Met2009

выражениеπ/2 = 0для,то есть не имеет решений). Подставив полученное А в x(s), получим:

λπ

x(s) = 2(2 − λ) sin(s) + cos(s), (λ =6 2)

Это выражение и является решением исходного уравнения.

19.1. В пространстве C[a, b] найти решение интегрального уравнения

уравнение, подставив в него s = 0 получим, что x(0) = 0; аналогично xè(1)ее производной= 0. (Обычнонаимеетграницахсмыслинтервала,проверятьеслизначенияони несамойобращаютсяфункциив

константы, то имеет смысл проверить их линейные комбинации). второгоРассмотрим первый случай. Из первого условия c1 + c2 = 0, èç

c1e + c2e−1 = 0. Эта система имеет только одно решение

å) a = 0, b = 1 K(s, t) = e−|s−t|.

20.2. В пространстве L2[a, b] найти решение интегрального уравнения

x(s) − λ Rab K(s, t)x(t)dt = f(s), åñëè

21. Сжимающие отображения

Опрстранство21.1 Банаха,Нелинейныйназываетсяоператорсжимающим,U : E → E,åñëèE X, ãäå X ïðî-

мкнутом множестве U(x) является сжимающим оператором на за-

точка E. Тогда существует единственная неподвижная x оператора U(x), ò.å. U(x ) = x .

21.1. Рассмотрим оператор

Z t

A : C[0, 1] → C[0, 1] Ax(t) = λ x(τ)dτ + 1

. 0

а) Доказать,впространствечто при |λ| < 1 этот оператор является сжимающим

C[0, 1].

б) Найти неподвижную точку этого оператора при λ = 0.5.

в) Составить итерацию, выбрав в качестве начального приближениями рядаx ≡Тейлора0, и убедиться,для неподвижнойчто они являютсяточки. частичными сумма-

0

г) Найтиционногооценкупроцесса,погрешности,исходя издопускаемойоценки остаточногона n - мчленашагевитерафор-- муле Тейлора.

58 ГЛАВА 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

д) Имеет ли рассматриваемый оператор неподвижные точки при

|λ| ≥ 1?

во21.2пространство.Привести пример оператора Φ : X → X, переводящего банахоусловию X в себя, удовлетворяющего при x,y X (x 6= y) точек. |Φ(x) − Φ(y)| < |x − y| и не имеющего в X неподвижных

21.3.БанаховоПустьпространствоΦ : X → X - такой непрерывный оператор, переводящий

21.5. Используя результат предыдущей задачи, показать, что уравнениерывнымx =ядром,Ax +имеетf, гдеединственноеf C[0, 1], Aнепрерывноеоператор решениеВолтерра. с непре-

0 n

y21.=7.yИспользуя+ q(x); y(0)результат= 0. предыдущей задачи, доказать, что если

R 1

решение,q(x) C[0íå, 1]обращающеесяи|q(t)|dt <â1íóëü/4, тонауравнениеотрезке y” + q(x)y = 0 имеет

0

[0, 1].

22. Принцип Шаудера

Теорема (Брауэра) Пусть B [0, 1] замкнутый единичный шар,

ТогдаB [0, 1] Rn è F : Bтакой,[0 1] → B [0, 1] непрерывное отображение.

Теоремаx (Шаудера)B [0, 1] , . Пустьчто F (x ) = x .

лое множество пространства Банахазамкнутое, ограниченное, выпук-

22.1. Пусть f(x) непрерывная функция, отображающая отрезок мере[a, b] однувсебянеподвижную.Показать, чтоточкуданное. отображение имеет по крайней

каждую22.2. Пустьточкуфункцияэтой областиf(x, y) непрерывнапроходитповкрайнеобластимереG. Тогдаодна интечерез-

гральная.зать кривая дифференциального уравнения y0 = f(x, y). Äîêà-

вполне22.3. Пустьнепрерывеноператори Aудовлетворяет,действующийусловиюв Банаховом пространстве X,

kAxk ≤ α + βkxk äëÿ

îäíîα > 0решениеи0 < β. <Доказать1. Тогда. уравнение Ax = x имеет по крайней мере

22.4.стве Пусть для оператора A, действующего в Банаховом пространняютсяX, условия:существуетa) существуетлинейныйоператор B L(X), такой, что выпол-

−∞ < y, z < +∞. Доказать, что нелинейная краевая задача y00 = µfïðè(x,достаточноy, y0), y(a)малом= y(b) = 0 имеет, по крайней мере, одно решение

22.6. В пространстве µ.

3

для обыкновенного квазилинейногоC [0, 1] рассмотримдифференциальногоследующую краевуюуравнениязадачу

3-го порядка (модельная задача теории пограничного слоя): x000 +

xx00 = 0, 0 < t < 1,

x(0) = a, x0(0) = b, x(1) = c.

а) Доказать, что эта задача эквивалентна следующему нелинейному интегральному уравнению в пространстве C[0, 1]:

интегрального уравнения, отображаетΦ(x), задаваемыйшар правой частью

Br(0) радиуса r =

|a| + |b| + |c − a − b| â ñåáÿ.

в) Доказать, что Φ вполне непрерывен в этом шаре.

Таким образом, согласно принципу Шаудера, установлено существование решения исходной задачи.