Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Met2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

479.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

ееестьматематическогосреднее квадратичноеожиданияотклонение случайной величины t от личины. Чем меньше дисперсия,t итемназываетсякучнее к дисперсиейсреднемузначениюэтой ве-

располагаютсядисперсии значения случайной величины t. Поэтому, величина

функции t может служить характеристикой величины носителя

ψ.

Пример. Пусть

−

t 6 [a, b]

ψ(t) =

√b

a , t [a, b]

Тогда

= a+b

(b−a)2

2 ,

12 .

Теорема .3 (Соотношение неопределенности Гейзенберга).

Справедливо неравенство Гейзенберга

x ω ≥ 4π

Доказательствоженных оператора. Определим в пространстве L2(R) два самосопря-

(Aψ)(t) = t	·	ψ(t), B = F−1AF.
	·

Заметим, что Так как

(Bψ)(t) = 21πi dtd ψ(t).

+∞ e−2πitωψ(t)dt =

−1

+∞

e−2πitωψ(t)dt =

2πi

Z−∞

+∞

Z−∞ dt

dψ

Z−∞ e−2πitω

dt =

2πi

Òî

tkψk2 = htψ, ψi = hAψ, ψi,

k ˆk2 h ˆ ˆi h i

ω ψ = ωψ, ψ = Bψ, ψ .

хоть произведение

a по частоте. Таким образом

82 ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Справедливо равенство:

1 d

(AB − BA)ψ = t

ψ −

(tψ) = −

· ψ.

2πi

женнымиОператоры.ПоложимA è B в этой ситуации называют канонически сопря-

ственный оператор.

A1 =

B1 = ωE −1B

tE − A

Тогда

, ãäå

тожде-

(A1B1 − B1A1)ψ = −

· ψ. Заметим, что

ˆ 2

2πi

tkψk

= kB1ψk

2. Например второе равенство

= kA1ψk

ωkψk

−B1ψk2 = h(

ωE − B) ψ, (

ωE − B) ψi =

= hF −1 (

ωE − A) Fψ, F −1 (

ωE − A) Fψi =

= h(ωE − A) ψ, (ωE − A) ψi =

Z +∞

|− |2| ˆ |2

=ω ω ψ(ω) dω

−∞

Следовательно

21π kψk2 = |h(A1B1 − B1A1)ψ, ψi| = |h(A1B1ψ, ψi − h(B1A1)ψ, ψi| = = |hB1ψ, A1ψi − hA1ψ, B1ψi| = |2 ImhB1ψ, A1ψi| ≤

≤ 2kB1ψkkA1ψk = 2kψk2 t ω.

Замечание. Соотношение неопределенности Гейзенберга означа- ет, что нельзя одновременно локализовать сигнал на временной оси и на оси частот. Основная идея вейвлет-анализа состоит в том, чтобы вести частотно-временной анализ сигнала с переменным разрешением ta по времени и

t ω будет постоянно, тем не менее получится более полная картина сигнала.

4. Непрерывное вейвлет преобразование

Определение .6. Пусть ψ L1(R) ∩ L2(R), функция ψ называется базовым вейвлетом если выполнено условие

Z∞ ψb(ω)

cψ = −∞ |ω| dω < ∞

Найдем преобразование Фурье от

ãäå ψb преобразование фурье функции ψ. Положим

ψθ,b(t) = |θ|ψ (θ (t − b)) , θ, b R.

ψθ,b(t)

Z ∞

ψθ,b(ω) =

−∞ e−2πiωtp

|θ|

ψ (θ (t − b)) dt =

∞

2πiω

u +b

|θ| Z−∞ e−

(

)

ψ (u) du =

1|θ|

e−2πiωbψ

Определение .7. Непрерывным

вейвлет преобразованием назы-

вается интегральное преобразование

∞

Wf(θ, b) = Z−∞ f(t)

dt = p

Z−∞ f(t)

ψθ,b(t)

|θ|

ψ (θ (t − b))

или из равенства Планшереля

∞

Wf(θ, b) =

Z−∞ f(ω)ψθ,b (ω)dω =

b ∞d

2πiωb

Z−∞ f(ω)e

dω

|θ|

Теорема .4. Пусть

базовый

f, g

вейвлет. Тогда для любых

L2(R)

Z Z

Wf(θ, b)Wg(θ, b)dθdb = cψ hf, gi

Для любой точки t, в которой функция f непрерывна

f(t) = cψ ZR ZR Wf(θ, b)ψθ,b(t)dθdb

В случае вещественной функции ψ

∞

cψ

dθ ZR Wf(θ, b)Wg(θ, b)db =

hf, gi

∞

f(t) =

dθ ZR Wf(θ, b)ψθ,b(t)dθdb

cψ

84 ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Доказательство. В силу тождества Планшерелÿ

∞

W f(θ, b) =

Z−∞ f(ω)e2πiωbψ

dω = Fθ(b)

|θ|

ãäå Fθ(ω) = f(ω)ψ

ω 1

√|θ| поэтому

b b

Z Z

Wf(θ, b)Wg(θ, b)dθdb

= dθ Fcθ(b)Gcθ(b)db =

dθ Fθ(ω)Gθ(ω)dω =

g(ω)ψ θ dω =

|θ|dθ ZR f(ω)ψ θ

dθ

f(ω)

g(ω)

dω

òàê êàê

ωθ

dθ

ψ (θ)

