EXCEL2
.pdf
Варіант 16
1. Обчислити:
æ |
m |
ö |
+ |
S = ç |
åai ÷ |
||
è i=1 |
ø |
|
|
n n
ååcij2 - (3 +
i=1 j=1
n n |
æ |
m |
ö |
ååcij )ç1+ åai2 ÷ . |
|||
i=1 j=1 |
è |
i=1 |
ø |
де |
a – вектор з m компонентів, |
|
|
|
||
|
c – матриця розмірністю n × n , |
|
|
|
||
|
n = 3 ; |
|
|
|
||
|
m = 4 . |
|
|
|
||
|
a = (3, 3, 1, 3), |
|
||||
|
с = |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
3 |
|
Варіант 17
2. Обчислити:
S
æ |
m |
ö |
+ |
= ç |
åai ÷ |
||
è i=1 |
ø |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
. |
n n |
|
n n |
æ |
m |
ö |
||
|
|
||||||
ååcij2 - (3 + ååcij )ç1+ åai2 ÷ |
|
||||||
i=1 j=1 |
i=1 j=1 |
è |
i=1 |
ø |
|
||
де |
a – вектор з m компонентів, |
|
|
|
|
|
|
c – матриця розмірністю n × n , |
|
|
|
|
|
|
n = 2 ; |
|
|
|
|
|
|
m = 4 . |
|
|
|
|
|
|
a = (1, 4, 1, 3), |
|||||
|
с = |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
38
Варіант 18
1. |
Обчислити: |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
2å yi2 |
|
|
æ |
m m |
|
ö3 |
|
|||||
|
|
åxi + |
|
i=1 |
|
+ |
5çååbij |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n +1 |
|||||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
ç i 1 j 1 |
|
÷ |
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
è |
= = |
|
ø |
|
||||
|
S = |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 + å yi |
|
|
|
|
|
||||||
де |
a – вектор з m компонентів, |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c – матриця розмірністю n × n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (2, 1, 1, 3), c = |
|
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 4 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
5 |
|
|
|
Варіант 19
1. Обчислити:
n |
n |
S = (åxi2 + 5åxi yi ) |
|
i=1 |
i=1 |
n |
|
|
n |
|
(1+ åxi + å yi ) |
n |
|||
i=1 |
I =1 |
- 3 + åxi , |
||
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
n +1 |
i=1 |
||
|
π |
|
|
|
де x, y - вектори з n компонентів,
n = 4 .
x = (7, 5, 7, 4), y = (2, 4, 2, 3)
39
Варіант 20
1. Обчислити:
n +1
|
n |
|
π |
|
|
|
2åxi yi + |
|
|
||
|
m |
m |
|
||
|
i=1 |
(ååbij ) |
2 |
||
|
|
|
|
||
S = |
|
i=1 |
j=1 |
|
|
п
3 + åxі
і=1
де x, y – вектори з n компонентів, b – матриця розмірністю m × n ,
n = 4 ; m = 2 .
x = (3, 1, 2, 3), b =
|
y = (1, 7, 2, 3), |
||
4 |
1 |
|
. |
|
|||
2 |
5 |
|
|
Контрольні питання
1.Як працює функція СУММ?
2.Як працює функція СУММКВ?
3.Як працює функція СУМКВРАЗН?
4.Як складаються складні формули?
5.Як працюють формули масивів?
6.Як завершити формулу масиву?
40
Комп'ютерний практикум № 4
тема: “Робота з масивами. Знаходження коренів лінійних рівнянь
мета: Навчитись складати складні формули, Формули масивів в MS EXCEL.
Теоретична частина
Формули масивів
Масив це набір комірок або значень, які обробляються як одна група. Елементи масиву можуть знаходитися в групі комірок або бути поіменованою константою.
Формула масиву це формула в якій використовується один або декілька масивів безпосередньо або в якості аргументів функцій. Формула масиву може займати одну або декілька комірок.
переваги формул масивів
•більш ефективна робота.
•виключають проміжні формули
•дозволяють зробити обчислення, які важко або неможливо зробити по-іншому.
•вони використовують менше пам'яті.
недоліки формул масивів
•Дуже великі масиви можуть сповільнити розрахунки в рабочому листі
•Тяжкими для розуміння
•Вводяться тільки при натисканні клавіш (Сtrl + shift + enter)
•Формули масивів заключають в фігурні дужки, які не вводяться.
41
Розв'язання лінійних рівнянь
Нехай система лінійних рівнянь, де матриця коефіцієнтів записана в А2:В3, а
вільні члени – в комірки D2:D3.
Розв'язком лінійної системи A× X = B , де A – матриця коефіцієнтів, B – стовпчик(вектор) вільних членів, X – стовпчик (вектор) невідомих, в
матричному вигляді X = A−1 × B , |
де A−1 |
|
– обернена матриця A . |
|||||||
В нашому випадку A = |
|
8 |
3 |
|
, |
B = |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Послідовність кроків
1.Вибираємо діапазон для розрахунку. Наприклад, F2:F3.
2.Вводимо в нього формулу: {=МУМНОЖ(МОБР(А2:В3);D2:D3)}
3.Завершуємо ввід формули комбінацією клавіш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
Таким чином, розв'язком системи рівнянь є вектор:
X = 0.440.16
Для розв'язку більш складної задачі A2 × X = B ,
де |
A = |
7 |
2 |
, |
B = |
2 |
. |
|
|
1 |
4 |
|
|
1 |
|
Розв'язком цієї системи є вектор X = (A2 )−1 × B .
Послідовність кроків:
•Вводимо елементи матриці А в діапазон А2:В3.
•Вводимо елементи вектора В в діапазон комірок D2:D3.
