Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4613 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Конспект_лекций3

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
1.72 Mб
Скачать
☆

 

Лекція 9. Функції комплексної змінної

61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch z

cos iz,

sh z

i sin iz,

 

 

 

 

 

cos z ch iz,

sin z

i sh iz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З цих формул випливає, що:

 

 

 

 

 

 

1) sh z 0

для z k i,k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) ch z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для z

 

k i,k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Обернені тригонометричні та гіперболічні функції. Фун-

кції Arcsin z, Arccos z, Arctg z

та Arcctg z означують як обернені відпові-

дно для функцій sin z, cos z, tg z та ctgz.

 

 

 

 

 

Так, якщо z sin w,

то w називають арксинусом числа і познача-

ють w Arcsin z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З означення функції sin w маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiw e iw

eiw

 

 

 

 

 

 

z sin w

iz

1 z2 .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мінус можна випустити, якщо розуміти корінь як двозначну функцію:

eiw iz 1 z2 ;

iw Ln iz 1 z2 w i Ln iz 1 z2 .

Отже,

Arcsin z i Ln iz 1 z2 .

Так само маємо:

Arccos z i Ln(z z2 1);

Arctg z 2i Ln ii zz , z i;

Arcctg z 2i Ln zz ii , z i.

Усі ці функції нескінченнозначні.

Приклад 9.5. Знайти алгебричну форму Arcsin 4.

62

Розділ 2. Функції комплексної змінної

ЛЕКЦІЯ 10. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

10.1. Диференційовність функції комплексної змінної

1. Диференційовність функції. Нехай однозначна функція w f (z) означена в деякому околі точки z0.

 

 

 

 

 

 

(диференційовності функції). Функцію f (z) на-

 

 

Означення 10.1

 

 

зивають диференційовною в точці z0, якщо існує границя

 

 

 

 

 

lim

 

f(z0 z) f (z0 )

lim

f(z0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

z

 

 

 

z 0

z

 

яку називають похідною функції f (z) у точці z0

і позначають f (z0 ).

 

 

У цій рівності z

 

будь-яким чином прямує

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до нуля, тобто точка z

 

z може наближатись

 

 

 

z0 z

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

до точки z0 за будь-яким з нескінченної кілько-

 

 

Рис. 10.1. Точка

сті напрямів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0 z наближається

 

 

Диференційовність функції w f (z) у точці

 

 

до точки z0

z0 означає, що її приріст можна зобразити у ви-

 

 

 

 

 

 

гляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z

) f(z

0

z) f(z

0

) f

) z o(

z

),

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

де lim

o( z)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 10.1. Показати, що функція w Re z не диференційовна в жодній точці. Розглянути z s, z it.

Функція диференційовна в точці z0 є неперервною в цій точці.

Функцію називають диференційовною в області, якщо вона диференційовна в кожній точці цієї області.

2. Правила диференціювання. З означення похідної і властивостей границь випливає, що для функцій комплексної змінної зберігаються основні правила диференціювання функцій:

1)(f1(z) f2(z)) f1(z) f2(z);

2)(f1(z)f2(z)) f1(z)f2(z) f1(z)f2(z);

Лекція 10. Диференціювання функцій комплексної змінної

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1(z)

 

f1(z)f2

(z) f1(z)f2(z)

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

, f

2

(z) 0;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(z)

 

 

f2(z)

 

 

f2

 

 

 

4) якщо (z) диференційовна в точці z, а f (w) диференціовна в точці w f(z), то (f( (z))) f ( ) z (z).

10.2. Умови Коші — Рімана

Вимога диференційовності функції f (z) u(x, y) iv(x, y) у точці z x iy накладає певні умови на дійсну та уявну частини цієї функції в околі точки (x;y).

Теорема 10.1 (критерій диференційовності). Функція w f(z) u(x,y) iv(x,y)

диференційовна в точці z x iy, тоді й лише тоді, коли функції u(x,y) та v(x,y):

1)диференційовні в точці (x;y);

2)справджують умови

 

u

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

u

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

y

 

 

x

 

які називають умовами Коші — Рімана (Ейлера — д’Аламбера).

