Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект_лекций3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Лекція 11. Інтегрування функцій комплексної змінної

, v

u .

За теоремою Остроградського — Ґріна ці умови означають, що

udx vdy

vdx udy

де G — внутрішність контуру L.

Отже,

f (z)dz 0.

Якщо функція

f (z)

ще й неперервна

в замкненій

області

D D, то теорему Коші можна узагальнити: інтеграл від функ-

ції f (z), узятий уздовж межі D цієї області, дорівнює нулеві:

f(z)dz

2. Орієнтація межі багатозв’язної області. Розгляньмо на

комплексній

площині

замкнених

кусково-гладких

контурів

0, 1, ..., n 1

таких, що кожний з контурів 1, 2, ..., n 1 лежить у зов-

нішності решти і всі вони розташовані у внутрішності контуру 0.

Множина точок площини, що лежить

всередині контуру 0

і за межами контурів

1, ..., n 1, є n -зв’язною областю D.

n 1

Повна межа області D є складеним

контуром,

утвореним

із

кривих

0, 1, ..., n 1.

Рис. 11.2. n -зв’язна область

Орієнтуймо повну межу області D таким чином. Додатним напрямом обходу межі багатозв’язної області називають такий напрям руху, під час якого область D весь час лишається ліворуч. При цьому зовнішній контур 0 обходиться проти годинникової стрілки, а контури 1, ..., n 1 — за годинниковою стрілкою.

72	Розділ 2. Функції комплексної змінної

3. Теорема Коші для багатозв’язної області.

Теорема 11.2 (Коші, для багатозв’язної області). Нехай функція f (z) аналітична в багатозв’язній області D і неперервна в замкненій

області D. Тоді

f (z)dz 0,

де — повна межа області D, яка утворена контурами 0, 1, ..., n 1

іобходиться у додатному напрямі.

Доведімо теорему для двозв’язної області, обмеженої звонішнім контуром 0 і внутрішнім контуром 1.

	З’єднаймо зовнішній контур 0 з контуром	1
	1	1
	гладкою кривою , тобто проведімо розріз, і розг-
	ляньмо область D , межа якою утворена криви-
	ляньмо область D , межа якою утворена криви-	0
	ми 0, 1 та кривою . При цьому допоміжну криву	0
	ми 0, 1 та кривою . При цьому допоміжну криву	Рис. 11.3. Двозв’язна
	проходять двічі у протилежних напрямах; цю	область

криву завжди можна побудувати так, щоб область D була однозв’язною.

На підставі узагальненої теореми Коші інтеграл за межею області D дорівнює нулеві. Оскільки інтеграли вздовж взаємно знищуються, то

f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0.


	0	1

У разі n -зв’язної області маємо співвідношення

		n 1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0,
		k 1
	0	k
яке можна записати ще у вигляді
		n 1
	f (z)dz f (z)dz.
		k 1
	0	k
11.4. Формула Ньютона — Лейбніца
Якщо функція	f (z) аналітична в однозв’язній області D, то зна-

чення інтеграла f (z)dz, узятого вздовж кусково-гладкої кривої L, що

	Лекція 11. Інтегрування функцій комплексної змінної					73
належить області D, не залежить від вибору кривої L, а визначається
лише положенням початкової точки z0 та кінцевої точки z					цієї кривої.
Справді, нехай L1		та L2	— дві криві в області D,	які сполучають
точки z0	та z.
За теоремою Коші для однозв’язної області					D
f (z)dz 0 f (z)dz f (z)dz 0				z0	L2	z
f (z)dz 0 f (z)dz f (z)dz 0				z0

L1 L2	L1		L2		L1
f (z)dz f (z)dz 0 f(z)dz f (z)dz.					L1
f (z)dz f (z)dz 0 f(z)dz f (z)dz.				Рис. 11.4
L1	L2	L1	L2
У разі, коли інтеграл залежить лише від початкової і кінцевої то-
чок шляху інтегрування, його позначають як
			z1
		f (z)dz f (s)ds.
		L	z0
					z
Якщо зафіксувати точку z0, а точку z змінювати,				то f (s)ds стає
					z0

функцією від z :

F(z) f (s)ds.

Теорема 11.3 (Морери). Нехай функція f (z) аналітична в од-

нозв’язній області D; точки z0 та z належать D. Тоді функція

F(z) f(s)ds

аналітична в області D, і

F (z) f(z).

Означення 11.2 (первісної). Функцію F(z) називають первісною

функції f (z) в області D, якщо в кожній точці цієї області виконано рівність

F (z) f (z).

74	Розділ 2. Функції комплексної змінної

Якщо F(z) є деякою первісною для f (z), то сукупність усіх первіс-

них має вигляд

F(z) C,

де C const .

Сукупність усіх первісних функції f (z) називають невизначеним інтегралом від функції f (z) і позначають символом f (z)dz.

Методи обчислення невизначених інтегралів від аналітичних функцій в комплексному аналізі ті самі, що й в дійсному.

