Мат. ан. Заочное ч.1 2часа
.pdf
Производные основных элементарных функций
1. |
= ′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
a) = |
|
|
′ = |
|
|
|
′ = ∙ ‘ |
|
|||||||
б) = |
|
′ = |
|
|
|
|
′ = |
|
|
∙ ‘ |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. а) = |
|
′ = |
|
|
|
′ = ∙ ′ |
|
|||||||||
б) = |
|
|
|
′ = ∙ |
|
′ = ∙ ′ |
|
|||||||||
4. |
= |
|
|
|
′ = − |
|
′ = −‘ |
|||||||||
5. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln ′ = |
′ |
′ = ln ′ |
|
′ = |
|
|
′ = |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
′ |
|
+ |
′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.=
7.=
8.=
9.=
10.=
11.=
12.=
13.=
′ =′ = −
′ = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
′ = − |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
′ = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− |
|
|
|||||
′ = − |
|
|
|
|
|
||||
|
− |
||||||||
|
|
|
|
||||||
′ = |
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
′ = −
+
′ = ∙ ‘′ = − ∙ ′
′ = |
|
|
|
|
∙ ‘ |
|
|
|
||||
² |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′ = − |
|
|
|
|
|
|
|
∙ ′ |
|
|||
² |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
′ = |
|
|
|
|
|
|
∙ ‘ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||
′ = − |
|
|
|
|
|
∙ ‘ |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||
′ = |
|
|
|
|
|
|
∙ ′ |
|
||||
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′ = − |
|
|
|
∙ ′ |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||
Производная неявной функции
, = 0 − неявное задание функции.
Чтобы найти производную надо:
1)продифференцировать обе части уравнения;
2)из полученного уравнения найти ′.
Пример. 2 − + ln = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 − − ′ + |
′ |
= 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
′ − |
′ |
= 2 − |
′ − |
1 |
|
= 2 − |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
|
− 1 |
= 2 − |
′ = |
2 − 2 |
||||||||
|
|
|
|
− 1 |
|
||||||||
Пример. 2 + + 2 |
= 6; sin − − cos = 0 |
||||||||||||
Производные высших порядков
Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Обозначение: ′′
Механический смысл второй производной – это скорость
изменения скорости, т.е. ускорение.
Пример. = 3 3 − 2 2 + − 5′ = 9 2 − 4 + 1
′′ = 18 − 4′′′ = 184 = 0
Формула Лейбница для производной произведения двух функций
= ∙
u и v – функции, имеющие производные любого порядка.
Тогда
′ = ′ + ‘′′ = ′′ + ′ ′ + ′ ′ + ′′ = ′′ + 2 ′ ′ + ′‘
′′′ = ′′′ + 3 ′′ ′ + 3 ′ ′′ + ′′‘
|
= + −1 ′ + |
− 1 |
−2 ′′ + |
||
2! |
|||||
|
− 1 |
− + 1 |
|
||
+ |
− + + |
||||
|
|
! |
|
|
|
Доказывается методом математической индукции.
Пример. = 3 cos 2 |
′′−? |
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале , и в некоторой точке 0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в
точке 0 существует производная, то она равна нулю, т.е.
′ 0 = 0.
0 |
0 |
|
Геометрический смысл теоремы Ферма:
если в точке 0 дифференцируемая функция
имеет наибольшее или наименьшее значение,
то в точке 0, 0 касательная к графику функции
параллельна оси 0x.
Теорема Ролля. Пусть на , определена функция , причем:
1) |
|
непрерывна на , |
|
2) |
|
дифференцируема на |
, |
3) |
= |
|
|
Тогда существует точка , |
,в которой ′ = 0. |
||
|
|
|
|
Геометрический смысл теоремы |
|
|
|
|
Ролля: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у графика непрерывной на , и |
|
|
|
|
|
дифференцируемой внутри этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезка функции, принимающей |
|
|
|
|
на его концах равные значения, |
|
|
|
|
|
|
найдется хотя бы одна точка, в |
|
|
|
|
|
которой касательная к графику |
|
|
|
|
|
функции будет параллельна |
0 с1 |
с2 |
|
|
оси 0x; в этой точке и будет |
|
|
|
|
|
|
′ = 0 |
Замечание. Все условия теоремы существенны. а) = , 0,1 выполняются условия 1), 2).
y |
точки с |
0
1
x
б) |
= |
, 0 ≤ < 1 |
выполняются условия 2), 3). |
0, = 1 |
|||
y |
|
|
точки с |
|
|
|
0
в)
1
=
y
x
, −1,1 выполняются условия 1), 3).
точки с
1 0 1 x