Границя

 

f(z z) f (z)

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

f (z),

 

 

z

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

не повинна залежати від шляху прямування z до z z.

Виберімо два можливих шляхи:

 

 

y

z z

1) z z z

уздовж прямої,

паралельної

 

дійсній осі;

уздовж прямої,

паралельної

z i y

2) z z z

z z x z z

уявній осі.

 

 

 

 

 

Для 1-го випадку

 

 

 

O

x

y 0, z

x i y x

0.

 

Рис. 10.2. Шляхи

Тоді

 

 

 

 

 

прямування точки

 

 

 

 

 

 

z z до точки z

64

Розділ 2. Функції комплексної змінної

f (z) lim

u(x x, y) iv(x

x, y) u(x, y) iv(x, y)

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x

 

 

lim

u(x x, y) u(x, y)

i

 

lim

v(x x, y) v(x, y)

 

 

 

x

x 0

 

x

x 0

 

 

 

f (z) u

i

v .

 

 

 

 

x

 

x

 

Для 2-го випадку

x 0, z x i y i y 0.

Тоді

f (z) lim

u(x, y y) iv(x, y y) u(x, y) iv(x, y)

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

i y

 

 

 

lim

u(x, y y) u(x, y)

i

lim

v(x, y y) v(x, y)

 

 

 

 

y 0

i y

 

 

 

 

y 0

i y

 

 

 

f

(z) i

u

 

v .

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

маємо

 

 

 

 

 

Прирівнюючи вирази для f (z),

 

 

 

 

 

 

 

u

i

v i

u

 

v

 

 

 

x

 

x

 

y

 

 

y

 

 

 

 

u

v

, v

u .

 

 

 

 

x

y

x

 

 

y

 

Достатність залишимо без доведення.

Приміром, функція w z x iy не диференційовна в жодній

точці, оскільки

u 1 v 1.x y

2.Формули обчислення похідної диференційовної функції.

Здоведення теореми 10.1 і умов Коші — Рімана випливають формули для похідної диференційовної функції f (z):

f (z)

u

i

v

 

v

i

u

 

u

i

v

 

v

i

v .

 

x

 

x

 

y

 

y

 

x

 

y

 

y

 

x

Теорема 10.2 (про диференційовність елементарних функ-

цій). Функції

w ez ,w zn (n ),

w sin z,w cos z,w tg z,w ctg z, w sh z,w ch z,w th z,w cth z

диференційовні в будь-якій точці комплексної площини, в якій вони означені.

Лекція 10. Диференціювання функцій комплексної змінної

65

10.3. Аналітичність функції

Означення 10.2 (аналітичної функції). Функцію w f (z) нази-

вають аналітичною в точці z, якщо вона диференційовна як у самій точці z, так і в деякому її околі.

Функцію w f (z), диференційовну в кожній точці деякої області

D, називають аналітичною функцією в цій області.

Умова аналітичності функції в точці сильніша за вимогу диференційовності.

Точку z0, у якій функція f (z) аналітична називають правильною точкою функції. Якщо ж функція f (z) аналітична в деякому проколе-

ному околі точки z0 і не аналітична в самій точці z0 або не означена в ній, то z0 називають особливою точкою функції f (z).

Приклад 10.2. З’ясувати, чи є функція w zz аналітичної хоча б в одній точці?

Приклад 10.3. Показати, що функція w ez є аналітичною на всій комплексній площині z і знайти її похідну.

Якщо функції f1(z) та f2(z) аналітичні в області D, то їхні алгебри-

чна сума f1(z) f2(z) і добуток f1(z)f2(z)також аналітичні в цій області,

а частка f1(z) аналітична в області D, за винятком тих точок, у яких f2(z)

знаменник дорівнює нулеві.

10.4. Гармонічні функції. Відновлення аналітичної функції

1.Гармонічні функції. Функцію (x, y) називають гармонічною

вобласті D, якщо вона має в цій області неперервні частинні похідні

до 2-го порядку включно і справджує в цій області Лапласове рівняння

2 2

0 x2 y2 0.