•Вибираємо діапазон F2:F3, для розміщення вектору результату.
•Введемо в цей діапазон формулу:
42
•{=МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(А2:В3;А2:В3)); D2:D3)}
•Завершуємо операцію <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
Результат:
X = 00..4416 .
Знаходження значення квадратичної форми
Наприклад Z = X T × A × X , при цьому
A = |
8 |
3 |
, |
X = |
4 |
. |
|
2 |
7 |
|
|
2 |
|
Послідовність кроків:
•Вводимо елементи матриці А в діапазон А2:В3.
•Вводимо елементи вектору В в діапазон комірок D2:D3.
•В комірці F4, розміщуємо значення квадратичної форми.
•в цю комірку вводимо формулу:
•=МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(D2:D3); A2:B3); D2:D3).
•Завершуємо <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
Результат: Z=196.
Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гауса
ì7 × x1 + x2 + 3× x3 = 1; ïí3× x1 + 6 × x2 + x3 = 2; ïî3× x1 + x2 + 4 × x3 = 3.
Послідовність кроків:
•В комірку діапазону А2:С4 вводимо коефіцієнти системи, що стоять при невідомих
•В комірки D2:D4 вводимо вільні члени.
Прямий хід методу Гауса:
1)через буфер обміну копіюємо діапазон A2:D2 на A6:D6;
2)вибираємо діапазон A7:D7;
3)вводимо в нього формулу{ =А3:D3-$A$2:$D$2*A3/$A$2}
4)та завершуємо операцію <Ctrl> + <Shift> + <Enter>;
43
5)вибираємо діапазон A7:D7, поміщаємо вказівник миші на маркері заповнення цього діапазону та протягуємо його вниз на один рядок;
6)виділяємо діапазон А6:А7 та копіюємо його в буфер обміну;
7)вибираємо комірку А10;
8)виконуємо команду ПравкаÞСпеціальна вставка. В діалоговому
вікні Спеціальна вставка вибираємо перемикач Значення в групі Вставити та натиснути ОК;
9)виділяємо діапазон А12:D12;
10)вводимо в нього наступну формулу {=A8:D8-A7:D7*B8/B7} та завершуємо комбінацією клавіш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
Зворотний хід методу Гауса.
11)вибираємо діапазон F8:I8;
введемо в нього наступну формулу {=A12:D12/C12} та завершуємо комбінацією клавіш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>;
12)виділяємо діапазон F7:I7;
13)вводимо в нього наступну формулу {=(A11:D11-F8:I8*C11)/B11} та завершуємо комбінацією клавіш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>;
14)вибираємо діапазон F6:I6.
15)введемо в нього наступну формулу
{=(А10:D10F7:I7*В10F8:I8*C10)/А10} та завершимо комбінацією клавіш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
Розв'язком системи рівнянь є наступний вектор:
44
− 0.28037 X = 0.32710 0.87850
45
Варіант 1.
1. Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, A3 X = B та обчислити значення квадратичної форми Z = Y T AT A2Y , де
|
9 |
5 |
4 |
7 |
|
0 |
|
2 |
|
А = |
4 6 8 |
7 |
, В = |
6 |
, Y = |
6 |
. |
||
|
5 |
8 |
7 |
6 |
|
3 |
|
2 |
|
|
5 |
6 |
8 |
7 |
|
7 |
|
3 |
|
Варіант 2.
1.Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, значення квадратичної форми Z = Y T A3Y , де
|
9 |
5 |
3 |
8 |
|
3 |
|
А = |
4 |
6 |
7 |
4 |
, В = |
1 |
, |
|
2 |
3 |
5 |
3 |
|
4 |
|
|
4 |
8 |
3 |
7 |
|
2 |
|
A2 AT X = B та обчислити
3 Y = 51 3
Варіант 3.
1. Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, A2 AT AX = B та обчислити значення квадратичної форми Z = Y T AT A3Y , де
|
1 |
4 |
2 |
5 |
|
3 |
|
1 |
А = |
4 |
4 |
5 |
3 |
, В = |
8 |
, Y = |
2 |
|
1 |
2 |
6 |
8 |
|
1 |
|
5 |
|
3 |
7 |
3 |
2 |
|
1 |
|
1 |
46
Варіант 4.
1. |
Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, |
A2 AT AX = B та обчислити |
||||||||||||||
|
значення квадратичної форми Z = Y T AT AAT Y , де |
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
А = |
5 |
2 7 5 |
|
|
|
, В = |
2 |
|
, Y = |
1 |
|
|
|||
|
|
4 |
2 |
1 |
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
7 |
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
Варіант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, |
AAT A2 X = B та обчислити |
||||||||||||||
|
значення квадратичної форми Z = Y T A3 AT Y , де |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9 |
6 |
3 |
8 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
А = |
4 6 7 4 |
|
|
|
, В = |
1 |
|
, Y = |
5 |
|
|
||||
|
|
2 |
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
8 |
3 |
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
Варіант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, |
A3 AT X = B та обчислити |
||||||||||||||
|
значення квадратичної форми Z = Y T A2 AT AY , де |
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
4 |
7 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
А = |
4 |
1 6 2 |
|
|
|
, В = |
0 |
|
, Y = |
1 |
|
|
|||
|
|
8 |
3 |
6 |
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
Варіант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Розв’язати системи лінійних рівнянь AX = B, |
AT A3 X = B та обчислити |
||||||||||||||
|
значення квадратичної форми Z = Y T AAT A2Y , де |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
А = |
2 |
6 4 6 |
|
|
|
, В = |
4 |
|
, Y = |
2 |
|
|
|||
|
|
3 |
4 |
5 |
5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
9 |
3 |
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
47