Met2009

Теорема (Бэра о категориях). Полное метрическое пространство мкнутых(X, ρ) не можетнигденебытьплотныхпредставленомножествв .виде счетного объединения за-

Опрвсюду3плотное.3 МножествомножествоX сепарабельное, если существует счетное,

A X.

ПримерРассмотрим3.1множествоДоказать, что пространство R сепарабельное.

но из курса математическогоQ (рациональныханализа, любоечисел)действительное.Q R. Как известчисло-

4. Компактные множества

компактным,Опр 4.1 Множествоесли из любогоK метрическогоего открытогопространствапокрытияXможноназываетсявыде-

лить конечное подпокрытие.

Любое компактное множество является замкнутым и ограниченным. Обратное, вообще говоря, неверно.

Опр 4.2 Множество A называется ε-сетью множества B, åñëè

Îïðb B4.3 Множествоa A : ρ(b, a) < ε.

существует конечнаяA называется вполне ограниченным, если ε > 0 Теорема 4.1. Пространствоε-ñåòü.

когда (X, ρ) компактно тогда и только тогда,

1)2) X вполне ограничено;

Îïð 4(X,.4 /phoМножество) полное метрическое пространство.

зывается относительноAкомпактнымX, X метрическое(предкомпактным),пространство,если на-

1) X равномерно ограничено, т.е. M R : |x(t)| ≤ M t K,

x 2)X.

4.2.что дляПустьлюбогоA компактное множество в пространстве X. Доказать,

4.3.Пусть x X найдется такое y A, ÷òî ρ(x, A) = ρ(x, y). ñòâå A компактное, B замкнутое множества в простран-

4.4.Доказать,X è A ∩ B÷òî= всякая.Доказать,системачтонепустыхρ(A, B) >вложенных0. компактных

множеств имеет непустое пересечение.

4.5.такоеПустьотображение,K компактноечто метрическое пространство, f : K → K

x 6= y ρ(f(x), f(y)) < ρ(x, y). Доказать, что

f4.6имеет.Доказать,единственнуючто компактноенеподвижнуюметрическоеточку.пространство нельзя изо-

метрично отобразить на свою собственную часть.

4.7.дая ограниченнаяПустьE такоевещественнаяметрическоефункцияпространство,достигаетнаверхнейкоторомграникаж.-

4Доказать,.8.НайтичтокритерийE компактноепредкомпактности. множества в подпростран-

ствещих условию:M C[−∞, +∞], состоящем из функций x(t), удовлетворяю-

lim x(t) = 0.

t→∞

относительно4.9. Пусть M компактнымC[0, 1] : |xâ(t)| ≤ 1. Доказать, что M не является

C[0, 1].

5. Нормированные пространства. Банахово пространство.

комплексныхОпр 5.1 Векторноечисел называетсяпространствонормированным,X над полем действительныхесли каждому элеили-

называемыементу x Xнормойпоставлено в соответствие неотрицательное число kxk , 1) x, так, что выполнены три аксиомы:

2) kxk = 0 x = 0; kλxk = |λ| kxk ;

P∞i=1 |ζi|p < +∞.

IV. Lp[a, b] пространство измеримых по Лебегу функций на [a, b], для которых

Z b

|x(t)|pdt < +∞,

a

!1/p

Z b

kxk = |x(t)|pdt .

a

Полное нормированное пространство называется Банаховым. В рассмотренных примерах I-IV пространства Банаховые.

Теорема 5.1 (Критерий полноты). Нормированное пространство

XноявляетсясходящийсяБанаховымряд сходитсятогда. и только тогда, когда каждый абсолют-

базисомОпр 5.2векторного.Линейно-независимаяпространствасистема {xα} называется линейным и X, åñëè x X существуют λk R

Îïðx ,5..3.,.xВекторное пространствоx = λ x + λназываетсяx + ... +конечномерным,λ x . åñëè α1 αn òàê, ÷òî 1 α1 2 α2 n αn

в нем существует конечный базис.

16 ГЛАВА 1. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Опртакое,5что.4. Пусть на X имеются две нормы k·k1 è k·k2. Åñëè c > 0,

5.1. Можно ли в R2 норму определить следующим образом: а) kxk =

|x1| + 2|x2| ; á)kxk = max{|x1 + 2x2|,|x1 − x2|}.

5.2.то Доказать, что, если хотя бы одно из множеств A, B X открыто, A + B открытое множество.

5.3.толькоДоказать,тогда, когдачтомножестводля любойA последовательностиX является ограниченным тогда и

замкнутымA,Bмножеством?замкнутые множества. Является ли их сумма A+B

5.6. Доказать, что открытый шар открытое выпуклое множество. Доказать, что замыкание открытого шара совпадает с замкнутым шаром, т. е. B(x, r) = B[x, r].

5.7. В Банаховом пространстве последовательность замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение. Доказать.

вложенных5.8. В пространствеограниченныхC[0, 1]замкнутыхпостроить выпуклыхпримерпоследовательностимножеств, имеющих пустое пересечение.

Вопросы для самопроверки к главе 1

1. Приведите пример пространства, не являющегося метрическим.

2. Существуют ли пространства, на которых метрика может быть введена не единственным образом?

3. Приведите метрику для пространства R2, в которой квадрат

{4(.x,Всякоеy) : −0ëè, 5 íå≤ xоткрытое≤ 0, 5, −0множество, 5 ≤ y ≤ 0,является5} являетсязамкнутым?шаром.

5. Всякое ли не замкнутое множество является открытым?

не плотные подмножества?2 одновременно не всюду плотные и не нигде 6. Существуют ли в R

78.. МожетПостройтели подмножество1-сеть для шараN быть не сепарабельным?

9. Всякое ли нормированное пространство является метрическим?2. B(0, 2) в пространстве R

10. Всякое ли метрическое пространство является нормированным?

ныхполучаемлинейныхлинейноеоператоровнормированное. пространство L(X, Y ) ограничен-

наховоТеоремапространство6.3. Если .Y Банахово пространство, то L(X, Y ) Áà-

Теореманейное подпространство6.4. Пусть X, Y нормированные пространства, Ω ли- и непрерывный. Тогда существуетX, Ω = X,единственныйоператорU : X → Y линейный

операторы равномерно ограничены, т.е. sup kUnk < +∞.

линейным и неперерывным? Найти его норму.

Докажем линейность. A(α(x1, x2) + β(y1, y2)) = A(αx1 + βy1, αx2 +

βy2) = 3(αx1 + βy1) + 4(αx2 + βy2) = α(3x1 + 4x2) + β(3y1 + 4y2) =

||x||≤1

Aлинеенограничен,и ограничен,и его оценкато он непрерывенпоединичному. шару равна 5. Так как он Наконец, найд¸м норму A. У нас уже есть оценка из предыдуще-

ниймним,||A÷òî(x)||неравенствопоединичномуКошишару-Буняковского(и тем самымобращаетсянормойв равенствоA). Всповв томролии только том случае, если a è b пропорциональны. Так как

||A(x0)|| = 5, то есть оценка 5 не может быть улучшена. Стало быть ||ОбратитеA|| = 5. внимание, что в примере 5.1 существует конкретный эле-

мент, на котором достигается норма. Такого элемента может и не существовать.

Следовательно,

||B|| = 1

66..12.. ДоказатьДоказать,нормативноечтодля ограниченногонеравенство,линейногот.е. x оператораkUxk ≤ kUk · kxk .

A : X →

Y ñ D(A) = X справедливо равенство

kAk = inf {c : kAxk ≤ ckxk x X.} kAk = sup {kAxk : kxk = 1}.