ТР 4.2 Крив

x2dydz , где σ - внешняя сторона части

( y2

z2 )dydz,где σ - внешняя сторона

5

поверхности параболои-

20

части параболоиды x a2 y2 z2 , отсе-

ды z

4

( x

2

y

2

),x 0,y 0,z R.

чённой плоскостью yOz .

R

2

dxdy

, где σ - внешняя сторона

сферы

z2dxdy,где σ – внешняя сторона полу-

6

z

21

сферы x2 y2 z2 R2,z 0.

x2 y2 z2 a2

( z 1)dxdy,где σ – внешняя сторона

7

4 x2 y2

dxdy,где σ - нижняя сторона

22

круга x2 y2 a2.

полусферы x2 y2 z2 R2,z 0;

x2dydz z2dxdz zdxdy , где S – часть

( y2 z2 )dydz, где S – часть поверхно-

S

S

8

поверхности параболоида x 9 y2 z2

23

сти параболоида x 9 y2 z2 (нормаль-

(нормальный вектор n которой образует

ный вектор n которой образует острый

острый угол с ортом k), отсекаемая плос-

угол с ортом i), отсеченная плоско-

костью z 0 .

стью x 0 .

9

z2dxdy , где S – внешняя сторона по-

24

( z 1)dxdy, где S – внешняя сторона

S

S

верхности эллипсоида x2 y2 2z2 2.

поверхности сферы x2 y2 z2 16.

xzdxdy xydydz yzdxdz , где S – верхняя

yzdydz xzdxdz xydxdy , где S – верхняя

10

S

25

S

часть плоскости x y z 1, отсеченной

сторона плоскости x y z 4 , отсечен-

координатными плоскостями.

ной координатными плоскостями.

yzdxdy xzdydz xydxdz , где S – наруж-

x2dydz y2dxdz z2dxdy, где S – внеш-

11

S

26

S

ная поверхность цилиндра x2 y2 1,

няя сторона сферы x2 y2 z2 16, ле-

отсеченная плоскостями z 0,z 5.

жащая в первом октанте.

y2zdxdy xzdydz x2ydxdz, где S – часть

x2dydz z2dxdy, где S – часть поверхно-

S

S

12

поверхности параболоида z x2

y2

27

сти конуса x 9 y2 z2 (нормальный

(нормальный вектор n которой образует

вектор n которой образует тупой угол с

острый угол с ортом k), вырезаемая ци-

ортом k), лежащая между плоскостя-

линдром x2 y2 1.

ми z 0,z 1.

(2y2 z)dxdy , где S – часть поверхно-

dxdy

, где S – часть поверхности

( x

2

y

2

S

S

1)

13

сти параболоида z2 x2 y2 (нормальный

28

гиперболоида x2 y2 z2 1 (нормаль-

вектор n которой образует тупой угол с

ный вектор n образует тупой угол с ортом

ортом k), отсекаемая плоскостью z=2.

k), отсекаемая плоскостями z 0,z

3

.

x

2

dydz y

2

dxdz

, где S – часть поверхно-

x2dydz y2dxdz zdxdy, где S – часть

S

S

поверхности конуса z2 x2 y2 (нор-

14

сти параболоида z x2 y2 (нормальный

29

мальный вектор n которой образует ост-

вектор n которой образует тупой угол с

рый угол с ортом k), отсекаемая плоско-

ортом k), отсекаемая плоскостью z 4 .

стями z 0,z 3.

2xdydz (1 z)dxdy , где S – внутренняя

z2dxdy,где σ – внешняя сторона части

15

S

30

сторона цилиндра x2 y2 4 , отсекаемая

эллипсоида x2 y2 2z2 2, лежащая в

плоскостями z 0,z 1.

первом октанте.

Задание 8.

В номерах 1-15 Пользуясь формулой Остро-

В номерах 16-30 Используя формулу Стокса,

градского-Гаусса, вычислить интегралы:

вычислить интегралы:

z

2

dxdy,где σ – внешняя поверхность

(2x y)dx 2ydy,где – периметр тре-

1

16

l

эллипсоида x2 y2 2z2 2.

угольника с вершинами

A(0; 1),B(0;2),C(2;0).

zdxdy ydxdz xdydz,где σ – внутрен-

(z y)dx ( x z)dy ( y x)dz,где –

2

няя поверхность куба, ограниченного

17

l

периметр треугольника с вершинами

плоскостями

A(a;0;0),B(0;a;0),C(0;0;a).

x 0,x 1,y 0,y 1,z 0,z 1.

