4.2.6. Вращательное (вихревое) движение

Частицы жидкости могут принимать участие не только в поступательном, но и во вращательном движении. Как известно из теоретической механики, всякую угловую скорость можно представить в виде вектора, который направлен вдоль оси вращения, и имеет модуль, равный абсолютной величине угловой скорости. В соответствие с этим кривая, каждый элемент который служит в данный момент времени осью вращения, соответствующей жидкой частицы, по аналогии с линией тока называется вихревой линией. Это линия касательная во всех точках векторам угловой скорости частиц (рис. 4.7).

Рис. 4.7. К определению вихревой линии

Поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки, элементарного замкнутого контура, называется вихревой трубкой (рис. 4.8) , а жидкость, заключенная внутри вихревой трубки – вихревым шнуром.

Рис. 4.8. Вихревой шнур

Вихревой шнур обладает такими свойствами: его сечение нигде не может стать равным 0, т.к. в этом сечении скорость вращения должна стать бесконечной  = v/r, что физически не возможно. Вихревые шнуры не могут заканчиваться внутри жидкости они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо опираются на стенку или свободную поверхность.

4.2.7. Уравнение расхода для элементарной струйки

В условиях установившегося движения, когда линии тока совпадают с траекториями, расчетное представление о струйках жидкости позволяет достаточно просто подойти к оценке неразрывности или сплошности движения жидкости. Неразрывность – это существенное свойство жидкости, которая при движении в силу своей легкой подвижности стремится заполнить все ограниченное стенками пространство, не изменяя при этом своей массы. Таким образом, неразрывность представляет собой частное выражение общего физического закона сохранения массы применительно к случаю движения жидкости.

В случае установившегося движения трубка тока не изменяет своей формы и может рассматриваться как бы жесткой (с непроницаемыми стенками). Двумя сечениями 1 - 1 и 2 - 2 и боковой поверхностью трубки выделим объем 1-1-2-2, сплошь заполненный несжимаемой жидкостью (рис. 4.9).

Рис. 4.9. К выводу уравнения расхода

За время dt сечения 1-1 и 2-2 рассматриваемого объема переместятся соответственно в положения 1'-1' и 2'-2'.

При отсутствии поперечного притока внутрь рассматриваемого объема, несжимаемости жидкости и неразрывности (в жидкости отсутствуют пустоты) движения, объем жидкости 1-1-1'-1' должен быть равен объему 2-2-2'-2'. Каждый из указанных объемов в виду малости dt и сечений струйки может быть вычислен как объем цилиндров.

или (4.3)

Произведение Vs есть объем жидкости, протекающей через данное сечение в единицу времени.

В соответствие с изложенным уравнение (4.3) называют уравнением неразрывности или уравнением расхода для элементарной струйки при установившемся движении.

Получение объемного расхода всего потока сводится к суммированию расходов элементарных струек , [м³/c] При перемещении жидкости переменной плотности удобнее определять массовый расход , [кг/c], который равен массе жидкости, проходящей в единицу времени через данное живое сечение.

Используя понятие средней по сечению скорости потока (4.2) , получим

Пользуясь понятием средней скорости можно построить простую расчетную схему слабодеформированного потока. В соответствие с ней поток движется вдоль стенок как единое сплошное целое, с постоянной для всех частиц в данном сечении скоростью . При такой схеме параметры потока определяются расстоянием х рассматриваемого живого сечения от какой-либо начальной точки, а сама схема называется одноразмерной (одномерной) моделью потока. Для нее можно записать выражения, аналогичные (4.3),

или (4.4)

или (4.5)

Эти уравнения называются уравнениями неразрывности или уравнениями расхода для потока жидкости. Из (4.4) следует, что , т.е. величины средних скоростей обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Рассматриваемая одномерная модель слабодеформированного потока является хотя и простейшей, но одной из наиболее распространенных в механике жидкости и газа.