Конспект_лекций3

ЛЕКЦІЯ 2. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ РЯДІВ

ЗНЕВІД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ

2.1.Властивості рядів з невід’ємними членами

Нехай задано ряд an з невід’ємними членами an 0.

Властивість 1. Ряд an збігається тоді й лише тоді, коли послідо-

вність {Sn } його часткових сум обмежена.

Властивість 2 (комутативність збіжних рядів). Якщо ряд an

збігається до суми S, то ряд bn, одержаний з нього переставленням

членів, також збігається і має ту саму суму.

Зрозуміло, що необхідної ознаки збіжності ряду не достатньо. Розгляньмо найпоширеніші достатні ознаки збіжності і розбіжнос-

ті рядів з невід’ємними членами.

Із властивості 1 випливає, що для доведення збіжності такого ряду, досить довести лише обмеженість його часткових сум.

Так само можна розглядати ряди з недодатними членами.

2.2. Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Теорема 2.1 (інтегральна ознака Маклорена — Коші). Якщо

члени ряду an з додатними членами можна представити як зна-

чення неперервної, додатної, спадної на проміжку [1; ) функції f(x) так, що

k

f(k) f (x)dx f (k 1);

1. Якщо ряд bn збігається, тоді його часткові суми Tn обмежені зверху.

Оскільки an bn, то часткові суми Sn ряду an також обмежені зверху і він збіга-

ється.

2. Доводиться від супротивного.

Ряд bn називають мажорантою для ряду an .

Зауважимо, що ознака може виконуватись починаючи з номера

N 1.

Теорема 2.3 (гранична ознака порівняння). Нехай задано два ряди an та bn з додатними членами. Якщо існує скінченна, відмінна від нуля,

lim an L {0, },

n bn

то ряди an та bn одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

З означення границі послідовності випливає, що

0 N : n N

виконано нерівність

an L (L )bn an (L )bn. bn

Якщо ряд an збігається, то з лівої нерівності і теореми 2.2 випливає, що ряд

(L )bn збігається, а, отже, і ряд bn збігається.

Отже, liman 0 і ряд an розбігається.

Наслідок. Із розбіжності ряду за радикальною ознакою Коші випливає, що його загальний член не прямує до нуля.

Зауваження. Застосовуючи радикальну ознаку Коші часто використовують границі:

Приклад 2.5. Дослідити на збіжність ряди:

2.6. Порівняння «потужності» різних ознак збіжності

Якість ознаки збіжності визначає її універсальність, практичність (простота використання) і чутливість.

За чутливістю розглянуті ознаки можна розташувати так (за зростанням):

1)ознака д’Аламбера (найгрубша);

2)радикальна ознака Коші;

3)ознаки порівняння;

4)інтегральна ознака Маклорена — Коші (найтонша).

Перед тим як аналізувати збіжність ряду за допомогою якоїсь ознаки треба перевірити чи потрапляє розглядуваний ряд у сферу застосовності ознаки.

Існує багато тонших і складніших ознак за розглянуті:

—ознака Раабе — Дюамеля,

—ознака Ґауса,

—ознака Єрмакова тощо.

Існують збіжні знакопочережні ряди, для яких порушено умову спадання.

Наслідок. Абсолютна похибка від заміни суми збіжного знакопоче-

режного ряду ( 1)n 1an його частковою сумою не перевищує модуля

першого з відкинутих членів ряду, тобто

S Sn Rn an 1.

( 1)n 1

Приклад 3.1. Дослідіть на збіжність ряд .

n 1 n

( 1)n 1

Приклад 3.2. Обчислити наближено суму ряду , обмежив-

n 1 n !

шись чотирма членами, і оцінити похибку.

( 1)n 1

Приклад 3.3. Довести, що ряд збігається і знайти його су- n 1 (4n)3

му з точністю до 0, 001.

3.2. Знакозмінні ряди

Ряд називають знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні. Знакопочережний ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Розгляньмо разом із знакозмінним рядом

an

n 1

ряд, утворений з модулів його членів

an .

n 1

Зауважимо, що існують збіжні ряди, що ряди, утворені з модулів їх членів розбігаються:

Теорема 3.2. Якщо збігається ряд an , то збігатиметься і ряд an.

Для членів ряду

a1 a1 a2 a2 ... an an ... an an ,

n 1

3.4. Властивості абсолютно й умовно збіжних рядів

Властивість 1 (теорема Діріхле). Абсолютно збіжний ряд

an після будь-якого переставлення його членів залишається абсолют-

но збіжним і його сума не міняється.

Властивість 2. Якщо ряди an та bn збігаються абсолютно до сум S та T, то ряд ( an bn ) збігається абсолютно до суми S T.

Властивість 3. Якщо ряд an збігається умовно, то обидва ряди,

утворені лише з додатних і лише з від’ємних членів ряду, розбігаються. Властивість 4 (теорема Рімана). Якщо ряд збігається умовно, то

для будь-якого числа A, можна так переставити члени цього ряду, що перетворений ряд збігатиметься до A.

Зауважимо, що члени умовно збіжного ряду можна переставити так, що одержаний ряд буде розбіжним.

3.5. Числові ряди з комплексними членами

Розгляньмо послідовність комплексних чисел zn xn iyn,n , і ряд з комплексними членами

З нерівностей

xn zn xn yn ; yn zn xn yn

випливає, що ряд zn збігається абсолютно тоді й лише тоді, коли збі-

гаються абсолютно його дійсна та уявна частини.