Нехай функція

w f(z) u(x,y) iv(x,y)

66

Розділ 2. Функції комплексної змінної

аналітична в області D, причому функції u(x,y) та v(x,y) мають неперервні частинні похідні до 2-го порядку включно. Оскільки в області D виконано умови Коші — Рімана

u

 

v

;

u

 

v

x

 

y

 

y

 

x

то, диференціюючи першу з цих рівностей за змінною x, а другу — за змінною y, дістаємо

2u

 

2v

;

2u

 

2v

.

x2

x y

y2

 

 

 

 

y x

Звідси, враховуючи рівність vxy vyx матимемо співвідношення

2u 2u 0.x2 y2

Таке саме рівняння можна одержати і для функції v(x,y):

2v 2v 0.x2 y2

Якщо функція f (z) u iv аналітична в деякій області D, то її дійсна частина u(x, y) та уявна частина v(x, y) є гармонічними функціями у відповідній області площини Oxy.

Теорема 10.3 (про відновлення аналітичної функції). Будь-яка

гармонічна в однозв’язній області D функція є дійсною (уявною) частиною деякої аналітичної в цій області функції.

Нехай u(x, y) — гармонічна в однозв’язній області D функція.

Розгляньмо диференціальну форму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

u dx

u dy Pdx Qdy.

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки функція u(x, y) справджує рівняння Лапласа, то

Q

 

P

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

u

 

u

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

x

x

 

y

 

y

 

 

 

 

 

А форма W є повним диференціалом деякої функції v(x, y), тобто dv(x, y) xv dx vy dy uy dx ux dy.

Отже, функції u та v справджують умови Коші — Рімана. Оскільки функцію v(x, y) можна відновити за її повним диферен-

ціалом з точністю до довільної дійсної сталої C, то функція

Лекція 10. Диференціювання функцій комплексної змінної

67

f (z) u iv визначається з точністю до довільної суто уявної сталої

iC.

За заданою функцією u(x, y) (v(x, y)) функцію v(x, y) (u(x, y)) можна знайти за формулами:

 

 

M(x;y)

x

y

 

 

v(x, y)

 

 

uydx uxdy C uy(t, y0 )dt ux (x, t)dt C;

 

 

 

M0 (x0 ;y0 )

x0

y0

 

 

 

M (x;y)

x

y

 

 

u(x, y)

 

vydx vxdy C vy(t, y0 )dt vx (x, t)dt C.

 

 

 

M0 (x0 ;y0 )

x0

y0

 

 

 

Відновити аналітичну функцію w f (z) за її дійс-

Приклад 10.4.

 

ною частиною u(x, y) ex cos y за умови, що f (0)

1.

68

Розділ 2. Функції комплексної змінної

ЛЕКЦІЯ 11. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

11.1. Інтеграл від функції комплексної змінної

1. Означення інтеграла. Розгляньмо на комплексній площині z

кусково-гладку орієнтовану криву L і припустімо,

що на цій кривій

означено функцію f (z) комплексної змінної z.

 

 

 

Розбиваємо криву L на n ланок точками

y

L

 

поділу

 

zn

b

z0 a, z1, ..., zn 1, zn b,

 

zk

 

де a та b — кінці кривої L.

 

 

 

k

 

Покладаючи

 

 

 

zk 1

 

zk zk zk 1,

 

 

 

утворімо суму

z0

a

x

n

O

 

 

f( k ) zk

Рис. 11.1. Запровадження

k 1

інтеграла від функції

(тут k — довільна точка k -ї часткової дуги

комплексної змінної

[zk 1; zk ]), яку називають комплексною інтег-

ральною сумою вздовж кривої L.

Означення 11.1 (інтеграла від функції комплексної змінної).

