ТР 2.3 Интегралы
.pdfРасчетная работа 2.3 по теме «Интегралы»
Задача 1. Вычислить неопределённый интеграл, пользуясь основными формулами интегрирования:
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|||||||||||||||||||||||||
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2 |
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sin |
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x cos |
x |
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cos |
2 |
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x 1 |
|
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2 |
|
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|
|
1 |
|
|
|
а. |
7 |
|
|
|
|
x |
2 1 |
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а. (2ex 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
а. ( x |
|
|
|
|
|
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|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
x |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ctg2xdx |
|
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x |
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x |
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|||||||||||||||||||||
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б. |
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б. |
tg2xdx |
|
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|
б. |
cosx 3 2dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 2. Пользуясь методом подведения под знак дифференциала или заменой переменной в неопределенном интеграле, найти следующие интегралы:
1 |
e 2x 3dx |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
cosxdx |
|
|
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|
|
xdx |
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||
1 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin x |
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
|
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|
|
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
cos5 x sinxdx |
xe x |
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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xdx |
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
x2 1dx |
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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4x |
2 |
1 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
ln x |
dx |
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
16 |
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 cos2x |
xln x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
sin3 x cosxdx |
|
|
ln |
2 |
x |
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
dx |
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 5x) |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3x 2 |
|
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
sinxdx |
|
|
|
|
|
e4x 1dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 1 x2 |
|
|
(1 3x) |
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
20 |
tgxdx |
|
|
|
|
|
xe x2dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
xlnxln(ln x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
xsin( x2 |
1)dx |
21 |
cos(5x 1)dx |
|
|
ln2 x |
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
e 4x 3dx |
|
sinxdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
3 |
(2x 1)2 dx |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
||||||||||||
10 |
|
|
|
xdx |
cos(5x 3)dx |
23 |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
x2ex |
3 |
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx cos4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11 |
x |
|
|
2x2 1dx |
24 |
|
|
|
|
(3x 1)3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
|
|
|
xdx |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x2 |
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex e x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
dx |
x sin(x2 |
|
3)dx |
26 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
sin4 2xcos2xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
(2 x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Пользуясь методом подведения под знак дифференциала или заменой переменной в неопределенном интеграле, найти следующие интегралы:
|
|
|
x |
2 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 4e2x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
5 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 x6 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
21 |
|
9 e2x dx |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
tg3x 2sinx |
dx |
12 |
|
cos |
x 5sin2 |
x |
dx |
22 |
|
coslnx 3x2 2 |
dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
3 sin2 x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 2lnx |
|
|
ln5 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(x 3) 2sin(x 3) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
dx |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
23 |
|
|
dx |
|||||||||
x(3 ln2 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(x 3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin 2x sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
14 |
|
|
|
|
arctg |
2 |
|
|
|
3x |
|
|
|
24 |
|
|
3x 2x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 cos |
2x |
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x arcsin3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
arctgx |
|
|
15 |
|
|
dx |
|
25 |
|
ex(sin3 ex 4)dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
x3 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 3x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(2x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
)dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x3 5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
lnx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
earcsin x |
2x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
x3 |
dx |
|
|
17 |
|
|
|
27 |
|
(lncosx 4)tgxdx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
3 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg(x 1) 2cos(x 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
dx |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(x 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos3x sin6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
5 |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 sin |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xcosx sin x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 5e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 7x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xsin x)2 |
|
|
|
|
|
e2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4. Методом интегрирования по частям найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
а. ln(x 1)dx |
|
б. ex sin2xdx |
|
|
|
|
|
15 |
а. arctgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. e x cos2xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
а. arccos2xdx |
|
б. x2e xdx |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
а. x2e2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. arcsin3xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
а. (2x 1)cos3xdx |
б. e 2x sin(2 x)dx |
17 |
а. xlnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. e 2x cosxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
а. x2 sinxdx |
|
|
|
|
|
|
б. arccosxdx |
|
|
|
|
|
|
18 |
а. x2 cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. ln(2x 1)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
а. xe 2xdx |
|
|
|
|
|
|
б. xarctgxdx |
|
|
|
|
|
|
19 |
а. (x2 |
1)cosxdx |
|
|
|
|
|
б. arcctgxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
а. |
|
(2x |
2 |
1)sin |
x |
dx |
б. |
|
lnx |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
20 |
а. (1 x |
2 |
)e |
x |
dx |
|
|
|
|
|
б. e |
x |
cos2xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7 |
а. (2 x)e 3xdx |
|
б. arctg2xdx |
|
|
|
|
|
|
21 |
а. (x 1)lnxdx |
|
|
|
|
|
б. x2 arccosxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
а. x2 sin 2xdx |
|
б. ln2(x 1)dx |
|
|
|
22 |
а. x2 cos |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. ln(2x 1)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9 |
а. x2e 3xdx |
|
|
|
|
|
|
б. x2arctgxdx |
|
|
|
|
|
|
23 |
а. (x2 |
1)sin3xdx |
|
|
|
|
|
б. x2arcctgxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
а. x2 sin2xdx |
|
б. arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
а. x2 cos2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. e 2x sin3xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
а. x2 lnxdx |
|
|
|
|
|
|
б. e 2x cos3xdx |
|
|
|
25 |
а. xln(2x 1)dx |
|
|
|
|
|
б. ex sin3xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
а. (x2 |
1)cosxdx |
б. ex cos3xdx |
|
|
|
|
|
|
26 |
а. (x 2)lnxdx |
|
|
|
|
|
б. xarcctgxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13 |
а. (x2 |
3x)e 2xdx |
б. x2 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
а. (3x 2)e2xdx |
|
|
|
|
|
б. ln(x2)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
14 |
а. xtg2xdx |
|