( z 1)dxdy,где σ – внешняя поверхность

x2y3dx dy zdz,где – окружность

3

18

l

x2 y2 R2 в качестве поверхности

сферы x2 y2 z2

R2

принять полусферу z

R2 x2 y2 .

xzdxdy xydydz yzdxdz,где σ – внеш-

ydx xdy adz,где – a const,и

4

19

няя сторона пирамиды, ограниченной

l

плоскостями

x y z 1

окружность x2 y2

1,z 0

x 0,y 0,z 0,

(3xzcos 2xcos ycos )ds,где σ –

(x 3y 2z )dx (2x z)dy ( x y)dz,гд

5

20

внешняя сторона поверхности, ограничен-

е - периметр треугольника с вершинами

ной плоскостями

M(2;0;0),N(0;3;0),P(0;0;1)

x y z 2,x 1,x 0,y 0,z 0.

(cos(N,x) cos(N,y) cos(

x2 y2 z2

(x 2)dx (x y)dy 2zdz,где - пе-

6

21

если N – внешняя нормаль к поверхности

риметр треугольника с вершинами

сферы x2 y2 z2

R2.

A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1).

( x3 cos( N,x) y3 cos( N,y) z3 cos( N,z )

x

2

y

3

dx dy zdz , где

- окружность

7

22

где N – внешняя нормаль к поверхности

сферы x2 y2 z2 R2.

x2 y2 a2,z 0 .

( xcos ycos zcos )ds ,где σ –

xdx xzdy zdz,где

- контур, образо-

8

23

ванный пересечением поверхно-

верхняя поверхность плоскости

сти z2 4 x2 y2 с плоскостями коорди-

x y z a , расположенной в первом

нат. В качестве поверхности σ принять

октанте.

расположенную в первом октанте часть

данной поверхности.

(x2

y2 )cos ( y2 x2 )cos ( y2 z2 )cos ds

(x 2z)dx ( x 3y z)dy (5x y)dz,гд

9

, где σ – внешняя сторона поверхности,

24

ограниченной цилиндром x2 y2 1и

е - периметр треугольника с вершинами

плоскостями z 0,z 1.

A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)

(zx y)cos (zy x)cos ( x2 y2 )cos ds,

yzdx xzdy xydz,где

- периметр тре-

10

25

где σ – внешняя поверхность полусферы

угольника с вершинами

z

1 x2 y2 и плоскости z 0.

O(0;0;0),A(1;1;0),B(1;1;1)

( x2 cos xycos 3zcos )ds,где σ -

x(z y)dx y( x z )dy z( y x)dz,где

11

внешняя сторона поверхности, ограничен-

26

ной конусом x2 y2 z2 и плоскостью

- периметр треугольника с вершинами

A(a;0;0),B(0;a;0)c(0;0;a)

z 4.

yzdxdy xzdydz xydxdz,где σ – внеш-

z2dx x2dy y2dz,где

- контур пересе-

12

няя сторона поверхности, расположенной

27

чения сферы x2 y2 z2

R2 с

плоско-

в первом октанте и составленной из ци-

стью x y z R . За поверхность σ при-

линдра x2 y2 R2 и плоскостей

нять часть сферы, расположенную в пер-

x 0,y 0,z 0,z 4.

вом октанте.

( zcos yzcos xycos )ds,где σ –

y2dx xydy ( x2 y2 )dz,где

- контур

13

28

пересечения параболоида x2 y2

Rz с

внешняя сторона поверхности цилинд-

плоскостями x 0,y 0,z R . За поверх-

ра x2 y2 4 и плоскостей z 0,z 1.

ность σ принять параболоида, располо-

женную в первом октанте.

x

2

cos ds,где σ – внешняя сторона

ydx (1 x)dy zdz,где - контур пере-

14

29

сечения полусферы z

R2 x2 y2 и

поверхности, ограниченной плоскостями

z 1 x y,x 0,y 0,z 0.

цилиндра x2 y2 1. За поверхность σ

принять данную полусферу.

( y

2

cos z

2

ycos x

2

zcos )ds,где σ

xzdx dy ydz,где

- контур пересече-

15

30

ния сферы x2 y2 z2

4 и плоскости

– внешняя поверхность сферы

x

2

y

2

z

2

1

z 1. За поверхность σ принять верхнюю

часть сферы.