4. Словарь терминов (глоссарий)

Матрицей размера , где- число строк,- число столбцов, называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится.Элементы матрицы обозначаются, где- номер строки, а-номер столбца

Если число столбцов матрицы равно числу строк , то матрица называетсяквадратной. Если , то матрица называетсясимметрической.

Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Квадратная матрица вида называется единичной матрицей. Единичная матрица обозначается символом

Матрица, все элементы которой равны , называетсянулевой матрицей. Нулевая матрица обозначается символом

Суммой (разностью) матриц иназывается матрица,элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц

.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число

Произведением матрицы на матрицуназывается матрица, элементы которой могут быть вычислены по формуле

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц равенствовыполняется, то такие матрицы называютсяперестановочными.

Матрицу называюттранспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В другими словами, если . Матрица, транспонированная матрицеобозначается символом

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы называется число,которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле , где – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и– го столбца. Определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула

,

Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число называетсядополнительным минором элемента матрицы . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено строк и столбцов, то полученный минор называетсяминором порядка s.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы называется дополнительным минором.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию где- единичная матрица того же порядка, то матрицаназываетсяобратной по отношению к матрице А и обозначается

Базисным минором матрицы порядка называется минор порядка, если он не равен нулю, а все миноры порядкаи выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. числосовпадает с меньшим из чиселили.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Системой m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется система

Решением системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется совокупностьn значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Если правая часть системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных равна нулю, то система называетсяоднородной.

Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называетсяфундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисели:, где(числоназывается мнимой единицей).

Комплексные числа называются сопряженными друг другу.

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами. Для любых элементов ,,из множества выполняются законы

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента,(существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент, такой, что(существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов,из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент.

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов ии любоговыполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя .

Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой векторявляетсялинейной комбинацией векторов .

Если выполняется только при, то векторыназываютсялинейно независимыми.

Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Если вектор переводится в векторлинейным преобразованием с матрицейА, а вектор в векторлинейным преобразованием с матрицейВ, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор(оно называетсяпроизведением составляющих преобразований).

Пусть – заданное n- мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называетсясобственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство: . При этом число называетсясобственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…,имеет матрицу,то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения: .

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называетсяквадратичной формой переменных и .

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и.

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: ,,,. Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Длина отрезка называетсядлиной или модулем вектора и обозначается или.

Два ненулевых вектора иназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: .

Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ().

Два вектора иназываютсяравными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ,=.

Отложить вектор от точкиМ -значит построить вектор , равный вектору.

Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точкиА (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору, от концавектораоткладываем второй вектор, равный векторуи т.д.: суммойявляется вектор,соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора. Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Произведением действительного ненулевого числа  на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемыйили, удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е. =,=.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: или, т.е.гдеЕслиили, то, по определению,

Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к векторуна наименьший угол виден с конца вектораосуществляющимся против (по) часовой стрелки. Говорят также, что тройка базисных векторовимеет правую (левую) ориентацию.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов иназывается вектор, перпендикулярный плоскости векторови, имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторахии направленный так, что тройка векторовтак же ориентирована, как и тройка базисных векторов. Обозначение:. Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю.

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначение:, т.е.Из этого определения следует, что три вектора компланарны (параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Это уравнение называютобщим уравнением прямой.

Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условиюназываетсянаправляющим вектором прямой .

Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Откуда . Числа называютсяугловыми коэффициентами прямой.

Пусть - произвольное множество действительных чисел: . Говорят, что заданафункция с областью определения D, если каждому числу из множестваD поставлено в соответствие единственное действительное число . Обозначение:. Читается: «естьот. Числоназывается аргументом, число- значением функциипри данном значенииаргумента. Множествовсех значений функцииназываетсяобластью значений этой функции.

Графиком функции называется множество точеккоординатной плоскости, где«пробегает» всю область определения.

Число называетсяпределом функции при, если для любогосуществует такое число, что для всехтаких, чтоверно неравенство.

Если притолько при, то- называетсяпределом функции в точкеслева, а если притолько при, тоназываетсяпределом функции в точкесправа.

Число называетсяпределом функции при, если для любого числасуществует такое число, что для всех, таких чтовыполняется неравенство. При этом предполагается, что функцияопределена в окрестности бесконечности. Обозначение:

Функция называетсяограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число, чтодля всех точекиз этой окрестности.

Предел функции при, где- число,равен бесконечности, если для любого числа существует такое число, что неравенствовыполняется для всех, удовлетворяющих условию. Обозначение: . Если в приведенном определении заменить условие на, то получим а если заменить на , то

Функция называется бесконечно большой при , где– число или одна из величин, + , -, если , гдеА–число или одна из величин , +, -.