Для аналітичної функції f (z) правдива також формула Ньютона

— Лейбніца:

f (s)ds F(z) F(z0 ) F(z) |zz0 ,

де F(z) — деяка первісна функції f (z) в області, якій належать точки z0 та z.

Приклад 11.2. Обчислити інтеграл I (3z2 2z)dz.

Лекція 12. Ряди Тейлора і Лорана

ЛЕКЦІЯ 12. РЯДИ ТЕЙЛОРА І ЛОРАНА

12.1. Інтегральна формула Коші

Ця формула зв’язує значення аналітичної функції f (z) у будь-якій точці z області D зі значенням цієї функції у межових точках області D.

(про інтегральну формулу Коші). Нехай функція

Теорема 12.1

f (z) аналітична

в однозв’язній області D і неперервна в замкненій

D L. Тоді для будь-якої внутрішньої точки z області D

області D

правдива інтегральна формула Коші для функції

f (z0 )

f (z)

dz,

2 i

z z

де L — межа області D,

що обходиться в додатному напрямі.

Побудуймо коло

z z0

r з центром у

точці z0 радіусом r так, щоб це коло містилося всере-

дині області D (коло r

не перетинало контур L). Ді-

станемо двозв’язну область D , обмежену контурами

Рис. 12.1

f (z)

L та r , у якій функція

аналітична.

Тоді

z z0

f (z)

z z

r :

z z

z z0

f (z)

f(z)

dz.

2 i

z z

2 i

z z

Завдяки тому, що

r :

z z0

2 i

r :

z z0

маємо

z z0

(z0 )

f (z0 )dz

2 i

r :

z z0

Віднімімо обидві рівності:

z z0

f(z) f (z

)

f (z)

dz f (z0 )

dz.

2 i

z z

2 i

z z

r :

z z0

76	Розділ 2. Функції комплексної змінної

Ліва частина рівності не залежить від радіусу r кола. Виявляється, праву частину можна зробити як завгодно малою. Отже,

1	f (z)		dz f (z0 ) 0

2 i	z z	0
		0

1f (z)

f (z0 ) 2 i z z0 dz.

Диференціюючи формулу Коші за параметром z0 дістаємо інтег-

ральну формулу Коші для похідної:


	f (n)(z0 )	n !				f (z)		dz, n 0, 1, 2, ...
	f (n)(z0 )	2 i (z z0 )n 1						dz, n 0, 1, 2, ...
		2 i (z z0 )n 1

						ez
						ez
Приклад 12.1.	Обчислити						dz, якщо:
Приклад 12.1.	Обчислити				z 2		dz, якщо:
			L
				i

1) L1 :

1; 2) L2 :

12.2. Тейлорові ряди

1. Розвинення функції комплексної змінної в ряд Тейлора.

(Тейлора). Будь-яку аналітичну у крузі

Теорема 12.2

z z0

функцію f (z)

можна єдиним чином розвинути у цьому крузі у степе-

невий ряд

f(z) cn(z z0 )n,

n 0

коефіцієнти якого визначають за формулами

f (z)dz

f (n)(z

)

, n 0, 1, ...,

2 i

(z z0 )n 1

n !

де r — довільне коло з центром у точці z0, який лежить усередині

заданого круга.

Цей ряд називають Тейлоровим рядом з центром у точці z0 функ-

ції f (z).

Лекція 12. Ряди Тейлора і Лорана

Теорема 12.3 (єдиності розвинення в Тейлорів ряд). Якщо фун-

кція f (z) розвивна у крузі z z0 R у степеневий ряд

f (z) cn(z z0 )n,

n 0

то цей ряд буде Тейлоровим рядом з центром у точці z0 функції f (z).

Отже, будь-який збіжний степеневий ряд є Тейлоровим рядом своєї суми. Його коефіцієнти можна шукати так само як і в дійсному випадку.

2.Розвинення деяких функцій у ряд Тейлора — Маклорена

зцентром у точці z0 = 0.

1) ez zn , z ;

n 0

n !

z2n 1

2) sin z ( 1)n

, z

;

n 0

(2n 1)!

z2n

3) cos z ( 1)n

, z ;

n 0

(2n)!

zn 1

4) ln(1 z) ( 1)n

n 0

n 1

zn,

n 0

( 1)n zn,

n 0

Приклад 12.2. Розвинути в ряд Тейлора з центром у точці z0 функ-

цію f (z):

1) f (z) 1 z2 , z0 0;

2) f (z) z sin z, z0 2 .

78	Розділ 2. Функції комплексної змінної

12.3. Лоранові ряди

Теорема		12.3			(Лорана). Будь-яку аналітичну в кільці
r	z z0		R (0	r R ) функцію f (z) можна єдиним чином

розвинути у цьому кільці в ряд

f(z) cn(z z0 )n,

коефіцієнти якого визначають за формулами

cn	1		f (z)dz		, n ,

	2 i		(z z	n 1
	2 i		(z z	0 )
		r

де r — довільне коло з центром у точці z0, який лежить усередині заданого кільці.

