Конспект_лекций3

15.3. Косинус- і синус-перетворення Фур’є

1. Інтеграл Фур’є для парної функції. Нехай f (x) — парна фу-

нкція, яка справджує умови теореми Фур’є. Тоді в сенсі головного значення

A( ) 2 f (t) cos( t)dt, B( ) 0,

0

оскільки f (t) cos( t) — парна, а f (t) sin( t) — непарна за змінною t функція.

Отже, інтеграл Фур’є набуває вигляду

f (x) 2 A( )cos( x)d ,

0

A( ) 2 f (t)cos( t)dt.

0

Ці формули можна переписати у симетричному вигляді:

де функцію Fc( ) називають косинус-перетвором Фур’є функції f(x).

Подана пара формул задає пряме й обернене косинусперетворення Фур’є:

c {f (x)}( ) Fc( ),c 1{Fc( )}(x) f (x).

Функції f (x) та Fc( ) є косинус-перетворами одна одної.

2. Інтеграл Фур’є для непарної функції. Так само для непар-

ної функції f (x) можна запровадити синус-перетворення Фур’є:

2

f (x) Fs ( )sin( x)d ,

0

2

Fs ( ) f (t)sin( t)dt,

0

ЛЕКЦІЯ 16. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

16.1. Оригінали та їх зображення

1.Ідея операційного числення. Операційне числення є одним з ефективних методів математичного аналізу, що дозволяє зводити дослідження диференціальних і деяких типів інтегральних операторів і рівнянь, які містять ці оператори, до розгляду простіших алгебричних задач.

Методи операційного числення реалізують таку схему розв’язання задачі:

1) від шуканих функцій переходять до деяких інших функцій — їх зображень;

2) над зображеннями проводять дії, які відповідають заданим діям над шуканими функціями;

3) одержавши деякий результат після дій над зображеннями, вертаються до шуканих функцій — оригіналів.

2.Інтегральне перетворення функції. Нехай функцію f (x) за-

дано в інтервалі (a;b), скінченному або нескінченному. Інтегральним

перетвором (зображенням) функції f (x) називають функцію

b

F( ) K(x, )f (x)dx,

a

де K(x, ) — фіксована для заданого перетворення функція, яку нази-

вають ядром перетворення (припускають, що інтеграл існує у властивому чи невластивому сенсі). Перехід від функції до її інтегрального перетвору називають інтегральним перетворенням (прямим).

У лекції 15 уже було розглянуто інтегральне перетворення Фур’є:

F( ) f (t)e i tdt,

з ядром

K(t, ) e i t .

Умова абсолютної інтегровності функції f (x) на всій осі є вельми

жорсткою. Вона виключає, приміром такі елементарні функції, як ста-

лі, степеневі, тригонометричні та експоненту, для яких перетвір Фур’є (в розглядуваному класичному розумінні) не існує.

Перетвір Фур’є мають лише ті функції, які досить швидко прямують до нуля, коли x .

Розгляд перетворення Лапласа з ядром

K(t, p) e pt, p ,

дозволяє послабити це обмеження.

3. Функції-оригінали.

Означення 16.1 (оригінала). Оригіналом називають будь-яку комплекснозначну функцію f (t), t ( ; ), яка справджує умови:

виконана для деякого s s1, то вона буде виконана і для будь-якого

Рис. 16.1. Графік функції Гевісайда

(t) sin t.

4. Інтегральне перетворення Лапласа.

Означення 16.2 (зображення). Зображенням за Лапласом (пере-

твором Лапласа) функції-оригінала f (t) називають функцію

F(p) f(t)e ptdt

0

Теорема 16.2 (необхідна ознака існування зображення). Якщо точка p прямує до нескінченності так, щоб Re p s необмежено зростає, то

lim F(p) 0.

s

З теореми 16.2 випливає, що функції F(p) 5 чи F(p) p2 не мо-

жуть бути зображеннями.

Теорема 16.3 (єдиності). Якщо дві неперервні функції f(t) та (t)

мають те саме зображення F(p), то вони тотожно рівні.

Знайдімо зображення функцій-оригіналів f (t) 1 та f (t) eat

(розуміючи одиничну функцію Гевісайда (t) та eat (t)).