Если , то функцияназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , тоиназываютсябесконечно малыми одного порядка малости.

Если то функциииназываютсяэквивалентными бесконечно малыми. Обозначение: .

Бесконечно малая функция называетсябесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел существует, конечен и отличен от нуля.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки, называетсянепрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны . Тот же факт можно записать иначе: .

Если функция определена в некоторой окрестности точки, но не является непрерывной в самой точке, то она называетсяразрывной функцией в этой, а сама точка называется точкой разрыва этой функции.

Функция называетсянепрерывной в точке , если для любого положительного числасуществует такое число, что для любых, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Функция называетсянепрерывной в точке , если приращение функции в точкеявляется величиной бесконечно малой в этой точкегде– функция бесконечно малая при. Если функция непрерывна в каждой точке множества, то говорят, что онанепрерывна на множестве .

Точка называетсяточкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция имеет конечные, равные друг другу левый и правый пределы, не равные значению функции в точке:. При этом в самой точкефункцияможет быть и не определена. Если доопрпеделить значение функциив точкеположив его равным, то функциябудет непрерывной в точке

Точка называетсяточкой разрыва 1- го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы

.

Точка называетсяточкой разрыва 2 – го рода функции , если один из односторонних пределов функции в этой точке либо не существует либо равен бесконечности.

Функция называетсянепрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в каждой точке интервала (отрезка).

Функция называетсяравномерно непрерывной на отрезке , если для любогосуществуеттакое, что для любых точекитаких, чтовыполняется неравенство.

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие по некоторому законуопределённое число, то говорят, что на множестве всех натуральных чиселзаданапоследовательностьОбщий член последовательности является функцией от . Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента.

Последовательность называетсяограниченной, если существует такое число , что для любогосправедливо неравенство , т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .

Последовательность называетсяограниченной сверху, если для любого существует такое число, что.

Последовательность называетсяограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что.

Число называетсяпределом последовательности , если для любого положительногосуществует такой номер, что для всехвыполняется неравенство Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательностьсходится к при.

1) Если для всех, то последовательность называетсявозрастающей.

2) Если для всех, то последовательность называетсянеубывающей.

3) Если для всех, то последовательность называетсяубывающей.

4) Если для всех, то последовательность называетсяневозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Производной функции в точкеназывается предел, если он существует, отношения приращения функции в точкек приращению аргументав этой точке, когда последнее стремится к нулю, где- приращение аргумента в точке, а- соответствующее этому приращению приращение функциив этой точке.

Правой (левой) производной функции в точкеназывается правый (левый) предел,при условии, что этот предел существует. Если функция имеет производную в некоторой точке , то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно.

Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается или. Из определения следует, чтоили, так как. Следовательно, .

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале. Дифференцируя, находим её первую производную . Если найти производную функции , получимвторую производную функции если последняя существует , т.е.или.Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени.

Функция имеет в точкемаксимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функцияимеет в точкеминимум, если при любом(может быть и отрицательным).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если все ее точки лежат не выше (не ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Точка, при переходе через которую направление вогнутости кривой меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.

Дифференцируемая на некотором промежутке функцияназываетсяпервообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числавыполняется равенство.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция. Обозначим черезm и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . Разобьем отрезокна части (не обязательно одинаковые)n точками . Введём обозначения …На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции:

, , … .

Составим суммы:

=

=.

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой, соответствующей данному разбиению отрезка.

Если существует конечный предел последовательности интегральных суммпри, не зависящий ни от разбиения отрезкана части ни от выбора в этих частях промежуточных точек, то этот предел называетсяопределённым интегралом от функции по отрезку , а функцияназываетсяинтегрируемой по Риману на отрезке . По определению

Обозначение:

Число называетсянижним пределом интегрирования, а число верхним пределом интегрирования; называетсяпеременной интегрирования; –отрезок интегрирования.

Пусть функция определена и непрерывна на интервале. Тогда она непрерывна и, следовательно, интегрируема на любом конечном отрезке. Пределназываетсянесобственным интегралом от функции на интервале . Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

,

при условии, если входящие в них интегралы существуют.

Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точкеставится в соответствие единственное действительное число. В этом случае говорят, чтозадана функция с областью определения и областью значений. При этоминазываютнезависимыми переменными (аргументами), а –зависимой переменной (функцией). Функцию иногда записывают в виде.

Открытый круг радиуса с центром в точкеназывается -окрестностью точки .

