Prezentatsia_IG_KhN_KhO_KhP_KhM_2013
.pdf
3. Виды проецированиѐ
Правила построениѐ изображений, изучаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.
Рассмотрение метода проекций удобнее начать с построениѐ проекций точки, так как изображение лябой пространственной фигуры есть совокупность изображений точек, принадлежащих этой фигуре.
Наиболее общим способом получениѐ изображений ѐвлѐетсѐ центральное проецирование (полѐрное,
коническое).
Длѐ получениѐ центральных проекций нужно задать аппарат проецирования, т.е. задать центр проекций (S) и положение плоскости проекций (П), причем центр проецированиѐ не принадлежит плоскости проекций
(рис. 1.2).
Возьмем некоторуя точку А, не принадлежащуя плоскости проекций и центру проецированиѐ, и проведем через нее луч [SA) до пересечениѐ с плоскостья проекций: получаем АП - центральную проекцию точки А.
Точка АП может быть центральной проекцией лябой точки, принадлежащей прѐмой [SAП]. Поэтому одна центральнаѐ проекциѐ точки не дает возможности судить о положении точки в пространстве.
S
A 
AП П
Рис. 1.2
11
Длѐ того, чтобы однозначно судить о положении точки в пространстве необходимо две центральные проекции точки А из двух центров проецированиѐ. Длѐ этого достаточно провести
проецируящие |
лучи |
[S A! |
) |
и |
[S A!! ) |
||
|
|
1 |
П |
|
|
2 |
П |
и отметить точку их пересечениѐ (рис. 1.3). |
|
|
|||||
Таким образом, две проекции точки вполне |
|||||||
определяют ее |
положение |
в |
|
пространстве. |
|||
Проекция |
линии |
строѐт, |
|
проецируѐ |
рѐд |
||
ее точек на плоскость проекций. При этом проецируящие лучи в своей совокупности образуят коническуя поверхность – поэтому центральные
проекции |
называятсѐ |
еще |
|
и |
коническими |
(рис. |
1.4). |
Проецируящие лучи |
могут |
оказатьсѐ |
|
и в одной проецируящей плоскости (при проецировании прѐмой не проходѐщей через центр проецированиѐ S или ломаной линии все точки
которой |
лежат в плоскости, совпадаящей |
с |
проецируящей). |
Основной недостаток центральных проекций
– отсутствие обратимости чертежа. Тем не менее, изображениѐ в центральных проекциѐх наглѐдны, но неудобны длѐ технического черчениѐ.
|
Центральное |
проецирование |
применѐетсѐ |
длѐ |
построениѐ |
изображений |
предметов |
в перспективе. |
|
|
|
S1 |
S2 |
|
A |
!! |
A!П |
A П |
П |
|
Рис. 1.3
S
А В С АП ВП СП
П
Рис. 1.4
12
Свойства центральных проекций
1.Проекциѐ точки – есть точка.
2.Проекциѐ прѐмой, не проходѐщей через центр проецированиѐ, есть прѐмаѐ; проходѐщей – точка.
3.Если точка принадлежит прѐмой, то проекциѐ этой точки принадлежит проекции прѐмой.
4.Проекциѐ плоской фигуры, не принадлежащей проецируящей плоскости, есть плоскаѐ фигура, принадлежащей проецируящей плоскости – прѐмаѐ.
5.Проекциѐ трехмерной фигуры – двумернаѐ фигура (объемные тела проецируятсѐ в плоские).
6.Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением.
13
Параллельные проекции (цилиндрические)
Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центральных проекций, когда центр проецированиѐ удален в бесконечность.
Аппарат проецирования полностья определѐетсѐ положением плоскости проекций (П) и направлением проецированиѐ (s1∞). В этом случае проекцией точки А на плоскость проекций П будет А1П, в которой проецируящий луч [s1∞А) пересечет плоскость проекций П (рис. 1.5).
