- •Лекція №1 Тема. Вступ. Наука про опір матеріалів. Об'єкти вивчення.
- •Основні гіпотези науки про опір матеріалів
- •Зовнішні і внутрішні сили. Метод перерізів.
- •Лекція №
- •2. Трикутники.
- •3. Коло, його частини.
- •1.Радіуси інерції
- •Лекція №
- •Умова міцності при розтягу - стиску
- •Лекція № діаграма розтягу
- •Лекція № зсув
- •Лекція № Тема: „Кручення"
- •Умова міцності при крученні
- •Умова жорсткості при крученні
- •Лекція № Кручення стержнів не круглого перерізу
- •Лекція № Напружений і деформований стан
- •Лінійний напружений стан
- •Лекція № Плоский напружений стан
- •Лекція № Деформації при об’ємному напруженому стані. Узагальнений закон Гука
- •II. Критерій найбільших лінійних деформацій
- •III. Теорія найбільших дотичних напружень (третя теорія міцності)
- •IV. Критерій питомої потенціальної енергії деформації формозміни
Лекція № Плоский напружений стан
Плоский напружений стан виникає у випадку, коли два головних напруження не дорівнюють нулю, а третє дорівнює нулю.
Нехай ,,
Проведемо перерізи І-І, ІІ-ІІ, ІІІ-ІІІ, ІV-IV
Виділимо площадку α – переріз І-І, та β – переріз ІІ-ІІ. Переріз І-І провели під кутом β нормаль . Площадки (α) і (β) перпендикулярні.
Напруження іна площадці α будуть визиватись як дією, так і дією. Тоді застосовуючи принцип суперпозиції, тобто розглядаючи цей плоский напружений стан як накладання двох ортогональних одновісних напружених станів, можемо записати:
=
Де і- напруження, що спричинені дією;
а і- напруження, що спричиняються дією.
З формул для лінійного напруженого стану:
;
Для визначенняівраховуємо, щоутворює з напруженнямкут. Тоді
знак так як відлік ведеться за годинниковою стрілкою. Тоді
;
Використавши додавання остаточно знайдемо :
На площадці ІІ-ІІ проведемо нормаль . НормальУтворює з напрямомкут.
Тоді:
З цих рівнянь маємо, що:
─сума нормальних напружень по двох взаємно перпендикулярних площадках не залежить від кута нахилу цих площадок і дорівнює сумі головних напружень.
─ця рівність виражає закон парності дотичних напружень.
Максимальне дотичне напруження: ,.
В теорії плоско напруженого стану можна розмежувати дві основні задачі: пряма і зворотна.
Пряма задача. В точці відомі положення головних площадок, і відповідні до них головні напруження. Треба знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площадках, які нахилені під заданим кутом до головних;
Зворотна задача. В точці відомі нормалі й дотичні напруження, що діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що походять через дану точку. Треба знайти головні площадки та головні напруження.
Формули для обчислень:
Лекція № Деформації при об’ємному напруженому стані. Узагальнений закон Гука
Досліджуючи деформації й розглядаючи питання міцності при об’ємному та плоскому напружених станах, будемо відповідно до основних гіпотез та припущень вважати, що матеріал відповідає закону Гука, а деформації малі.
Відносна поздовжня деформація: (1)
а відносна поперечна деформація: (2)
Розглянемо деформацію елемента тіла
c+Δc b+Δb
с
b
a
a+Δa
Внаслідок деформації ребра елемента змінюють свою довжину й дорівнюють:
a+Δa; b+Δb; c+Δc.
Величини:
Називаються головними подовженнями і являють собою відносні подовження в головних напрямах.
Застосовуючи принцип суперпозиції, можна записати: , де
- відносне подовження в напружені , спричинене тільки напри.
- відносне подовження в тому самому напрямі, спричинене дією тільки
- подовження спричинене дією
Оскільки напрям самого напруженняє поздовжнім, а для напруженьта– поперечним, то застосовуючи формули (1), (2) знаходимо, що
; ;
Склавши ці величини, матимемо
Аналогічно
Це узагальнений закон Гука для ізотропного тіла
Для плоского напруженого стану
;
Критерій найбільш нормальних напружень з трьох головних напружень враховує тільки одне – найбільше, вважаючи, що два інших не впливають ні міцність
Недоліки: Ця теорія дає задовільні результати тільки для дуже крихких матеріалів (камінь, цегла, кераміка, інструментальна сталь). Ця теорія не відображує перехід до пластичного стану.
Об’ємна деформація:
Нехай до деформації елемент займав об’єм . У деформованому стані його об’єм
;
Враховуючи узагальнений закон Гука
;
Можна ввести величину - модуль об’ємної деформації.
Потенціальна енергія деформації:
Потенціальною енергією деформації називається енергія, що накопичується в тілі при його пружному деформуванні. Для стержня питома потенціальна енергія, тобто енергія, яка припадає на одиницю об’єму.
;
враховуючи, що , матимемо
Для об’ємного напруженого стану
;
При деформуванні елемента взагалі змінюється як його об’єм, так і форма(він з кубика перетворюється на паралелепіпед).
;
- питома потенціальна енергія зміни об’єму
- питома потенціальна енергія формозміни, та енергія яка накопичується внаслідок зміни форми елемента.
;
Критерії міцності (теорії міцності):
І. Критерій найбільших нормальних напружень.
Припускається, що руйнування матеріалу в загальному випадку напруженого стану виникає тоді, коли найбільше нормальне напруження досягає небезпечного значення . Останнє визначають при простому розтяганні або стисканні зразків з даного матеріалу
;
; , де;