2. Момент инерции плоской треугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно ее плоскости.

Разобьем пластину на тонкие стержни массойdmдлиной 2xи высотойdy, как показано на рисунке. Так как для стержня длинымомент инерции относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр масс равен, то момент инерции такого стержня относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, по теореме Штейнера , равен:

,

где массу стержня можно выразить из пропорции

,

где – площадь стержня, а– площадь равностороннего треугольника.

Тогда масса стержня: ,а его момент инерции:

С учетом того, что для равностороннего треугольника , получим:

Тогда. Но по теореме Штейнера , тогда, учитывая, что, получим выражение для:

Контрольные вопросы

1. В чем заключается физический смысл момента инерции?

2. От чего зависит момент инерции?

3. Сформулируйте теорему Штейнера.

4. С помощью теоремы Штейнера объясните, относительно какой оси момент инерции тела минимален (максимален)?

5. Получите расчетную формулу для момента инерции плоской прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс, и лежащей в плоскости пластины.

6. Получите расчетную формулу для момента инерции пластины в форме равностороннего треугольника относительно оси, лежащей в плоскости пластины и проходящей через одну из его сторон.

7. Как нужно проводить эксперимент в данной работе, чтобы расчетные формулы, которыми вы пользовались, были справедливы

Лабораторная работа №7

Определение коэффициента трения качения

Цель работы: определить коэффициент трения качения цилиндра по плоскости для различных пар металлических поверхностей и определить момент инерции сложной системы методом колебаний

Т Рис.1еоретическое описание

Рассмотрим цилиндр, покоящийся на горизонтальной плоскости (рис.1,а). На него действуют две взаимно уравновешивающие силы: сила тяжести , гдеm– масса цилиндра, и нормальная реакция плоскости. Если цилиндр (колесо) катится по плоскости, то появляется трение качения. Можно выделить следующие причины его возникновения. И цилиндр и плоскость при качении деформируются. При этом происходят потери механической энергии, связанные: а) с работой, затрачиваемой на образование валикаАдеформированной плоскости перед катящимся цилиндром (рис.1,б); б) со сжатием плоскости перед катящимся; в) с преодолением мостиков сцепления – тех областей на поверхности соприкосновения цилиндра и плоскости, где из-за неровности поверхностей существуют настолько большие давления, что между молекулами цилиндра и плоскости возникают силы межмолекулярного притяжения и они в этих местах "сцепляются" друг с другом.

Эти три причины приводят к тому, что точка приложения нормальной реакции смещается на расстояние, в результате возникает момент силы реакции, направленный по оси вращения, которая проходит перпендикулярно плоскости рисунка 1, и препятствующий качению цилиндра. Модуль этого момента

(1)

П

Рис.2

оэтомуM_kназывают моментом сопротивления качению, а величину, численно равную смещению точки приложения реакции плоскости– коэффициентом трения качения. Коэффициент трения качения измеряется в единицах длины и, как показывает опыт<<R(R – радиус цилиндра).

Рис.3

В работе используются два жестко скрепленных цилиндраАиВс несовпадающими параллельными осями. Они могут вращаться на горизонтально расположенных образцах 1 различных металлов (рис.2) вокруг оси цилиндраАрадиусомR. СтрелкаД, прикрепленная к цилиндруА, фиксирует на шкалеНлинейное смещение колеблющейся системы от положения равновесия.Ш– штырьки для удержания образцов.

Так как оси цилиндров АиВне совпадают, то центр масс системыСнаходится на линииАВна расстоянииот оси цилиндраА(рис.3). Момент силы тяжестистремится вернуть систему в положение равновесия и при малых углах поворота() пропорционален смещению из положения равновесия. Это является условием гармонических колебаний, которые будет совершать система относительно положения равновесия= 0 (стрелкаДотклоняется то в одну сторону, то в другую сторону от положенияОна шкалеН).

Из-за действия диссипативных сил трения колебания системы будут затухать. Определим уравнение этих колебаний. Запишем уравнение динамики вращательного движения системы относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку Sкасания цилиндраАс плоскостью перпендикулярно плоскости рисунка 3. Кроме момента силы тяжести действует момент сопротивления качению на цилиндр (1). Величина коэффициента трения качения пропорциональна скоростиVкатящегося без проскальзывания цилиндраА. Если учесть связь линейной и угловой скорости цилиндра:, то

, (2)

и из формулы (1) .

Тогда уравнение динамики имеет вид

(3)

где J –момент инерции системы относительно мгновенной оси вращенияS; знаки в уравнении (3) показывают, что моменты сил препятствуют увеличению угла отклонения.

П

Рис. 3

ри малых углах() это уравнение аналогично динамическому уравнению затухающих колебаний:

, (4)

где , (5)

. (6)

Поэтому угол отклонения стрелки Дот положения равновесия изменяется по закону

, (7)

где – (8)

частота затухающих колебаний; – угол отклонения стрелки в начальный момент времени. Колеблющаяся таким образом система является разновидностью физического маятника.

Совершив nполных колебаний за времяt = nT (T– период колебаний), стрелка отклонится на угол φ_n(φ_n< φ₀). Так как линейное смещениеaстрелкиДвдоль шкалыНпропорционально углу поворота стрелки, то из (7) следует, чтооткуда получим.

Величину (9)

называют логарифмическим декрементом затухания,

следовательно (10)

Подставляя выражения (6) и (10) в формулу (8) и учитывая, что , находим формулу для определения момента инерцииJсистемы относительно мгновенной оси вращения S:

(11)

Из формул (5), (10) и (11) определим выражение для k:

(12)

В данной работе можно лишь приближенно оценить коэффициент трения качения. Для этого воспользуемся формулами (2) и (7). Найдем производную :

Максимальная скорость движения центра цилиндра A достигается при нулевом угле отклонения. Это условие выполняется, когда(). Для упрощения вычислений можно положить(амплитуда слабо уменьшается за время первого колебания).

Тогда

Таким образом, максимальную скорость качения цилиндра, а также оценку для коэффициента трения качения можно описать следующей формулой

(13)

Под цилиндр Аподкладывают плоские пластинки из различного материала, что позволяет определить коэффициенты трения цилиндра для различных пар (цилиндр-пластинка) и сравнить полученные результаты.