Точка называетсявнутренней точкой множества , если существует-окрестностьточки, целиком принадлежащая множеству(т.е.).

Точка называетсяграничной точкой множества , если в любой ее-окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Множество называетсяоткрытым, если все его точки – внутренние.

Множество называетсязамкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется егограницей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множествоявляется замкнутым и называетсязамыканием множества .

Точка называетсяпредельной точкой множества , если в любой-окрестности точкисодержатся точки множества, отличные от.

Говорят, что последовательность точек сходится при к точке, еслистремится к 0 пристремящемся к. В этом случае точкуназываютпределом указанной последовательности и пишут: при.

Пусть и– предельная точка множества. Числоназываютпределом функции при, если длятакое, что, как только. В этом случае пишут

или при.

Число называютпределом функции прии, если длятакое, что из неравенствиследует неравенство. Этот факт коротко записывают так.

Пусть дана функция с областью определенияи пусть – предельная точка множества . Говорят, что функциянепрерывна в точке , если

1. ;

2. , т.е. .

Обозначим ,и. Говорят, что функциянепрерывна в точке , если выполняется равенство .

Функция , определённая на некотором множестве называется непрерывной на множестве если она непрерывной в каждой точке множества.

Множество называетсяобластью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) являетсялинейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющаяии целиком лежащая в. Если– область, то множествоназываютзамкнутой областью.

Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области), еслинепрерывна в каждой точке этой области.

Зафиксируем переменную , а переменнойпридадим произвольное приращение. Функцияполучит приращение, которое называетсячастным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента. Заметим, чтоявляется функцией одной переменной. Аналогично,. Функцияназываетсянепрерывной в точке по переменной(по переменной ), если. В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногданепрерывностью по совокупности переменных.

Пусть в некоторой области задана функция. Возьмем произвольную точкуиз этой области и дадим переменнойх приращение . Величинаназываетсячастным приращением функции по х. Рассмотрим отношение . Если существует конечный предел, то он называетсячастной производной функции пох. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у:.

Выражение называетсяполным приращением функции в точке.

Выражение называетсяполным приращением функции в точке , гдеи– бесконечно малые функции приисоответственно.

Полным дифференциалом функции называется главная, линейная относительноичасть приращения функциив точке. Для функции произвольного числа переменных имеем:

.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. Если поверхность задана уравнением, где– функция, дифференцируемая в точке, то касательная плоскость в точкесуществует и определяется уравнением: .

Частные производные по различным аргументам вида и т.д. называются смешанными производными.

Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала:

.

Аналогично определяются дифференциал третьего порядка от функции :

Пусть функция определена в некоторой области, и- произвольная точка этой области. Если для всех точекиз некоторой окрестности точкивыполняется неравенство:то точканазываетсяточкой локального максимума (локального минимума) функции в области.

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума этой функции. Рассмотрим функцию в точкахи. Построим вектор . Углы наклона этого вектора к положительным направлениям координатных осей обозначим соответственно. Косинусы этих углов называютсянаправляющими косинусами вектора .

Предел называетсяпроизводной функции по направлению вектора в точке с координатами .

Если в некоторой области D задана функция и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функциив соответствующей точке, то этот вектор называетсяградиентом функции . Обозначение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестные функции и производные различных порядков от неизвестных функций по независимым переменным.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция одного или нескольких аргументов, которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Решение вида называетсячастным решением дифференциального уравнения.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида , удовлетворяющего начальным

Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения на плоскости.

Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности решения задачи Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки существует не менее двух интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. уравнение вида: . Если это уравнение преобразовать к виду , то полученное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением,разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: или в виде:

Функция называетсяоднородной функцией n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Дифференциальное уравнение вида называетсяоднородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть представлено в виде: При этом, если правая часть уравнения равна нулю, то такое уравнение называетсялинейным однородным дифференциальным уравнением. Если правая часть уравнения не равна нулю, то такое уравнение называетсялинейным неоднородным дифференциальным уравнением. Причём и являются непрерывными функциями на некотором промежутке .

Дифференциальное уравнение первого порядка вида: называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от : .

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

Линия , являющаяся графиком функции, определяющей некоторое решение дифференциального уравнения, называетсяинтегральной кривой уравнения Производнаяназываетсяугловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у и ее производных до- го порядка включительно вида: где – функции от х или постоянные величины, причем .

Если , то уравнениеназываетсялинейным однородным дифференциальным уравнением, если , то уравнениеназывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением, если все коэффициенты – постоянные числа, то уравнение называетсялинейным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами.

Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале называется всякая системаn линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

27