Met2009

ство,14.2. Пусть H гильбертово пространство, L H подпространказать,f чтоограниченныйсуществует единственноелинейный функционал,продолжениезаданный на L. Дохранением нормы. f íà âñå H ñ ñî-

14.3. В пространстве H1[−π, π] положим

Zπ

<x, f >= [x(t) cos(t) + x0(t)sin(t)]dt.

−π

нормуДоказать,. что f ограниченный линейный функционал и найти его 14.4. Задает ли равенство

Zπ

<x, f >= x0(t)sin(t)dt.

−π

ограниченныйли да, то какаялинейныйфункцияфункционал в пространстве H1[−π, π]? Åñ- y(t) H1[−π, π] удовлетворяет условию

<14.x,5.fЗадает>= (x,ëèy)?равенство

Z π

< x, f >= x(t) cos(t)dt.

−π

ограниченныйли да, то какаялинейныйфункцияфункционал в пространстве H1[−π, π]? Åñ-

y(t) H1[−π, π]

14< .x,6.fПусть>= (x, y)?

пространствеS = {x : kxk = 1} единичная сфера в гильбертовом падает с шаромH, dimH = ∞. Доказать, что слабое замыкание S ñîâ-

B = {x : kxk ≤ 1}.

15. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве

вТеоремагильбертовом(Рисса)пространстве.Всякий линейный непрерывный функционал f H имеет представление f(x) = (x, a),

42 ГЛАВА 4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

ционаломгде a некоторый элемент из H, однозначно определяемый функОпр 15.1.f˙,Пустьприэтом ||f|| = ||a||.

тор, отображающийUнормированное: X → Y пространстволинейныйнепрерывный операное пространство X в нормирован-

называется отображениеY. Тогда сопряженным оператором оператору U U : X → Y такое, что

(U f)(x) = f(Ux), f Y , x X.

â) kAA k = kAk2.

15.4.что: Пусть H гильбертово пространство, A L(H). Доказать,

à) ((A)) = ker(A ); á) (E(A )) = ker(A); â) (ker(A)) = E(A );

15.7. В пространстве L2(−∞, +∞) рассмотрим оператор сдвига Ax =

найтиx(t + t0), ãäå t0 константа. Показать, что A изометрический и

A .

15.8. В пространстве L2(−∞, +∞) рассмотрим оператор Ax = 12 [x(t+

A необходимо и достаточно выполнения условия t1 + t2 = 0.

Z

|x(t)|1/p 0 |t| > n, n → ∞.

T

Опрследовательности16.3 МножествоможноMвыделитьX слабослабокомпактно,фундаментальнуюесли из любой. по-

Теорема 16.3. Любое слабо компактное множество ограничено. Теоремаограничено,16.то4. Пусть X рефлексивное пространство, если M X

Теорема 16.5. MБанаховослабокомпактнопространство.

ко тогда, когда из любой ограниченнойXпоследовательностирефлексивнотогда можноитоль-

выделить.ность сходящуюся к точке пространства X подпоследователь-

возведениеследнее выражениев степеньменьшетолько уменьшает итог). Если |α| < 1, то попенная непрерывность есть.2Åñëèαδ, тожеесть не зависит от n, и равностемалого |α| ≥ 1, то для сколь угодно то есть δравностепеннойсуществуеттакоенепрерывностиn, что это неравенствоне будет. Такневыполняется,кактеорема

Асколи-Арцела является необходимым и достаточным условием, то прикомпактно)|α| ≥ 1. множествоПри функций не предкомпактно (и тем более не

Заметим, что выражение|α| < 1 - предкомпактно. Покажем компактность.

бых функций данного вида естьn функциянепрерывнотакогопо n,жетовидаесть.Сталопределбытьлю-

(αt)

даное множество содержит все свои предельные точки, то есть замкнуто, а стало быть совпадает со своим замыканием. Раз оно предкомпактно, как показано выше, то его замыкание - компактное мно-

46 ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАТОРЫ

жество. Таким образом при |α| < 1 оно компактно.

16.1.Доказать, что равномерно ограниченное множество функций ной,M компактноC[0, 1], удовлетворяющихв пространстве условию Липшица с общей постоян-

16.2.Доказать, что множество непрерывноC[0, 1]. дифференцируемых на

p ≥ 1) компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и

n

X

lim |xk|p

n→∞

1

найдетсясуществуеттакоеравномерно относительно x M, т.е. для любого ε > 0 N = N(ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N для любого x = выполняется неравенство

∞

X

|xk|p < ε.

n

ничено и c èëè c0 компактно тогда и только тогда, когда оно огра-

lim xn существует равномерно относительно x M, ò.å.

n→∞

длялюбоголюбого ε > 0 найдется такое N = N(ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N äëÿ x = (x1, x2, . . . ) M выполняется неравенство

|xn − lim xk| < ε.

k→∞

16.6. Предкомпактны ли множества функций

xn(t) = tn − tn+1, xn(t) = tn − t2n, n N C[0, 1]?

16.7. Для каких f(t) C[0, ∞) последовательность функций {f(nt)} 16(n.8. NÄàíà) образуетпоследовательностьпредкомпактноефункциймножество в C[0, 1] ?

xn:

компактна?sin nt = xn â C[0, π]. Будет ли данная последовательность пред-

17. Компактные операторы

Опр 17.1 Пусть X, Y пространства Банаха. Линейный оператор ниченноеA : X → Yмножествоназываетсяв предкомпактноекомпактным,если(относительноон переводиткомпактное)любое огра.-

Следующее определение эквивалентно первому:

Опрным, 17если.1AонЛинейныйлюбую ограниченнуюоператор A :последовательностьX → Y называетсяпереводиткомпакт-

в последовательность, содержащую в себе фундаментальную подпоследовательность.

K(X, Y ) множество компактных операторов. Свойства компактных операторов:

1)2) Пусть A è B K(X, Y ), тогда A + B K(X, Y ).

48 ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАТОРЫ Чтобы показать требуемое, нужно найти некоторое ограниченное множество, которое оператор А переводит в не относительно компактное. Найдем сперва любое не относительно компактное множество в l

но компактно только1. Поеслитеоремеоноограниченное16.2 множествои плоскоеотноситель.Рас--

смотрим неплоское множество - например множество М последовательностейтак как бесконечномерноевида (1, 0, 0è. .расстояние.), (0, 1, 0 . . .)между, . . . (Оноего неэлементамиплоское,

ной)ненулевое,.Множествоа потомуM --сетьобраздлямножестванего тоже будет бесконечномер-

áûòü1, ||(0,À. . .переводит, 0, 1/2, 0, .ограниченное. .)|| = 1/2, томножествоесть m M1 ||m|| ≤ 1). Стало

M

компактное, а потому не является компактным 1операторомвне относительно.

17.1. Пусть оператор A â l задан формулой A{x } = {a x }, ãäå a фиксированная последовательностьp вещественныхn чиселn .nДоказать,n

A : lp → lp компактен тогда и только тогда, когда

a17.2→. Доказать,0. что в бесконечномерном нормированном простран-

n

непрерывным.

существуетλ называется собственным значением оператора A, если называется собственнымx 6= 0, x D(векторомA) такой,операторачтоAx = λx. При этом вектор x

λ собственные числа этого оператора, а x , x , ..., x ственныеn векторы; система этих векторов ортонормированная1 2 n . собТо--

ãäà x H x = Pi cixi + x0, x0 ker A; Ax = Pi ciλixi, |λi| → 0 ïðè

iТеорема→ ∞. 18.4. Все собственные значения самосопряженного ком-

пактногогде оператора A, A : H → Y, расположены на отрезке [m, M] ,

наименьшееется наибольшимсобственноесобственнымзначениезначением A, à åñëè m 6= 0, òî m

A.

Пример 18.1 Найти A , åñëè A : l1 → l1, A(x1, x2, x3, x4 . . .) =

A (Pc x ) = Pc − x − x l

номерамиn nпри действии2n 1 2nA 1зануляются)1 (потому.Заметим,что элементычто по сопределечетными-

нию сопряженного оператора, A действует на f, а не на x, то есть

A îò âñåõ cn, а так как по Теореме 18.1 оператор A линейный,