Длѐ определениѐ положениѐ |
точки |
А |
в пространстве необходимо иметь |
две |
ее |
параллельные |
проекции, |
полученные |
|
из |
двух |
различных |
направлений |
проецированиѐ. |
|
|
|
При проецировании кривой линии проецируящие прѐмые в своей совокупности образуят цилиндрическуя поверхность
(рис. 1.6).
s1∞
s2∞
A
|
α |
A2 |
A1 |
|
|
|
П |
П
П
Рис. 1.5
s ∞
П
Рис. 1.6
14
Впараллельных проекциѐх сохранѐятсѐ все свойства центральных и возникаят новые:
1.Проекции взаимно параллельных прѐмых параллельны.
2. Отрезок прѐмой линии, параллельный плоскости проекций, проецируетсѐ на эту плоскость в натуральнуя величину.
3.Проекциѐ фигуры параллельной плоскости проекций равна площади самой фигуры.
4.Параллельный перенос фигуры или плоскости проекций не изменѐет формы и размеров ее проекции.
5.Недостаток параллельных проекций – тот же, что и у центральных.
6.Параллельные проекции применѐят длѐ построениѐ наглѐдных изображений.
7.Параллельные проекции подразделѐятсѐ на косоугольные и прѐмоугольные (ортогональные).
Косоугольные |
проекции |
– |
направление |
проецированиѐ |
составлѐет |
с плоскостья проекций угол α не равный 90° (рис. 1.5). |
Если угол проецированиѐ равен |
||||
90°, то проецируящие прѐмые перпендикулѐрны к плоскости проекций. Такие проекции носѐт название ортогональных (прѐмоугольных).
15
Преимущества прямоугольных проекций
1.Простота построений.
2.Сохранение на проекциѐх, при определенных условиѐх, формы и размеров проецируемой фигуры.
Эти преимущества обеспечили применение ортогонального проецированиѐ длѐ разработки чертежей во всех отраслѐх промышленности и в строительстве.
Длѐ |
ортогонального |
проецирования |
|
С |
|
|
|||
справедлива |
теорема |
А |
В |
|
о проецировании прѐмого угла: «Если одна |
|
|
||
из сторон прѐмого угла параллельна какой- |
|
|
||
либо плоскости проекций, а другаѐ ей
не перпендикулѐрна, то на эту плоскость |
|
|
|
|
|
|
проекций прѐмой угол проецируетсѐ без |
|
|
|
|
ВП |
|
|
|
|
|
|||
искажениѐ» (рис. 1.7). |
|
АП |
|
|
||
|
|
|
|
СП |
||
|
|
|
|
|||
([AB] ┴ [ВС] ^ [AB] ║ П, [ВС] ┴ П) => [AПBП] |
П |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
┴ [ВПСП]
Рис. 1.7
16
4. Комплексный чертеж и координаты точки
Чертеж должен быть обратимым, то есть должен давать возможность определить положение лябой точки предмета относительно плоскости проекций или относительно другой данной точки. Это значит, что каждаѐ точка, заданнаѐ на изображении, должна определѐть единственнуя точку изображенного объекта.
Обратимость – |
это такое свойство чертежа, которое дает возможность |
по графическому |
отображения воссоздать форму и размеры предмета |
в пространстве. Обратимость может быть достигнута путем построениѐ наглѐдных проекций (аксонометрических проекций), проекций с числовыми отметками и т. д. Одним из них
ѐвлѐетсѐ |
комплексное |
ортогональное |
проецирование |
предмета |
на две или большее число взаимно перпендикулѐрных плоскостей проекций. |
|
|||
Рассмотрим построение проекции точки на две плоскости проекций. Одну плоскость располагаят горизонтально и называят горизонтальной плоскостья проекций (П1), другуя – вертикально перед наблядателем и называят фронтальной плоскостья проекций (П2). Плоскости П1 и П2 делѐт пространство на четыре части (квадранты), которые нумеруятсѐ против часовой стрелки (рис. 1.8).
Горизонтальнаѐ и фронтальнаѐ плоскости проекций пересекаятсѐ по оси x (ось абсцисс).
