Met2009

71

функций

, k Z}

. Указание. Достаточно доказать, что лю-

буючто ииз{ψjk, j < j0

симировать

линейной комбинациейможнофункцийсколь угодно близко аппрок-

{φj0k, k

Z}

{ψjk, j < j0, k Z}

относительно нормы пространства

2

85. Мультимасштабный анализ СтефанаL (R). Маллата (сокращенно

MRA) это последовательность замкнутых подпространств

{Vj}j Z

пространства

L2(R), удовлетворяющая следующим свойствам:

A1

Vj Vj+1;

[

A2

Vj = L2(R);

j Z

\

A3

Vj = {0};

j Z

A4 f Vj ↔ f(2−j·) V0;

A5 f V0 ↔ f(· − k) V0 k Z;

A6

существует функция ϕ V0 такая, что последовательность

{ϕ(· − k)}k Z образует ортонормированный базис в V0.

{hj} l2(Z) такая, что

√

X

(1)

ϕ(x) =

2

hkϕ(2x − k).

k Z hkhk−2l =

0, åñëè l 6= 0

X

1, åñëè l = 0

73

4. Симметрия

m

m

Nm(

+ x) = Nm(

− x).

2

2

5. Рекуррентная формула

N

(x) =

x

N

(x) +

m − x

N

(x

−

1).

m

m

m−1

m−1

−

1

m

−

1

90. Доказать, что справедливо скейлинг уравнение

m

X

(2x

k).

N

m

(x) = 21−m

Ck N

m

−

m

k=0

91. Доказать, что справедлива формула

1

e−i2πω

m

Nˆm(ω) =

−

.

i2πω

76

ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Доказательство.

Докажем унитарность преобразования Фурье. Для

этого достаточно

установить равенство:

Имеем:

hf, gˆi = hfˇ, gi.

+∞

hf, gˆi = Z−∞ f(ω)ˆg(ω)

dω =

+∞

+∞

= Z−∞ f(ω)dωZ−∞ g(t)e−i2πtωdt =

= Z +∞

dt Z +∞ f(ω)ei2πtωdω =

g(t)

−∞

−∞

+a

e−i2πtωdt =

2πtω

t=a

a =

fˆ(ω) = Z−a

e−iiω

t=

=

−

−

−

ei2πaω

e−i2πaω

=

.

sin(2πaω

)

i2πω

πω

Трансляция

:

Taf(t) = f(t − a),

äëÿ a R,

Модуляция

:

Eaf(t) = e2πiatf(t), äëÿ a R,

t

Дилатация

: Daf(t) = |a|−1/2 f

, äëÿ a R \ {0}.

a

Каждый из них унитарный оператор из L2(R) в себя, кроме того

справедливы равенства

TaEbf(t)

=

e2πib(t−a)f(t − a);

EbTaf(t)

=

e2πibtf(t − a);

T

D

f(t) = a

−1/2 f

t − b

;

b

a

| |

a

t

DaTbf(t) = |a|−1/2 f

− b ;

a

t

EbDaf(t)

=

e2πibt |a|−1/2 f

;

a

t

DaEbf(t)

=

e2πibt/a |a|−1/2 f

;

a

h

Пусть

=

h

F

i

.h Тогда:i

=

h

E−af, g

i

h

i

f, Tagi

T−af, g

, f, Eag

,

f, Dag

= D1/af, g .

f(t) −→ f(ω)

(Taf)

= E−ab

a

a

a

f) = D

1/a

1.

f; (E

f) = T

f; (D

f.

2. f0(t)

F

i2πωfb(ω).

b

b

−→

ˆ

fˆ(ω).

F

d

3. t · f(t) −→

i

2π

dω

Доказательство.

Первое свойство проверяется непосредственно:

f(t

a)e−i2πtωdt =

t = s + a

=

+∞

t

− a = s

Z−∞

−

dt = ds

f(t + a) − f(t)

F

ei2πωafˆ(ω) − fˆ(ω)

a

−→

a

(f ? g) (t) = Z

f(t − y)g(y)dy,

ïðè

1

f L

p

(R)

, ãäå

1 ≤p p ≤

условии, что интеграл определен. Если

+∞

Z−∞ (f ? g)(t)e−i2πtωdt =

+∞

+∞

= Z−∞ Z−∞ f(t − u)g(u)du e−i2πtωdt =

+∞

+∞

+∞

= Z−∞ Z−∞ g(u)e−i2πuωdu Z−∞ f(t − u)e−i(t−u)2πωdt =

+∞

+∞

+∞

= Z−∞

Z−∞

g(u)e−i2πuωdu Z−∞ f(v)e−i2πv)ωdv =

+∞

+∞

ãäå fˆ образ Фурье функции f.

Доказательство.ðÿä

Òàê êàê f(t)

быстро убывающая функция, то

+∞

g(t) =

X

f(t + n)

абсолютноКоэффициентысходится,Фурьеи g

n=−∞

C∞(R), причем g(t) = g(t + 1).

g ïîгильбертова простран-

ортонормированной системе{ck}

функции

отношению к полной

ñòâà L2[0, 1] равны:

ei2πkt : k Z

+∞

+∞

X

X

g(t) =

ckei2πkt =

fˆ(k)ei2πkt.

k=−∞

k=−∞

Èòàê

+∞

+∞

X

X

f(t + n) =

fˆ(k)ei2πkt.

n=−∞

k=−∞