|
|
|
|
|
б. xln(3x 1)dx |
|
|
|
28 |
а. arctg |
|
|
5x 1 |
dx |
|
|
|
|
|
б. (x 4)2 xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5. Проинтегрировать рациональные функции:
|
а. |
|
|
3x 2 |
|
dx |
|
|
|
а. |
|
|
3x 4 |
dx |
|
|
|
|
|
а. |
|
|
4t 2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t2 12t 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6x 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
б. |
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
10 |
б. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
б. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(x 2) |
2 |
|
|
|
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(x |
1) |
2 |
(x 1) |
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(x |
2) |
2 |
(x 1) |
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(x 5) |
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2x3 40x 8 |
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2x4 4x3 16x 12 |
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3x4 13x2 13x 1 |
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в. |
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dx |
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в. |
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dx |
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в. |
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dx |
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2 |
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x(x |
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(x |
2 |
4x 5)(x 1) |
2 |
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(x 2) |
2 |
(x |
2 |
|
x 1) |
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2x 8) |
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а. |
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3u 1 |
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du |
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а. |
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3x 1 |
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dx |
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|
а. |
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xdx |
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9u |
2 |
6u 5 |
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x |
2 |
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x |
2 |
3x 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5x 6 |
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2 |
б. |
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dx |
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11 |
б. |
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dx |
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20 |
б. |
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xdx |
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||||||||||||||
|
x |
2 |
(x 1) |
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(x |
3)x |
2 |
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(x |
2)(x 1) |
2 |
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в. |
|
x4 6x2 13x 6 |
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|
в. |
2x4 11x2 16x 10 |
|
в. |
x5 4x2 4x 2 |
|
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|
|
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dx |
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dx |
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dx |
|||||||||||||
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|
(x |
|
2 |
2)(x 2) |
2 |
|
(x |
2) |
2 |
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
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(x |
1) |
2 |
(x |
2 |
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2x 3) |
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x 1) |
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|
а. |
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4 3x |
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|
dx |
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|
а. |
|
5x 7 |
dx |
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|
а. |
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
2x 3 |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
x |
2 |
|
|
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|
|
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|
9x |
6x 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x 3 |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
б. |
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|
|
|
dx |
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|
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12 |
б. |
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|
dx |
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21 |
б. |
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|
xdx |
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|||||||||||||
|
(x 2)(x 1) |
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(x |
1) |
2 |
(x 3) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(2 x)x2 |
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|
в. |
x3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
|
2x3 x2 5x 1 |
dx |
|
|
|
в. |
2x3 6x2 7x 2 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 2)x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
x3 x |
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|
|
|
|
|
|
x(x2 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
|
|
3x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
а. |
|
|
8 3x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
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|
а. |
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
6x 5 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
4x |
2 |
4x 5 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 8 |
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
б. |
|
|
2x 1 |
|
dx |
|
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13 |
б. |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
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|
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22 |
б. |
|
(3x 8)dx |
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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(x |
2)(1 x) |
2 |
|
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|
(x 1)(x 1) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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(1 x)2 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
|
3x4 20x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
в. |
|
|
x2 x3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 4x 3 x 5 |
dx |
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 5x2 4x |
|
|
|
|
|
(x 1)(x2 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
|
3x 2 |
|
dx |
|
|
|
а. |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
а. |
|
|
2x 1 |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
б. |
|
|
|
|
|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
б. |
|
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|
dx |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
23 |
б. |
|
|
|
dx |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
2 |
(2x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 3x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
2 |
4) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(x2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
|
2x 1 |
|
dx |
|
|
|
а. |
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
а. |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
x |
2 |
|
5x 6 |
|
|
|
15 |
|
4x |
2 |
4x 5 |
|
|
|
|
24 |
|
7 12x 4x |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
б. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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(x 2)(x |
1) |
2 |
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x |
2 |
(x 3) |
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(2x 1) |
2 |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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12x5 1 |
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в. |
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2x4 8x3 9x2 7 |
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(x3 1)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в. |
x 2 x2 2x 3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
x2 x 2 x 3 |
dx |
|
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|
в. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x3 3x2 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
|
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|
|
|
x 3 |
|
dx |
|
|
|
а. |
|
|
|
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|
2x 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
а. |
|
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|
3x 1 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x |
2 4x 8 |
|
|
|
|
|
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x2 12x 11 |