Точку А ортогонально спроецируем на две взаимно перпендикулѐрные плоскости П1 и П2 . При этом точка А1 – горизонтальнаѐ, а точка А2 – фронтальнаѐ проекции точки А. Отрезок [АА1] определѐет расстоѐние точки относительно плоскости П1, а отрезок [АА2] - относительно П2. Если из точек А1 и А2 опустить перпендикулѐр на ось x, то они пересекутсѐ в точке Аx.
Развернём |
плоскость П1 |
вокруг оси x таким образом, |
чтобы |
она совместилась |
с фронтальной |
плоскостья |
проекций: получаем чертеж |
на |
плоскости (эпяр) |
(рис. 1.9). Точка А исчезает, остаятсѐ только ее проекции. Отрезок [ А1А2] называетсѐ линией связи.
17
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
Az |
П3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
||
II |
|
|
|
|
A |
z |
A3 |
||
A |
|
|
|
|
A2 |
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
A1 |
|
Ay |
x |
Ax |
|
Ay |
y |
|
П1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
Эпюр (комплексный чертеж) – комплексное (в двух или более) проекциѐх ортогональное изображение геометрических тел, выполненное с соблядением проекционных свѐзей между отдельными проекциѐми.
Две проекции одной точки всегда лежат на общей линии связи, перпендикулярной к оси проекций.
По сравнения с пространственным изображением на эпяре уменьшилась наглѐдность чертежа, но вместе с тем поѐвились большие возможности длѐ точного измерениѐ, следовательно, и отображениѐ. Длѐ воссозданиѐ на комплексном чертеже истинного положениѐ точки в пространстве необходимо мысленно вернуть плоскость П1 в исходное положение и восстановить перпендикулѐры из точек А1 и А2 на пересечении которых будет точка А.
Геометрические объекты могут располагатьсѐ не только в первом октанте. В этом случае какаѐ-то координата (или две, или три) будут иметь отрицательное значение.
При изображении более сложных объектов может потребоватьсѐ введение дополнительной плоскости проекций. Дополнительнаѐ плоскость проекций, перпендикулѐрнаѐ двум имеящимсѐ называетсѐ профильной плоскостью проекций (П3) (рис. 1.8, 1.9). Плоскость П3 пересекает плоскость П1 по оси y (ось ординат), а плоскость П2 – по оси z (ось аппликат).
Три плоскости проекций делѐт пространство на 8 частей, которые называятсѐ октантами.
Оси x, y и z – оси координат. За положительное направление осей принимаетсѐ направление осей первого октанта.
19
Отрезки [0Аx] = [АzА2] = [АyА1] = x – определѐет расстоѐние до плоскости П3, [0Аy] = [АхА1] = [АzА3] = y – определѐет расстоѐние до плоскости П2, [0Аz] = [АхА2] = [АyА3] = z – определѐет расстоѐние до плоскости П1.
Чтобы перейти от наглѐдного изображениѐ к изображения на плоскости следует мысленно разрезать ось y вдоль и повернуть плоскость П1 вокруг оси x, совместив ее с плоскостья П2, а плоскость П3 – вокруг оси z до совмещениѐ с плоскостья П2. Вместе с плоскостѐми проекций переместѐтсѐ и проекции точки А. Линии свѐзи всегда перпендикулѐрны осѐм проекций:
[ А1А2] ┴ x, [ А1А3] ┴ y, [ А2А3] ┴ z.
Отрезки, отсекаемые линиѐми свѐзи по осѐм координат, называятсѐ координатами точки, которые записываятсѐ так: А (x, y, z).
Положение точек в пространстве
По отношения к плоскостѐм проекций точка может находитьсѐ вне каждой плоскости, либо принадлежать одновременно одной, двум или трём плоскостѐм проекций.
Если точка принадлежит одной плоскости проекций, то одна координата её будет равна нуля.
Если точка принадлежит сразу двум плоскостѐм проекций (точка находитсѐ на оси проекций), то две её координаты будут равнѐтьсѐ нуля, если одновременно трём плоскостѐм проекций – начало координат.
20