Met2009

61

такой, что

∩i∞=1Fi = .

ций, для которых2

2

[−1, 1], Eα L

2 множество непрерывных функ-

10. Пусть L = L

â

x(0) = α. Доказать, что Eα выпукло, всюду плотно

2

линейнымпри функционалом, и не могут. быть разделены никаким

непрерывным,

L Eα ∩ Eβ =

α 6= β

à) Λτ(x) = Λ(x),

n

≤

Λ(x)

≤

lim sup x(n).

á) lim inf x(n)

→∞

n→∞

Указание: положить

Λn(x) =

x(1) + · · · + x(n)

,

n

M =

{

x

l∞

: lim Λ

(x) = Λ(x) существует

}

,

n→∞ n

p(x) = lim sup Λn(x),

n→∞

клогию, индуцированную представлением L∞[0 1], как сопряженного

однойL [0,èç1].этихПустьтопологийC = C[0, 1] L∞[0, 1]. Доказать, что относительно

1

другой нет.

C всюду плотно в L∞[0, 1], а относительно

ñòâå

сильно сходится (несмотря на это слабая топология в

l1 îò-

личнаl1от его сильной топологии).

δ > 0

, рассмотрим

{xn(1)}n N

конечно много неотрицательных, в членовэтойпоследовательностиили неположительных,чиселвбесза--

висимостисоответствующейот этого

ε1 = +1

−1

подпоследовательностиположим или

. Затем переходим к

тем использовать метод диагонали

xnk , находим ε2

Кантора.

è.ò.ä. Çà-

62

ГЛАВА . ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

14. Верно ли, что каждая ограниченная последовательность в

l1 ñî-

держит слабо сходящуюся подпоследовательность?

15. Доказать, что замкнутое подпространство рефлексивного про-

странства рефлексивно.

X замкнутое подпространство рефлек-

16.сивногоДоказать,пространствачто, если Y

17. Показать, что для того,X, точтобыфакторпространстволинейный операторX/Y рефлексивно.

Cîí[0áûë, 1], (1представим< p < ∞) вбылвидеограничен

1

K : Lp[0, 1] →

1) при каждом фиксированном0 ≤ t, τ ≤ 1 è

R

необходимо и достаточно, чтобы

0 K(t, τ)x(τ)dτ, ãäå ÿäðî K(t, τ)

задано в квадрате

Kx =

удовлетворяет условиям:

1/p + 1/q = 1,

sup

R

1

t [0, 1] K(t, τ)

Lq[0, 1], причем

0

|K(t, τ)|qdτ < ∞,

фиксированном

непрерывна по на отрезке

при любом

2) функция

R

y0≤t≤1

t

[0, 1]

18.

0

y [0, 1]

K(t, τ)dτ

Доказать, что оператор.

рывен тогда и только тогда, когдаK из предыдущейядро задачи вполне непре-

нительному условию:

K(t, τ) удовлетворяет допол-

R

1

ε > 0 δ > 0, такое, что, если |t1 − t2| < δ òî

A : l2 → l2

q

.

Ax(n) = 0

19. Пусть

− K(t2, τ)|

dτ < ε

0

|K(t1

, τ)

åñëè

оператор заданный формулой

,

состоит из единственной точки. Найти kAnk è nlim kAnk1/n.

ный формулой

линейный оператор, задан-

20. Пусть

L

2

= L

2

[0, ∞)

, T : L2

→

L2

1

s

(T x)(s) =

s

0

x t)dt. Доказать, что T ограничен в

21., Пустьноне компактен

неравенством Харди).

L2

(воспользоватьсяR

ностей, дляc которыхm подпространствосуществует

всех числовых последователь-

nlim xn = x∞. Пусть c0 c ïîä-

→∞

23.

Пусть

.

√2/4

творяющийTнеравенствуоператор на гильбертовом пространстве, удовле-

1

n

kT nk ≤ C для любого n. Доказать, что

íà подпространство, где P проектор (не обязательно ортогональный)

N PT x → P x

{x : T x = x}.