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16x2 8x 3 |
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7 |
б. |
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|
xdx |
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16 |
б. |
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|
dx |
|
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|
25 |
б. |
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xdx |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2x 1)2(x 3) |
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(x |
3)2(x 2) |
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(2x 1)(x 1)2 |
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|
в. |
|
2x4 8x3 45x 61 |
|
|
|
в. |
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2x4 17x3 32x2 7x |
|
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3x2 20x 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 1 x2 5x 6 |
|
dx |
|
|
|
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x2 |
4x 3 x 5 |
dx |
|
|
в. |
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dx |
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(x2 4x 3)(x 5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
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4x 3 |
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|
dx |
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|
а. |
|
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x 4 |
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|
|
dx |
|
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|
а. |
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5x 3 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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9x |
2 |
12x 5 |
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16 6x x2 |
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|
x |
2 4x 11 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(2x 1) |
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x |
2 |
1 |
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|
б. |
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|
3x 6 |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
б. |
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|
|
|
|
dx |
|
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17 |
б. |
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|
dx |
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|
26 |
|
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2)(x |
2 |
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(x 1)2 x |
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(x 1)2(x 1) |
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|
(x |
|
|
9) |
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x5dx |
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x |
4 |
1 |
|
|
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3x3 1 |
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|
в. |
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|
в. |
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|
dx |
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|
|
в. |
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dx |
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2 |
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3 |
1 |
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|
2)(x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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x3 1 |
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(x |
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|
1) |
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|
а. |
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|
2x 1 |
|
dx |
|
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|
а. |
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|
2 3x |
|
|
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|
dx |
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|
а. |
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1 5x |
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|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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|
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x |
2 4x 10 |
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16x |
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8x 3 |
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|
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|
x |
|
|
4x 11 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
б. |
|
|
|
|
|
|
2x2 x 1 |
|
|
dx |
|
|
18 |
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
dx |
|
|
27 |
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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(x 1)2(x 3) |
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(x 1)2(x 3) |
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(x 1)(x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(x2 1)(x2 2)dx |
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(x3 5)dx |
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x3 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в. |
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|
в. |
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|
в. |
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dx |
|||||||||||||||||
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(x 2)2(x2 |
4) |
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x3 4x2 3x |
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(x 4)(x2 |
3x) |
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Задача 6. Проинтегрировать простейшие иррациональности: |
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а. |
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3 2x |
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dx |
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а. |
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2x 1 |
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dx |
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а. |
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5x 2 |
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|
dx |
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4x 3 x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 6x 9x2 |
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9x2 12x 5 |
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3 |
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1 |
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б. |
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2 x |
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dx |
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11 |
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б. |
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x |
2x 1 |
dx |
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21 |
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б. |
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3 2 |
x 1 |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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x 2x 1 |
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1 |
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x 1 |
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в. x2 |
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x2 4dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в. x2 |
16 x2 dx |
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в. |
x2 |
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25 x2dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а. |
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2 3u |
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du |
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|
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3y 1 |
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dy |
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а. |
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2x 7 |
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dx |
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8 6u 9u2 |
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y2 6y 5 |
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16x2 8x 3 |
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dx |
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2x 1 |
x |
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2 |
б. |
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12 |
б. |
1 |
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x 2 |
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dx |
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22 |
б. |
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|
dx |
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3 |
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x 1 |
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|
