система элементов

{xn}

H. Тогда существует ортогональная си-

стема

товым, если его норма

P

n

(n)

(n)

X

.3. Нормированноетакая,что

пространство

(λn 6= 0, n = 1, 2...).

Îïð 13{yn}

yn

=

k=1 λn

xk

13. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

39

делено как (x(t), y(t)) = R10 x(t)y(t)dt. Множество

лежат в

:=

0

x

M. Заметим сперва, что все y(t)

≡

c; c

R

(x, y)

0

0

åñëè

M

1

x(t)y(t)dt = c

1

x(t)dt = 0. Дальше заметим, что

зан занулятьсяне константа,для всехто соответствующий интеграл вовсе не обя-

y(t)

R

R

0

тогда

(y(t) − I)dt =

x(t). Покажем это. Пусть

1 y(t)dt = I,

y(t)

10

10 y(t)dt − 10

Idt = I − I

R= 0, òî åñòü

−

IR

M Если взять Rx(t) = y(t) R

I, òî (x, y) =

10 x(t)y(t)dt =

0

0

0

−

2

2

ной функции по промежутку ненулевой, то естьдлиныинтеграл.Онотможетнеотрицательбыть ра--

R

1

y (t)dt

−

I

R

1 x(t)dt =

R

1

y (t)dt

R

áûòü, åñëè

y(t) ≡ c (при c=0). Стало

òî åñòü

y(t)

.- не тождественная константа, то x M : (x, y) 6= 0,

y / M

40

ГЛАВА 4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

рывных13.4. Найтифункцийв предгильбертовомна

пространстве

C[−1, 1] всех непре-

[−1, 1] со скалярным произведением

1

(x, y) = Z−1 x(t)y(t)dt,

ортогональное дополнение к подпространствам:

а) функций, равных нулю при t ≥ 0;

á)

функций,Вернали равныхвэтих случаяхнулюв точкетеоремаt =îá0; ортогональном дополне-

íèè?

в) Вычислить углы треугольника, образованного точками

x1(t) = t, x2(t) = t2, x3(t) = t3.

подпространство, порождаемое элементами

t íà

13.5. В пространстве L2

[0, 1] найти проекцию элемента x = e

13.6. Пусть

sin(t), cos(t).

Доказать, чтоM H подпространство гильбертова пространства H.

13.7. Пусть

M = M тогда и только тогда, когда M замкнутое.

L1,L2 подпространства гильбертова пространства H,

, операторы ортогонального проектирования на

,

. Äîêà-

çàòü, ÷òî

L1 L2

P1

P2

ортогональное. дополнение к системе элементов

13.8. НайтиkP1

− P2k ≤ 1

2

3

D)

в пространстве

l2

, åñëè

D

бесконеч-

ное подмножество круга

xα

=

{1, α, α , α , . . . } (α

13.9. Пусть

|z| ≤ 1/2.

L линейное многообразие в H. Доказать, что

=

0

.

L13=.10H. ПустьL

{

}

ñòâà

L однородное подпространство гильбертова простран-

H, a

L, a = 0. Доказать, что

x

H ρ(x, L ) =

|(x,a)|

.

6

||a||

ò.å.

X выполняется тождество параллелограмма,

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).