ρ(x, y) =

∞

1

|xn−yn|

мость по

P1 2 1+|xn−yn|

этой метрике?n

Будетопределяетли данноеметрикуметрическое.Что означаетпространствосходи-

”S”, представим в виде

f(x) = P1n akxk (n зависит от f). Доказать.

вместе57. Предположим,спроизводной причто функция

f(x)

определена и непрерывна

рывная функция

−∞ < x < +∞ и пусть существует непре-

R

δ(x) такая, что выполнены условия: 1) δ(x) > 0 при

x 0; 2)

∞ δ(x)dx =

; 3)

f0(x)

1 δ(x). Тогда уравнение

xíåíî,= f(òîx)

0

∞

|

| ≤

−

≥

уравнениеимеетединственноеможет не решениеиметьрешений.Если же.Доказатьусловие.2) не выпол-

58. Доказать, что, если функция f(x, y

ïîëó-

плоскости и удовлетворяет условиям: 1), определенаf(x, 0) = 0в, 2)правой|f(x, y2) −

нения

, ãäå

∞

L(x)dx < 1

, то любое решение урав-

f(x, y1)| ≤ L(x)|y2 − y1|

0

59. Пустьy0 =â fуравнении(x, y) имеет

предел при

x → ∞.

R

плоскости

y0+ay = f(t, y) a > 0, а функция f(t, y) в полу-

t ≥ 0 удовлетворяет условию Липшица |f(t, y2)−f(t, y1)| ≤

61. Предположим, что t → ∞.

ца в полуплоскости

f(t, y) удовлетворяет по y условию Липши-

ãäå

t ≥ 0, òî åñòü |f(t, y2) − f(t, y1)| ≤ L(t)|y2 − y1|,

ïðè

y00 + a2y = f(t, y) (a = 0) ограничено на [0,

∞

) и допускает

6

t → ∞ асимптотическое представление

y(t) = A cos(at) + B sin(at) + O(1).

где.65 Пустьa(x) Lp2 [a, b]

|f(x, u)| ≤ a(x) + b0|u|p1/p2 ,

a(x) ≥ 0

b0

> 0

функция,

,

.

оператор. Тогда,Гаммерштейнаесли ядро

[[a, b] × [a, b]]

, òî èíòå-

aгральный(x) ≥ 0, b0

> 0

K(x, s) L2

Ku = Zab K(x, s)f(s, u(s))ds,

70действует.Пусть

функцияв и вполне непрерывен.

L2[a, b]

f(x, y) задана на всей плоскости и ω - периодична

ïî

ìåðå îäíî

y0 = f(x, y) существует по крайней

71. Пусть функцияω - периодическое решение y(x), причем a ≤ y(x) ≤ b.

ïî

f(x, y) задана на всей плоскости и ω - периодична

x: f(x + ω, y) = f(x, y), à ïî y удовлетворяет условию Липшица:

(x, y

)

−

f(x, y

)

| ≤

L

y

2 −

y

1|

. Доказать, что если выполнено условие

|ff(x,y)

2

1

|

x (0

≤ x ≤ ω)

, то дифферен-

öèàëьное уравнениепри

равномерно по

y

→ 0

y

→ ∞

îäíî

y0

+ ay = f(x, y) (a = 0) имеет, по крайней мере

72. Пустьω - периодическоефункция

решение.

6

K(x, s, u) непрерывна в параллепипеде 0 ≤ x, s ≤

. Ïðè ýòîì

f76. ÄëÿX того, чтобыϕфункционал0(x )h = f (h). Доказать.

x0

0

x0 ϕ(x) =

k

x

=

max

x(t)

, задан-

k

0 t 1 |

|

≤ ≤

íûé íà C[0, 1], был дифференцируем по Гато в элементе

x0(t)

Cсвоего[0, 1], максимуманеобходимови однойдостаточно,точке чтобы функция

|x0(t)| достигала

t0 [0, 1]. Ïðè ýòîì ϕ0(x0)h

=