1 |
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|
1 |
|
|
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|
x 2 |
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|
1 2x 1 |
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в. |
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dx |
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dx |
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в. |
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dx |
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||||
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x5 |
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x2 1 |
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(64 x2)3 |
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(1 x2) |
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xdx |
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6x 5 |
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а. |
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3y 8 |
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|
dy |
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|
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а. |
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а. |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
16x2 8x 3 |
|
|
13 |
|
|
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|
9x2 12x 21 |
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|
23 |
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|
9y2 6y 5 |
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|||
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x 1 1 |
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x3 2 x |
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б. |
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dx |
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|
dx |
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б. |
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2 |
x 1 |
|
dx |
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3 |
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x 1 1 |
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1 |
2 x |
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1 |
|
x 1 |
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x4dx |
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|||||||||||||||
|
в. |
|
1 x |
2 |
dx |
|
в. |
|
|
|
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|
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|
в. |
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(9 x |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
x2 |
|
|
|
(8 x2)3 |
|
|
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|
|
|
) |
|
|
|
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|
а. |
|
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|
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|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а. |
|
|
|
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|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
а. |
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
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|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 4x 4x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 6x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x2 6x 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
x |
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|
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|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
б. |
|
2x 1 |
1 |
dx |
14 |
б. |
|
|
x 2 |
|
|
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dx |
24 |
б. |
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x 1 |
2 |
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3 2x 1 2 |
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2 x 2 1 |
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x 1 2 |
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dx |
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в. |
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x2 1 |
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x |
2 2 |
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(5 x |
2 |
) |
3 |
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в. |
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x4 |
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dx |
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в. |
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x4 |
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dx |
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а. |
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xdx |
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а. |
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3x 1 |
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dx |
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а. |
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2x 3 |
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dx |
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4x2 4x 15 |
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16x2 8x 5 |
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|
16x2 8x 5 |
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5 |
б. |
x |
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|
x 2 |
|
dx |
15 |
б. |
2 |
2x 1 |
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dx |
25 |
б. |
2 |
x 1 |
|
dx |
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3 |
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3 |
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x 2 1 |
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1 2x 1 |
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1 |
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x 1 |
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в. |
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dx |
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в. |
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x3dx |
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в. |
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dx |
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x |
x2 9 |
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(4 x2)3 |
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x |
2 1 |
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|
а. |
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3x 6 |
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dx |
|
а. |
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2x 8 |
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|
dx |
|
а. |
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2 3x |
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dx |
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3 |
x2 4x 5 |
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8 8x 16x2 |
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3 6x 9x2 |
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dx |
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2 |
x 1 |
dx |
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|
1 |
|
x 1 |
|
dx |
|
б. |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
б. |
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16 |
б. |
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|
26 |
|
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4 2 x 2 x |
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|
2 x |
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1 3 x 1 |
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x2dx |
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x2dx |
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в. |
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1 x2 |
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в. |
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в. |
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|
dx |
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16 x2 |
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|
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|
25 x2 |
|
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|
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|
x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
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|
5x 6 |
|
|
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|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
а. |
|
|
|
|
|
|
5x 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а. |
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|
dx |
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|
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5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x2 2x 5 |
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9x2 6x |
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5 |
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|
|
9x2 6x |
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|
|
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|
2x |
3 |
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
б. |
|
x 1 |
|
|
|
dx |
17 |
б. |
|
|
|
x 1 |
|
dx |
27 |
б. |
|
|
3x 5 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
3 |
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|
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x 1 |
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5 |
x 1 |
|
1 |
|
3x 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в. x2 |
|
9 x2 dx |
|
в. x2 |
4 x2 dx |
|
в. x2 |
16 x2 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
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|
|
1 5x |
|
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dx |
|
а. |
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|
3x 3 |
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|
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|
dx |
|
а. |
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y 3 |
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dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 6x x2 |
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x |
2 6x 7 |
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7 12y 4y2 |
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dx |
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dx |
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8 |
б. |
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18 |
б. |
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2x |
1 1 |
dx |
28 |
б. |
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1 2 x 3 |
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1 2x 1 |
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1 2x 4 1 2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в. x2 |
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x2 9dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в. x2 |
16 x2 dx |
|
в. x2 |
|
16 x2 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
|
|
|
|
7x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
а. |
|
|
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|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
а. |
|
|
|
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|
x 3 |
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|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
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7 x2 6x |
19 |
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|
3 x2 2x |
29 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
7 4x2 4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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|
x |
|
|
|
|
|
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|
x |
|
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|
dx |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
б. |
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|
1 x |
dx |
|
б. |
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x 1 |
|
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|
б. |
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4 |
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5 x 5 x |
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|
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1 x |
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x 1 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
в. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
в. |
|
|
x2 1 |
dx |
|
|
|
|
в. |
|
|
x2 9 |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а. |
|
|
2 5t |
|
а. |
|
|
2 5u |
|
|
|
|
|
|
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|
2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
а. |
|
|
|
|
dx |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 t |
2 |
|
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8 6u |
9u |
2 |
|
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|
|
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
7 8x2 4x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
6t |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
б. |
|
|
x 2 |
|
3 |
dx |
20 |
б. |
1 2 |
x 1 |
|
dx |
|
|
30 |
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 1 |
|
|
|
|
|
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|
|
1 3x 4 1 3x |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в. |
|
|
1 x2 |
|
dx |
|
в. |
|
|
|
x2 4 |
|
dx |
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
4 |
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||
Задача 7. |
Проинтегрироватьтригонометрические выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
sin3xcos5xdx |
|
а. |
cos3xcos5xdx |
|
а. |
sin3xsin5xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
б. |
sin4 x cos3 xdx |
11 |
б. |
sin3 x cos3 xdx |
21 |
б. |
cos35xdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5 x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
в. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
sinx |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
а. |
cos4y cos7ydy |
|
а. |
sin4z cos7zdz |
|
а. |
sin4t sin7tdt |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
б. |
cos4 5xdx |
12 |
б. |
sin43xdx |
|
|
|
|
22 |
б. |
cos6 xsin3 xdx |
||||||||||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
cos |
4 |
x |
|
dx |
|
в. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
в. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sin x cosx |
|
|
|
|
cos |
4 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а. |
sin5x cos6xdx |
|
а. |
sin5x sin6xdx |
|
а. |
cos5x cos6xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin53xdx |
|
|
|
sin2 xcos3 xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
б. |
13 |
б. |
sin |
2 |
xcos |
2 |
xdx |
23 |
б. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
tg47xdx |
|
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
cos |
6 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а. |
sin3z cos6zdz |
|
а. |
sin3t sin6tdt |
|
а. |
cos3z cos6zdz |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin3 x cos2 xdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
б. |
14 |
б. |
cos |
3 |
2x sin |
2 |
2xdx |
24 |
б. |
cos |
3 |
2x sin |
3 |
2xdx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
ctg5xdx |
|
|
|
|
|
в. |
ctg4xdx |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а. |
sin4t sin7tdt |
|
а. |
sin4t cos7tdt |
|
а. |
cos4t cos7tdt |
||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
б. |
sin3 x cos3 xdx |
15 |
б. |
sin2 x cos2 xdx |
25 |
б. |
sin4 x cos2 xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
в. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
в. |
|
|
cos |
2 x |
|
dx |
|
|
|
|
|
в. |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||
|
cos2 x |
|
|
sin |
3 x |
|
|
|
|
|
|
1 cos2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
а. |
sint sin6tdt |
16 |
а. |
sinz cos6zdz |
26 |
а. |
cosz cos6zdz |
||||||||||||||||||||||||||||||
б. |
cos3 |
3x sin2 3xdx |
б. |
cos2 3x sin2 3xdx |
б. |
cos4 3x sin2 3xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 3cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а. |
sin2t sin9tdt |
|
|
а. |
|
|
sin2t cos9tdt |
|
|
|
|
|
|
а. |
|
cos2t cos9tdt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б. |
cos3 xsin8 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
cos5 xsin2 xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
17 |
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б. |
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cos |
3 |
xsin |
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xdx |
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cos3 xdx |
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cos3 x |
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в. |
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в. |
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5 sin3 2x cos3 2xdx |
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в. |
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dx |
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3 sin4 x |
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3 sin2 x |
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а. |
sin3t sin7tdt |
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а. |
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cos3t sin7tdt |
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а. |
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cos3t cos7tdt |
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8 |
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б. |
cos4 xsin5 xdx |
18 |
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б. |
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cos5 xsin4 xdx |
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28 |
б. |
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cos5 xsin5 xdx |
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3sin |
3 |
x |
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dx |
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в. |
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dx |
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в. |
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в. |
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cosxsin |
3 |
x |
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1 3sin |
2 |
x |
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cos4 x |
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а. |
cos5t sin2tdt |
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а. |
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sin5t sin2tdt |
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|
а. |
|
cos5t cos2tdt |
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9 |
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б. |
sin5 xcos4 xdx |
19 |
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б. |
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|
sin6 xcos4 xdx |
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29 |
б. |
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sin5 xcos6 xdx |
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5tgx 2 |
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в. |
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5 |
cos3 2x |
sin3 2xdx |
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в. |
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3 |
sin2 x |
cos3 xdx |
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в. |
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dx |
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2sin 2x 5 |
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а. |
cos5t sin7tdt |
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а. |
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cos5t cos7tdt |
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|
а. |
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sin5t sin7tdt |
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3 t |
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3 t |
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б. |
sin |
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cos |
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|
dt |
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б. |
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|
sin3 tcos6 tdt |
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30 |
б. |
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sin6 tcos6 tdt |
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10 |
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2 |
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2 |
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20 |
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cos3 xdx |
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dx |
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cosxdx |
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в. |
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в. |
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в. |
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(1 cosx)3 |
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4cos |
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x 3sin |
2 |
x |
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5 sin3 x |
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Задача 8. Вычислить определённые интегралы : |
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e2 1 |
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1 ln(x 1) |
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0 |
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tg(x 1) |
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dx |
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1 4arctgx x |
dx |
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а. |
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dx |
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а. |
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а. |
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2 |
(x 1) |
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1 x |
2 |
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e 1 |
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x 1 |
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1cos |
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0 |
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1 |
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ln2 |
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1 |
б. xarccosxdx |
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б. xsinxdx |
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б. |
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xe xdx |
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0 |
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0 |
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0 |
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в. |
2arctg2 |
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dx |
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в. |
2 |
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dx |
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в. |
2 |
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sin2 xdx |
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0 |
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0 |
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. |
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|
. |
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. |
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1 cosx sinx 2 |
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1 cosx sinx 2 |
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sinx 1 sinx |
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2 |
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|||
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2 |
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1 cosx |
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2 |
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x sinx |
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dx |
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dx |
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а. |
2 xcosx sin x |
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а. |
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dx |
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а. |
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(x sinx)2 |
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(xsin x)2 |
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x |
2 |
2cosx |
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2x |
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4 |
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2 |
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|
x |
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|||||||||||||||
2 |
б. (1 x)cos |
dx |
12 |
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|
x |
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22 |
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0 |
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3 |
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б. |
(2x 3)sin |
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dx |
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б. |
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2 |
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sin2xdx |
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2 |
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в. |
4 |
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dx |
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0 |
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0 |
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2 3 |
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. |
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1 |
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1 |
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3 |
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2 |
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4 x2 |
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3 |
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|||||
3 |
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13 |
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23 |
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2 |
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0 |
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1 |
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0 |
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|||||||||||||||||||
