Конспект_лекций3

Теорема 6.4 (достатня умова розвивності). Для того, щоб фун-

кцію f(x) в інтервалі x x0 R можна було розвинути у Тейлорів ряд, достатньо щоб:

1) функція f(x) в цьому інтервалі була нескінченно разів дифере-

6.3. Ряди Тейлора — Маклорена елементарних функцій

Розгляньмо розвинення в ряд

основних елементарних функцій.

1. Розвинення експоненти f(x) ex . Ця функція має похідні всіх порядків в інтервалі ( R; R), R 0, причому

f (n)(x) ex eR, n 0, 1, 2, ..., x ( R; R).

Отже,

4. Біноміальний ряд для f (x) (1 x) , .

Rn (x) 0 n .

5. Важливі окремі випадки біноміального ряду.

6. Розвинення логарифмічної функції f(x) ln(1 x).

Можна показати, що розвинення правдиве і для x 1: ln 2 1 12 13 14 ...

Покладаючи ( x) замість x на підставі теореми 6.1 дістаємо розвинення для функції

Приклад 6.1. Розвинути функцію f (x) за степенями (x x0 ):

6.4. Застосування степеневих рядів

6.4.1. Наближенні обчислення за допомогою рядів

Нехай треба обчислити значення функції f(x) у точці x x1. Якщо

Приклад 6.2. Розвинути функцію за степенями (x x0 ) :

Приклад 6.3. Обчислити наближено:

1)sin 18 sin 10 0, 309, 10 3;

2)e 2, 717, 0, 001;

3)y y2 x2, y(0) 0, 5, чотири відмінні від нуля члени.

6.5.Формула Ейлера

Між показниковою функцією ez та тригонометричними функціями sin z та cos z існує простий зв’язок.

Підставмо в ряд для ez замість z iz і згрупуємо окремо доданки, із множником i та без нього:

ЛЕКЦІЯ 7. РЯДИ ФУР’Є. Ч. 1

7.1. Періодичні процеси

1)сума, різниця, добуток і частка T -періодичних функцій є T - періодичною функцією;

2)якщо функція f (x) має період T, то функція y f(ax),a 0, має

T

період a ;

3) якщо функція f є T -періодичною, то

a T T T2

f(x)dx f(x)dx f(x)dx.

a 0 T2

7.2. Тригонометричні ряди

Накладанням простих гармонік можна дістати різноманітні періодичні коливання, які зовсім не схожі на прості гармонічні коливання.

Систему функцій {1, sin n 1x, cos n 1x}, n , називають тригоно-

метричною.

Оскільки членами тригонометричного ряду є періодичні функції з

періодичною функцією.

7.3. Ортогональність тригонометричної системи

Означення 7.2 (ортогональної системи). Скінченну чи нескін-

ченну систему функцій

1(x), 2(x), ..., n(x), ...,

де n(x) 0, n , називають ортогональною на відрізку [a;b], якщо

для будь-яких різних номерів n та m :

b

n(x) m(x)dx 0.

a

Безпосереднім обчисленням можна довести, що Тригонометрична система функцій

єортогональною на відрізку T ;T .

2 2

Це означає, що

Також маємо:

T2