Цей ряд називають Лорановим рядом функції з центром у точці z0 функції f (z).

Ряд Лорана для функції

			c m
f (z) cn(z z0 )n cn(z z0 )n			c m
f (z) cn(z z0 )n cn(z z0 )n			(z z0 )m
n	n 0	m 1	(z z0 )m

складається з двох частин. Першу частину ряду Лорана

f1(z) cn(z z0 )n

n 0

називають правильною частиною ряду Лорана; цей ряд збігається до

аналітичної функції f1(z) усередині круга

z z0

Другу частину ряду Лорана

		c m
	f2(z)
		(z z0 )m
	m 1

називають головною частиною ряду Лорана; цей ряд збігається до аналітичної функції f2(z) ззовні круга z z0 r.

Усередині кільці r z z0 R ряд

cn(z z0 )n

збігається до аналітичної функції f (z) f1(z) f2(z).

Лекція 12. Ряди Тейлора і Лорана			79
При цьому в будь-якому вужчому кільці
r	z z0	R ,

де r r R R, Лоранів ряд збігається абсолютно і рівномірно.
Якщо функція f (z) не має особливих точок усередині			круга

z z0	R, то її розвинення в Лоранів ряд перетворюється на Тейло-

рів ряд.

		1		n
Приклад 12.3.	Визначити область збіжності ряду			z	.
		n		n 1
	n 1 z		n 0	2

Формули для коефіцієнтів Лоранового ряду практично не використовують. Їх одержують, застосовуючи готові Тейлорові розвинення елементарних функцій. На підставі єдиності розвинення будь-який законний прийом приводить до потрібного розвинення. для однієї і тої самої функції f (z) Лоранові розвинення, взагалі кажучи, мають різний вигляд для різних кілець.

Приклад

12.4.

Знайти всі

Лоранові

розвинення

функції

f (z)

2z 1

за степенями z.

z2 z 2

Знайти

Лоранове

розвинення

функції

Приклад

12.5.

f (z)

2z 1

у кільці 0

z 1

z2 z 2

Приклад 12.6.

Розвинути в Лоранів ряд функцію f (z) z2 cos

околі точки z0 0.

80	Розділ 2. Функції комплексної змінної

ЛЕКЦІЯ 13. ІЗОЛЬОВАНІ ОСОБЛИВІ ТОЧКИ

13.1. Нулі аналітичної функції

Нехай f (z) — аналітична функція в області D. Точку z0			D назива-
ють нулем функції	f (z), якщо f (z0 ) 0.	Розвинення функції f (z) в
околі її нуля у степеневий ряд має вигляд

	f (z) cn(z z0 )n,c0 0.
Якщо й c1 c2	n 1	то точку z0 називають нулем
Якщо й c1 c2	... ck 1 0,ck 0,	то точку z0 називають нулем
k -го порядку.
В околі нуля k -го порядку розвинення функції f (z)			у степеневий
ряд має вигляд

f (z) cn(z z0 )n ck (z z0 )k ck 1(z z0 )k 1			...

(z z0 )k (ck ck 1(z z0 ) ...) (z z0 )k g(z), g(z0 ) 0.

Теорема 13.1 (про порядок нуля функції). Точка z z0 є нулем

порядку k функції f (z) тоді й лише тоді, коли:

f(z0) f (z0 ) ... f (k 1) z0 ) 0, f (k)(z0 ) 0.

Нулі функції f (z) називають ізольованими, якщо їх можна оточити неперетинними околами.

Нулі відмінної від тотожного нуля аналітичної функції ізольовані.

Приклад 13.1. Знайти нулі функції f (z) 1 e2z та визначити їхні

порядки.

Приклад 13.2. Знайти порядок нуля z0 0 функції f (z) z sin z .

13.2. Ізольовані особливі точки

1. Класифікація ізольованих особливих точок. Точку z0 на-

зивають ізольованою особливою точкою функції f (z), якщо існує про-

колений окіл точки z0 — кільце

0 z z0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.20191.6 Mб2конспект1.doc
#
27.10.201820.95 Mб48Конспект2.doc
#
12.05.20159 Mб26Конспект_2сем(цифровая электроника).doc
#
13.08.20193.77 Mб21Конспект_Антенны.doc
#
17.03.20163.14 Mб1047Конспект_Антенны.docx
#
12.05.20151.72 Mб14Конспект_лекций3.pdf
#
20.11.2019732.67 Кб7Конспект_метрология_(испр)2012_09_6.doc
#
04.09.20191.09 Mб4Конструкция ВЛ и КЛ.docx
#
12.09.20198.61 Mб4Конструкция ВЛ и КЛ.docx
#
22.07.201966.75 Кб4Контроль_6.docx
#
17.03.201649.33 Кб5Контрольна робота ЭП.docx