∞

dθ = cψ

Z−∞

Если функция ψ принимает действительные значения, то

∞

ψ (ω) =

Z−∞ e−2πitωψ(t)dt,

∞

2πitω

ψ(t)dt = ψ (−ω) ,

ψ (ω) =

Z−∞ e

b(ω)

ψ (−ω)

∞

dθ

ψ (θ)

dθ

cψ

∞

ω = 0

Отсюда следует первое утверждение. Положим

t / [t0

− ε, t0

+ ε]

gε (t) =

2ε

[t0

−

ε, t0

+ ε]

Тогда

0 h

εi

f, g

lim

f(t

→

lim W g

(θ, b)

lim

, ψ

θ,bi

)

ε→0

ε→0 h

θ,b

подставляя в первое равенство получим второе утверждение.

Замечание. Можно показать, что функция F (a, b) есть преобра-

зование вейвлета от некоторой функции

f(t), в том и только в

том случае когда выполнено тождество

F (a0, b0) = ZR Z0

F (a, b)K (a, b; a0, b0)

∞

dadb

ãäå

ZR √a

√a0

K (a, b; a

, b

) =

t − b

1 ψ

− t

Определение .8. Спектральной плотностью вейвлета назовем функцию

Eω(θ) = ψθ,b(ω)

= ψ

Частотным коэффициентом

вейвлета назовем

число kψ определя-

емое из равенства

θ = kψω = 0∞ θEω(θ)dθ = ω 0∞ ψ (θ)2

θ2 .

dθ

∞ Eω(θ)dθ

dθ

∞

ψb(θ)

Следовательно частотный коэффициент вейвлета равен

		∞		2		dθ
kψ = R0			ψ (θ)		2	dθ .
			ψ (θ)			θ2
		∞	ψ (θ)			θ
		0	b			θ
	R
	R
			b

Коэффициентом частотной дисперсии вейвлета назовем число dψ определяемое из равенства

R		∞			0		2

dψω2 =	0			θ		− θ Eω(θ)dθ
			R		∞ Eω(θ)dθ

ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

dψω2 = ω2

0∞ ψ (θ)

θ3

0∞

ψ (θ)

θ −

0∞ ψ (θ)

θ2

dθ

2 dθ R2

∞

ψ (θ)

Следовательно коэффициент

частотной дисперсии вейвлета равен

dψ =

0∞

ψ (θ)

θ3

0∞ ψ (θ)

− 0∞

ψ (θ)

θ2

dθ

∞

ψ (θ)

6. Дискретное Фурье и вейвлет преобразование

Определение .9. Пусть x = (x1, x2, . . . , xN ) вектор длины N. Дискретным преобразованием вектора x, называют вектор:

X	−i2π(k−1)(n−1)	, 1		k		N.
X(k) = x(n)e−	N		≤		≤

n=1

Обратное преобразование определено формулой

x(n) =

1 X

k=1

X(k)e	−i2π(k−1)(n−1)	, 1 ≤ n ≤ N.
	N

Прямое вычисление дискретного преобразования Фурье требует выполнения O(N2) арифметических операций. Если N =

n1n2 . .,. nm
требующий, то можно применить алгоритм быстрого преобразования
имеет порядок	1	2	+	· · ·m. Тогда сложность вычислений
öèéФурье. Он особенно удобен,O(N(nåñëè+ n			+	+ nm)) арифметических опера-

N = 2

O(N ln N).

Литература

[1]Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

[2]Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализ. М.: Наука, 1979. 384 с.

[3]Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

[4]Колмогоров А.М., Фомин В.Ф. Элементы функционального анализа и теории функций. М.: Наука, 1976. 544 с.

[5]Люстерник Л.А., Соболев В.В. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1982. 264 с.

[6]Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.256 с.

[7]Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

[8]Васильева А.Б., Тихонов М.А. Интегральные уравнения. М.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1989. 156 ñ.

Саженков Александр Николаевич Вайгант Владимир Андреевич Матукевич Ольга Юрьевна Саженкова Татьяна Владимировна Славский Виктор Владимирович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ практикум

ËÐ 020261 Í/Ê

Компьютерный набор О.А. Жданова Компьютерная верстка Н.С. Морозова Оригинал-макет представлен в авторской редакции

ПодписаноОфсетная печатьв печать.	УчФормат.-изд. 60ë. ×4.847./16.
Заказ	Тираж 100 экз.

Издательство Алтайского университета: 656099, Барнаул-99, ул. Димитрова, 66.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2016239.62 Кб7medicina_otvety.doc
#
06.09.2019188.93 Кб2medodichka_po_seminaram_Финансы орг-ии3курс_pre...doc
#
14.05.20155.19 Mб78Medvedev_booklet-.pdf
#
23.08.201926.93 Кб2Mekhanizmy_psikhologicheskoy_zashity.docx
#
14.05.20156.26 Mб10mescon.doc
#
14.05.2015479.23 Кб11Met2009.pdf
#
14.05.2015153.6 Кб10metod4.doc
#
14.05.2015537.47 Кб5MetodBudgetSystem.pdf
#
15.09.2019156.67 Кб2Metodicheskie_rekomendatsii.doc
#
09.12.2018624.64 Кб5Metodicheskie_ukazania_k_epyuru_2.doc
#
14.05.2015246.27 Кб5Metodichka_202010_1.doc