3.5.2. Задача 2

У цій задачі показані деякі особливі випадки, які зустрічаються при аналізі моделі на чутливість.

Розв’язати ЗЛП графічно. Визначити цінність ресурсу 2 і знайти границі допустимої зміни коефіцієнтів ЦФ, що не впливають на отриманий оптимальний розв’язок.

Максимізувати	,
при обмеженнях	–;	(ресурс 1)	(6)
	;	(ресурс 2)	(7)
	;		(8)
	.		(9)

Розв’язання

Рис. 16

1. Множина допустимих розв’язків даної задачі – чотирикутник ОABC. Оптимальному розв’язку відповідає точка В з координатами x₁= 1, x₂ = 2, z(B) = 3.

2. Визначення цінності ресурсу 2. Ресурс 2 є дефіцитним. У цьому разі для поліпшення значення ЦФ рівень запасу цього ресурсу повинен бути збільшений. При збільшенні правої частини b₂ обмеження (7) гранична пряма відповідної півплощини

(10)

рухається вправо вгору. І при цьому немає такого значення b₂, при якому обмеження (7) стало б надлишковим. Таким чином, максимально допустимий запас ресурсу 2 дорівнює ∞. Для визначення цінності цього ресурсу необхідно задати деяке значення b₂, знайти новий оптимум і значення цільової функції в ньому та на основі отриманих даних визначити цінність ресурсу.

Нехай b₂ = 7. Новий оптимум знайдемо із системи рівнянь

На графіку рис. 16 – це точка В’, значення цільової функції в ній z(B’)=5. Тоді

Таким чином, цінність ресурсу 2 складає 2/3.

3. Визначення границь допустимої зміни коефіцієнтів ЦФ

Рис. 17

Зафіксуємо значення коефіцієнта c₂ (c₂=1) і визначимо інтервал змін c₁, при якому точка В залишиться оптимумом. Відзначимо, що кінці всіх векторів-нормалей з фіксованою другою координатою c₂ = 1 лежать на прямій, що показана на рис. 17 пунктирною лінією. При фіксованому значенні коефіцієнта c₂:

• коефіцієнт c₁ може збільшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються за годинниковою стрілкою) доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (7);

• коефіцієнт c₁ може зменшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються проти годинникової стрілки) доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (6) (c₁ в цьому випадку набуває від’ємного значення).

Визначимо максимальне значення c₁ (пряма ЦФ паралельна прямій (7)):

,

мінімальне значення c₁ (пряма ЦФ паралельна прямій (6)):

.

Зафіксуємо значення коефіцієнта c₁ (c₁=1) і визначимо інтервал зміни c₂, при якому точка В залишатиметься оптимумом. Відзначимо, що кінці всіх векторів-нормалей з фіксованою першою координатою c₁=1 лежать на прямій, що позначена на рис.18 пунктирною лінією. При фіксованому значенні коефіцієнта c₁:

• коефіцієнт c₂ може зменшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються за годинниковою стрілкою) доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (7);

• коефіцієнт c₂ може збільшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються проти годинникової стрілки) доти, поки пряма z не стане практично горизонтальною (а нормаль практично перпендикулярною осі Ох).

Це положення нормалі є граничним у тому розумінні, що при подальшому повороті проти годинникової стрілки нормаль перейде в другий квадрант, тобто її перша координата буде від’ємною, що протирічить прийнятому c₁ =1 > 0.

Рис. 18

Визначимо мінімальне значення c₂ (пряма ЦФ паралельна прямій (7)):

,

максимальне значення c₂ (пряма ЦФ паралельна прямій x₂ = const):

.

Перевірка

Вихідне значення коефіцієнта c₁ дорівнює 1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: c₁ = 1  ]–1; 2[. Вихідне значення коефіцієнта c₂ дорівнює 1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: c₂ = 1  ]1/2; [.