Якщо при max

 

zk

 

0 існує границя інтегральної суми, що не за-

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

лежить ані від способу розбиття кривої на ланки, ані від вибору точокk на них, то цю границю називають інтегралом від функції f (z) уз-

довж кривої L :

 

 

 

 

n

 

 

 

lim

 

f( k ) zk

f (z)dz.

 

 

max

 

zk

 

0 k 1

L

(n )

2. Зв’язок інтеграла від функції комплексної змінної з криволінійними інтегралами.

Покладімо

f (z) u(x, y) iv(x, y),

zk xk iyk , xk xk xk 1, yk yk yk 1,

k k i k , uk u( k , k ), vk v( k , k ).

Тоді інтегральну суму можна записати у вигляді

Лекція 11. Інтегрування функцій комплексної змінної

69

n

n

n

 

f( k ) zk (uk xk vk yk ) i (vk xk uk yk ).

 

k 1

k 1

k 1

 

Із цього співвідношення видно, що дійсна та уявна частина суми є

інтегральними сумами криволінійних інтегралів 2-го роду

 

 

udx vdy

та vdx udy.

 

 

L

L

 

Отже, питання про існування інтеграла зводиться до питання іс-

нування двох криволінійних інтегралів від функцій дійсної змінної:

 

f (z)dz udx vdy i vdx udy.

 

L

L

L

 

Для існування цих інтегралів досить кускової неперервності функцій u та v дійсних змінних x та y.

Якщо L — кусково-гладка крива, а f (z) — кусково-неперервна та обмежена на L функція, то інтеграл завжди існує і правдива формула

f (z)dz (u(x, y) iv(x, y))(dx idy).

LL

3.Властивості інтеграла від функції комплексної змінної.

З поданої формули випливає, що для інтегралів від функції ком-

плексної змінної зберігаються основні властивості криволінійних інтегралів 2-го роду.

1. c1 f1(z)dz c2 f2(z)dz [c1f1(z) c2f2(z)]dz (лінійність).

L L L

2. f (z)dz f (z)dz, де криві L1 та L2 мають протилежну орієн-

L L

тацію (орієнтованість).

3.

f (z)dz f (z)dz

 

f (z)dz

 

(адитивність).

L1

L2

 

L1 L2

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Нехай M max

 

f(z)

 

та l — довжина кривої L. Тоді

 

 

 

 

z L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z)dz

 

 

 

f (z)

 

 

 

dz

 

M

 

dz

 

Ml.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

L

70

Розділ 2. Функції комплексної змінної

11.2. Зв’язок інтеграла від функції комплексної змінної з визначеним інтегралом

Нехай

zz(t) x(t) iy(t), t1 t t2,

—параметричне задання гладкої кривої L. Тоді правдива формула

t2

f (z)dz f (z(t))z (t)dt.

Lt1

Якщо z(t) неперервно диференційовна функція змінної t, то

f(z)dz (u(x, y) iv(x, y))(dx idy)

L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

(u(x(t), y(t)) iv(x(t), y(t)))(xtdt iytdt)

f (z(t))z (t)dt.

t1

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

n 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Приклад 11.1.

Показати, що

 

 

 

(z z

 

 

 

 

 

)

dz

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2 i,

n 1.

 

 

r :

z z0

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.3. Теорема Коші

1. Теорема Коші для однозв’язної області.

 

 

 

(Коші для однозв’язної області). Якщо функція

 

 

Теорема 11.1

 

 

f (z) аналітична

в однозв’язній області D, то інтеграл від цієї функції

 

за будь-яким замкненим кусково-гладким контуром L, який лежить в

 

області D, дорівнює нулеві, тобто

 

 

 

 

 

 

f (z)dz 0.

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

Доведімо теорему, припускаючи неперервність похідної

f (z).

 

 

Маємо

 

 

 

 

 

f (z)dz udx vdy i vdx udy.

 

 

 

 

L

L

L

 

 

 

Завдяки аналітичності

f (z) u iv

і неперервності f (z)

в од-

нозв’язній області D, функції u(x, y) та v(x, y) неперервні й диференційовні в цій області і справджують умови Коші — Рімана:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности