Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТР 4.2 Крив

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

282.08 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Типовой расчет 4.2 по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»

Задание 1. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода:

5sin2xdl ,

7y3)dl

(x 2

где L – дуга кривой

где L – дуга циклоиды

где L – дуга параболы

y 3 lnsin x.

x 3(t sint) ,

y2 4x от точки

y 3(1 cost )

0 t

A(1, 2) до точки B(1,2) .

ydl

y dl,

(x 2y

)dl

где L – дуга параболы

где L – отрезок прямой,

где L – контур треуголь-

y2 2 px , отсечённая

соединяющей точки

ника с вершинами

A( 1,0). и B(0,1)

O (0,0),

A(1,0), B(0,1)

парабола x2 2py

y2dl

dl , где L – дуга аст-

xydl

где L – арка циклоиды

роиды x cos3 t, y sin3 t

где L – дуга гиперболы

x a (t sint),

x cht, y sht

0 t t0

y a(1 cost), 0 t 2

sin2 xcos3 xdl

1 x2

y2dl

где L – дуга кривой

y nsin x ,

6 x 4

2y x2

1 x 3

x ln y,

1 y e

3 y

3) dl

где L – дуга

5ydl

где L – дуга астроиды

где L – дуга параболы

x acos3t,

y asin3t

кривой x

1 y 4

y ,

y2 4 4x,

0 y 2

0 t 2

cos2 xdl

d l

(5x y)dl

L y

где L – контур треуголь-

где L – дуга кривой

где L – дуга параболы

ника с вершинами

y 1 ncos x(0 x

y2 2x (

y 2)

O(0,0), A(2,0),B(0,2),

(x2y 1)dl

где L – отрезок

1 x

L x y

где L – отрезок прямой,

прямой, соединяющей

где L – дуга кривой

соединяющей точки

точки A(0, 2)

и B (4,0).

3y x3

(1 x 2)

A(1, 3)

и B (2, 1)

xy dl , где L – контур

(2x 5y)dl

x2dl где L – верхняя

где L –контур квадрата

половина окружности

квадрата

x 5cost, y 5sint.

x2 dl

(x2 y2)3 dl

xydl

L b2

где L – дуга эллипса

где L – дуга окружности

где L – четверть эллипса

x 2cost, y 2sint

x acost, y bsint

ле-

x acost,

y bsint

жащая в первом квадран-

0 t

те.

xy dl где L – контур

(x2 y2)dl

где L – дуга развёртки

прямоугольника с верши-

L y2

где L – дуга кривой

окружности

нами

O(0,0), A(6,0),

xy 1 между точками

x 3(cost tsint)

B(6,4),C(0,4) .

A(1,1)и B(2,1

)

y 3(sin t tcost)

0 t 2

Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода.

(x y)dl

y2dl,

x2 y2 dl

где L – правый лепесток

где L – верхняя половина

лемнискаты

где L – верхняя полуок-

кардиоиды r 1 cos

r2 a2 cos2

ружность

r R

arctq

dl,

x2 y2 a2 dl ,

x2 y2 dl ,

где L – часть спирали

Архимеда r 2 , заклю-

где L -

дуга спирали Ар-

где L – дуга лемнискаты

чённая внутри круга ра-

химеда

r a cos2 ,

диуса R с центром в нача-

r a (a 0)

0 a.

ле координат (в полюсе).

3ydl ,

x x2

y2dl ,

x2 y2dl ,

где L – дуга кардиоиды

где L – граница кругового

r a(1 cos ).

сектора

где L – окружность

0 2 .

(r, )

0 r

2,0

ydl

L x 3z

2 y 1

y2 dl ,

2dl

где L – дуга линии

где L – дуга лемнискаты

L x2

x t,y

от

где L – первый виток ли-

r a

cos2

x acost,y asint ,

точки O(0,0,0) до точки

нии

z bt,

0 t 2

2 2

)

(3x y)dl,

(2z

x2 y2 )dl

(3x 5yz 2)dl,

где L – дуга окружности

где L – первый виток ко-

где L – отрезок прямой,

x t,y t,z

R2 2t2

нической винтовой линии

соединяющей точки

A(4,1, 6) и B(5,3,8)

x tcost, y tsint,

0 t

z t.

0 t 2

(x2 3y 4z)dl

zdl

(x z)dl

где L – первый виток ко-

где L – дуга кривой

где L – отрезок прямой,

нической винтовой линии

,z t3

соединяющей точ-

x tcost, y tsint,

x t, y

ки A(1,2,3) и B(4,6,4)

z t.

0 t 2

0 t 1

xydl

arctg

dl ,где L – часть

(2xy 3z 5)dl

где L – дуга винтовой

дуги спирали Архимеда

линии

где L – отрезок прямой,

заключенная

x acost, y asint,

соединяющей точки

внутри круга радиусом R

z bt.0 t

A(0,1, 2)и B(2,11,6)

с центром в полюсе.

(x2 y2 z2 )dl

dl ,

ydl , где L - дуга аст-

LAB

x2 y2

роиды x cos3 t, y sin3 t

,где L – дуга кривой

где L - дуга кардиоиды

между точками

A(1,0) и

x acost, y asint,

2(1 cos ),

z bt ,0 t 2

B(0,1).

0 / 2

,где L –

arctg

dl , где L - дуга

( y x

)xy

dl , где L -

x2 y2 z2

2 2

(1 cos ),

)

первый виток винтовой

9sin2 ,

x acost,

кривой

дуга кривой

0 / 2

0 / 4

линии

y asint,z bt

z2dl

,где L – первый

x2 y2dl ,где L – раз-

( x y)dl , где L – дуга

L x

вертка окружности

лемнискаты Бернулли

виток винтовой линии

x a(cost tsint ),

2 cos2 ,

x acost,

y a(sint tcost ),

y asint,z at

4 / 4

0 t 2

Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:

ydx 2zdy 3xdz,

( y2 z2 )dx 2yzdy x2dz,

x2ydx y2xdy,

где L – виток винтовой

где L – дуга кривой

x cost, y sint,

x t, y t2, z t2.

0 t

x t, y t3,

0 t 1

линии

0 t 2

z t.

xydx y2dy ,

3xdx 4ydy (x y 1)dz,

L xydx,

где L – отрезок прямой от

где L – дуга эллипса

где L – дуга кривой

точки A(3,5,7)до точки

x acost, y bsint от точки

x t2, y t.

1 t 2

B(4,7,10)

A(a,0)до точки

B(0,b).

ydx xdy

x2dy y2dx

(x2 y2 )dx ( x2 y2 )dy ,

L x2 y2

x 3 y 3

где L – окружность

где L – эллипс

где L – четверть астроиды

x acost, y bsint , про-

x acost, y asint.

Rcos

y Rsin

бегаемый в положитель-

пробегаемая в положи-

от точки A(R,0) до точки

ном направлении

тельном направлении.

B(0,R)

2xdy 3ydx,

(x y)dx 3ydy x2zdz ,

(x2 y2)dx ,

где L – контур треуголь-

где L – контур прямоугольника,

ника с вершинами

где L –отрезок прямой от

образованного прямыми

A(1,2), B(3,1),C(2,5) ,

точки A(1, 2,0) до точки

x 1, y 1, x 3, y 5. Интег-

пробегаемый в положи-

B(2,0,1)

рирование вести в положительном

тельном направлении.

направлении.

xdy ydx ,

(x2 z)dx (y2 3z)dy zdz,

(x y)dx (x y)dy

x2 y2

вдоль кривой

y x3 от

где L - отрезок прямой от

где L

- окружность x2 y2 1,

точки O(0,0)

до точки

точки A(1,1,1) до точки

B(3,3,5)

пробегаемая в положительном

A(2,8)

направлении.

y2dx x2dy,

x2ydx x3dy ,

где L – первая четверть

где L – верхняя половина

где L – контур, ограниченный

эллипса

окружности,

параболами y2 x ,x2 y и

x acost, y bsint , про-

x acost, y asint

пробегаемый против хода часовой

пробегаемая против хода

бегаемая по ходу часовой

стрелки.

часовой стрелки.

стрелки.

x2dx

где L – дуга

(3x2 y)dx (5x 2y2)dy,

ydx (y

)dy,

где L – контур треугольника с

где L – дуга парабо-

кривой

от точки

вершина-

лы y 2x x2 , расположенная

ми O(0,0), A(1,0), B(0,1) ,

A(1,1) до точки B(4,

)

пробегаемый против хода

над осью OX и пробегаемая про-

тив хода часовой стрелки.

часовой стрелки.

(2a y)dx (a y)dy ,

(x2 y z)dx z2dy (x y2)dz

xydx 3(y x)dy ,

где L – арка циклоиды

где L – отрезок прямой от

вдоль линии

от точ-

x a(t sint ),

точки A(2,1,0)

до точ-

киO(0,0)

до точки A(1,1).

y a(1 cost).0 t 2

ки B(4,3,1)

(4x y)dx (x 4y)dy ,

xcos y dx ysinx dy ,

2xy dx x

dy ,

вдоль линии y x4 от

вдоль прямой y 2x от

вдоль линии y2 xот точ-

точки A(1,1) до точ-

точки O(0,0) до точки

ки A(1,1)

до точки B(4,2).

ки B( 1,1)

A( ,2 ).

y2dx x2dy ,

4xsin2 ydx ycos2 2xdy ,

2xy

ydy ,

вдоль прямой y x от

вдоль прямой y 2x от

вдоль параболы y x2 от точ-

точки A(1,1) до точ-

точкиO(0,0)

до точ-

киO(0,0)

до точки A(2,4).

ки B(3,3).

ки A(3,6).

Задание4. Вычислитькриволинейные интегралы2-города.

(y x2)dx (x y2)dy,

e x2 y2 (cos2xydx sin2xydy),

y2dx (x y)2 dy,

где контур L – ограничи-

вает круговой сектор ра-

где L – окружность

где L – контур треугольни-

диуса R с углом

x2 y2 R2

ка с вершинами

. 0

A(a,0), B(a,a),C(0,a)

6ydx xdy,

(x y)2dx (x2 y2)dy,

2xydx 3x2dy,

где контур фигуры, огра-

где L – контур треугольника

где L – окружность

x2 y2 4.

с вершинами

ниченной линиями

y x

A(1,1), B(3,2),C(2,5).

y 9

Вычислить интеграл по

замкнутому контуру

ydx xdy , если

2ydx xdy , если

dx dy, если

cost

, y

2sin

в на-

x 2cost, y 2sint

sint

cost, y

в направлении возраста-

в направлении возрастания

правлении возрастания па-

ния параметра t .

параметра t .

раметра t .

Вычислить интеграл по

замкнутому контуру

x2dx ydy , если

(y x)dx xdy, если

(y x)dx (x y)dy , если

x 2cost, y 2sint ,

x cost, y sint

x 3cost, y 3sint

в направлении возраста-

в направлении возрастания

ния параметра t .

параметра t .

Вычислить интеграл по

замкнутому контуру

xdx z2dy ydz , если

ydx xdy zdz , если

2ydx 3xdy xdz , если

x cost,

x 2cost,

x cost,

L: y 2sint,

L: y sint, в направлении

z 2cost 2sint 1.

z 2 2cost 2sint.

направлении возрастания

z 3.

направлении возрастания

возрастания параметра t .

параметра t .

Вычислить интеграл по

( x2 y)dx , где L – кон-

замкнутому контуру

6zdx xdy xydz , если

zdx y2dy xdz , если

тур прямоугольника, образо-

x 3cost,

2cost,

ванного прямыми

x 0,x 1, y 0, y 2 при

в направле-

L :

в направ-

L: y 3sint,

y 2sint,

положительном направлении

2cost.

z 3.

обхода контура

нии возрастания параметра

лении возрастания пара-

t .

метра t .

Вычислить интеграл по

замкнутому контуру

xdx 2z2dy ydz , если

4ydx 3xdy xdz , если

zdx xdy ydz , если

x cost,

x 4cost,

x 2cost,

в направле-

L: y 3sint,

L: y 4sint,

y 2sint,

z 2cost 3sint 2.

z 4 4cost 4sint.

z 0.

направлении возрастания

нии возрастания параметра

параметра t .

t .

Вычислить интеграл по

ydx xdy , где LOA – дуга

замкнутому контуру

xdy , где L – контур

2ydx 3xdy xdz , если

эллипса

треугольника, образованного

x acost, y bsint

«про-

x 3cost,

в на-

прямыми

y x,x 2, y 0

бегаемая» против хода часо-

L: y 3sint,

при положительном направле-

вой стрелки.

нии обхода контура.

z 3 3cost 3sint.

правлении возрастания па-

раметра t .

ydx xdy , где L – дуга

( x2 y2 )dx ( x2 y2 )dy , где

(xy x)dx

dy , где

LABO

L – контур треугольника с

эллипса

LАВО – ломаная ABO

при

вершинами

x 6cost, y 4sint

A(0,0),B(1,0),C(0,1) при

(O(0,0);

A(1,2);

положительном направ-

положительном направлении

B(1/ 2,3)) при положи-

лении обхода контура.

обхода контура.

тельном направлении об-

хода контура.

y2dx x2dy ,

2yzdy y2dz , где LOBA –

(x y)dx 2xdy,

LOA

где L –эллипс

LOBA

где L – контур треугольни-

x acost, y bsint

ломаная

OBA ; O(0,0,0);

«пробегаемый» по ходу

ка с вершинами

B(0,2,0) ;

A(0,2,1).

O(0,0) , B(2,0)иC(0,2).

часовой стрелки.

Задача5. Найтиработу силы

при перемещениивдольлинии L от точки M кточке N .

F x y i 2xj,

F x y i x y j,

L: x2 y2 4 y 0 ,

L: x2

1 x 0, y 0 ,

L: y x2,

2,0 , N

2,0

1,1 ,

1,1 .

M 1,0 , N 0,3 .

F x2 2y i y2 2x j,

F x2 y2 i x2 y2 j,

F x2 2y i y2 2x j,

L: отрезок MN,

1 y 0 ,

L: отрезок MN,

M 4,0 , N 0,2 .

M 3,0 , N 3,0 .

F yi xj,

F x3i y3j,

F yi xj,

L: 2x2 y2 1 y 0 ,

L: x2 y2 4 x 0, y 0 ,

L: x2 y2 1 y 0 ,

M 1,0

, N

1,0

,0 , N

M 2,0 , N 0,2 .

F x2 2y i y2 2x j,

F x y

i y x

F x2 y2 i y2j,

x2 y2

L: 2

L: x2 y2 1 y 0 ,

L: отрезок MN,

M 1,0 , N 1,0 .

M 2,0 , N 0,2 .

M 4,0 , N 0,2 .

F yi xj,

F xyi 2yj,

F x2 yi yj,

L: x2 y2 2 y 0 ,

L: x2 y2

1 x 0, y 0 ,

L: отрезок MN,

2,0 , N

2,0 .

M 1,0 , N 0,1 .

M 1,0 ,

N 0,1 .

F x2 y2 i x2 y2 j,

F x y

i y

F xyi,

x, 0 x 1;

x2 y2

L: x2 y2

x 0, y 0 ,

L: y sinx,

2 x, 1 x 2;

M 4,0 , N 0,4 .

M ,0 , N 0,0 .

M 2,0 , N 0,0 .

F x y 2 i x2 y2 j,

F x2 yi xy2j,

F yi xj,

L: отрезок MN,

L: x2 y2

4 x 0, y 0 ,

y x3,

M 1,0 ,

N 0,1 .

M 2,0 , N 0,2 .

M 0,0 , N 2,8 .

F 2xy y i x2 x j,

F y2i x2j,

F xy y2 i xj,

L: x2 y2 9 y 0 ,

L: x2 y2 9 x 0, y 0 ,

L: y 2x2,

M 3,0 , N 3,0 .

M 3,0 , N 0,3 .

M 0,0 , N 1,2 .

F x2 y2 i 2j ,

F x2j,

F xy x i

L: x2 y2 R2

y 0 ,

L: x2 y2 9 x 0, y 0 ,

L: y 2 x,

M R,0 ,

N R,0 .

M 3,0 , N 0,3 .

M 0,0 , N 1,2 .

F xi yj,

F y2 y i 2xy x j,

F xi yj,

L: x2

1 x 0, y 0

L: x2 y2

y 0 ,

L: отрезок MN,

M 3,0 , N 3,0 .

M 1,0 , N 0,3 .

Задача 6. Вычислить поверхностные интегралы по площади поверхности (I рода)

xyz ds, где σ - часть

xds, где σ – часть сферы

yds где σ – полусфера

плоскости x y z 1,

, лежа-

R2 x2 y2 ;

лежащая в первом октанте;

щая в первом октанте;

ds,

где σ – часть плоско-

dsгде σ –

ds,

где σ – полусфе-

сти x y z a, распо-

полусфера

ра z

R2 x2

y2.

ложенная в первом октан-

z R2 x2 y2.

те;

xds, где σ – полусфера

(x2 y2)ds,где σ – по-

yzds,где σ – часть

верхность,

отсекаемая от

R2 x2 y2.

параболоиды x2 y2 2z

плоскости x y z 1,

лежащая в первом октанте;

плоскостью z 1.

(x y z)ds, где σ –

где σ – часть

)ds, где σ –

часть сфера

поверхности конуса

сфера x2 y2 z2 1;

x2 y2

z2 a2 , лежа-

x2 y2 z2,

0 z 1;

щая в первом октанте;

)ds,где σ – часть

xyz ds, где σ – часть

(2x 3y 2z)dS,

поверхности

где S – часть плоскости

конической поверхно-

(p), отсеченная координат-

сти z2 x2 y2 , заклю-

z x2 y2, расположен-

ными плоскостями

ченной между плоскостя-

ная между плоскостями

( p): x 3y z 3 .

ми z 0 и z 1.

z 0 и z 1.

. (2 y 7x 9z)dS, где

(3y 2x 2z)dS, где S –

(2x 3y z)dS, где S –

S – часть плоскости (p),

часть плоскости (p), отсе-

часть плоскости (p)

отсеченная координатны-

ченная координатными

( p): x 2y z 2 , отсе-

ми плоскостями.

плоскостями

ченная координатными

( p):2x y 2z 2

плоскостями.

	(5x y z)dS, где S –						. (x 3y 2z)dS, часть		(5x y 5z )dS, часть
	S						S		(5x y 5z )dS, часть
	S						S		S
	часть плоскости (p), ле-						плоскости (p), лежащая в		S
7	часть плоскости (p), ле-					17	плоскости (p), лежащая в	27	плоскости (p), лежащая в
	жащая в первом октан-						первом октанте		первом октанте
	те( p): x 2y 2z 2						( p):2x y 2z 2 .		первом октанте
	те( p): x 2y 2z 2						( p):2x y 2z 2 .		( p):3x 2y z 6 .
									( p):3x 2y z 6 .

	(3x 10y z)dS, часть						(2x 15y z)dS, часть		(2x 5y 10z )dS, часть
	S						S		S
8	плоскости (p), лежащая в					18	плоскости (p), лежащая в	28	плоскости (p), лежащая в
		первом октанте					первом октанте		первом октанте
	( p): x 3y 2z 6 .						( p): x 2y 2z 2 .		( p):2x y 3z 6
	(5x 2y 2z)dS, часть						(4x y 4z)dS, часть		(4x 4y z )dS, часть
	S						S		S
9	плоскости (p), лежащая в					19	плоскости (p), лежащая в	29	плоскости (p), лежащая в
		первом октанте					первом октанте		первом октанте
	( p): x 2y z 2 .						( p):2x 2y z 4 .		( p): x 2y 2z 4 .
	(z 2x 43 y)ds, где σ –						(6x y 8z)dS, часть		(4x y z)dS, часть
							S		S
10		часть плоскости				20	S	30	S
		часть плоскости					плоскости (p), лежащая в		плоскости (p), лежащая в
	x	y	z				плоскости (p), лежащая в		плоскости (p), лежащая в
	x	y	z	4	1, лежа-		первом октанте		первом октанте
	2	3		4			( p): x y 2z 2		( p): x y z 2
	щая в первом октанте;						( p): x y 2z 2		( p): x y z 2
	щая в первом октанте;

Задача 7. Вычислить поверхностные интегралы по координатам (II рода)

xdydz ydxdz zdxdy,где σ – положи-

x2y2zdxdy где σ – положительная сто-

тельная сторона куба, составленного плос-

рона нижней половины сферы

костями x 0,y 0,z 0, x 1,y 1,z 1.

x2 y2 z2 R2.

zdxdy,где σ – внешняя сторона эллип-

z2dxdy,где σ – внешняя сторона эллип-

соида

xzdxdy xydydz yzdxdz,где σ – внеш-

yzdxdy xzdydz xydxdz,где σ – внеш-

няя сторона поверхности, расположенной

няя сторона пирамиды, составленной

в первом октанте и составленной из ци-

плоскостями x 0,y 0,z 0,x y z 1.

линдра x2 y2 R2 и плоскостей

x 0,y 0,z 0,z 4.

x2y2zdxdy ,где σ – внешняя сторона

ydxdz,где σ – верхняя сторона части

плоскости x y z a , лежащей в первом

верхней половины сферы x2 y2 z2 R2

октанте;

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.09.20191.24 Mб8ТР 1.doc
#
10.05.2015319.56 Кб13ТР 2.3 Интегралы.pdf
#
10.05.2015307.05 Кб6ТР 2.3 Интегралы.pdf
#
10.05.2015248.05 Кб20ТР 3.1 Диф.pdf
#
10.05.2015321.51 Кб8ТР 3.2 Ряды.pdf
#
10.05.2015282.08 Кб15ТР 4.2 Крив.pdf
#
03.05.2019770.05 Кб19ТР 4.3 ТерВер.doc
#
10.05.2015407.64 Кб107ТР 4.3 ТерВер.pdf
#
10.05.2015488.96 Кб59транспортный шум_№7.doc
#
10.05.2015137.73 Кб8требования к оформлению отчетов.doc
#
10.05.20154.13 Mб17Тренды в дизайне логотипов.doc