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2 |
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sinxdx |
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в. |
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0 |
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cos2 xdx |
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. |
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2 |
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|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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0 |
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1 |
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xdx |
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1 |
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dx |
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3 x (arctgx)4 |
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а. |
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а. |
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x4 1 |
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0 |
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0 |
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1 x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||
4 |
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2 |
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14 |
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3x |
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24 |
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4 |
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б. |
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0 |
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|
|
|
|
|
|
|
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1 |
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0 |
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||||||||||||
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в. |
2arctg(1 2) 1 sinx dx |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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2 |
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sinxdx |
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
cosxdx |
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|
0 |
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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в. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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cosx 1 cosx . |
|
|
в. |
|
0 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 cosx sinx 2 |
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|
1 cosx sinx 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
x2dx |
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1 |
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x2 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
dx |
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3 |
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||||||||||||||||
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2 |
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3 |
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2 |
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0 |
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1 x |
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2 |
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x6 1 |
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1 (x |
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3x |
1) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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1 |
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5 |
б. x 52xdx |
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25 |
б. xe3xdx |
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б. |
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(x 3)cos xdx |
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1 |
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1 |
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0 |
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cosxdx |
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0 |
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cosxdx |
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в. |
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cosxdx |
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в. |
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. |
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1 cosx sinx |
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2 1 cosx sinx |
2 |
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(1 sinx) 1 cosx |
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2 3 |
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0 |
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1 |
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4 |
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3x 4 |
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||||||||||||
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x 1 |
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4 |
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2cox 3sin x |
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а. |
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3 |
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2 |
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0 |
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3 x |
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4 |
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1 |
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1 |
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6 |
б. (4 2x)cos3xdx |
16 |
б. |
2 |
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2 3x |
12xdx |
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26 |
б. |
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0 |
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e |
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1 |
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в. |
2 |
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sindx |
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0 |
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в. |
2arctg(1 2) 1 sin x |
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0 |
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. |
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в. |
2 |
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cosxdx |
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0 |
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dx. |
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1 sinx cosx |
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. |
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1 sinx 2 |
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0 |
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1 sinx cosx |
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2 |
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dx |
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1 |
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xdx |
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3 |
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25 4x2 |
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а. |
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а. |
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dx |
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0 |
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0 3 x4 |
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0 |
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2 |
1 x2 |
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б. |
1 |
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2 |
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7 |
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17 |
б. x |
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1 |
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1 |
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в. |
2 |
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cosxdx |
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||||||||||||||||||
|
в. |
2 3 |
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1 sinx |
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в. 2 |
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. |
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0 |
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1 cosx sin x |
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0 |
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. |
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3 |
1 sinx cosx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 sinx cosx |
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