Концепции современного естествознания

явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние,

атакже область существования системы и оценить ее устойчивость.

Ксожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

Но сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с чем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

2.4.Классические проблемы математики

Главная польза математики заключается в применении ее для объяснения природы.

Д. Максвелл

Отыскать же единое неизменное и общее в изменяемом и частном составляет основную задачу познания.

Д.И. Менделеев

Сторонники машинной математики готовы отвергнуть всякое общее математическое исследование, если машина может дать численный ответ для любого конкретного варианта. Подобные взгляды заставляют вспомнить о госпоже Простаковой, не желавшей учить сына географии, раз он всегда может взять извозчика.

Д.А. Франк-Каменецкий, физик

112

Проблемы, связанные с построениями с помощью циркуля и линейки, возникли в Древней Греции в V-IV вв. до н. э.

1. Удвоение куба. Задача на построение куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не имеет решения.

2. Проблема правильных многоугольников. Задача на построение правильного n-угольника. К. Ф. Гаусс доказал в 1796 году, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда все нечетные простые множители числа n неодинаковы и имеют вид

Fk = 22 k+ 1 (простые числа Ферма).

Методы построения 17- и 257-угольников были известны К. Ф. Гауссу, однако впервые были опубликованы для 17-угольника К. Ф. фон Пфейдерером в 1802году, для 257-угольника – М. Г. фон Пуаккером в 1822 году.

В библиотеке Геттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы О. Гермеса, которая содержит метод построения многоугольника с числом сторон 65 537.

3.Трисекция угла. Задача о делении угла на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1834 году, что задача разрешима только для некоторых частных случаев (например, для углов в 90°).

4.Проблема гиппократовых луночек. Задача на построение равновеликого квадрата для плоской фигуры, ограниченной дугами двух окружностей (луночки). При отношении центральных углов дуг = 1:2, 1:3 и 2:3

решение было найдено Гиппократом в V в до н. э.; при отношении = 1:5 и 3:5 – М. Валлениусом в 1766 году и независимо от него Л. Эйлером в 1771 году. Других типов квадратируемых луночек при рациональном не существует (это доказали Н.Г. Чеботарев в 1935 году и А.В. Дороднов в

1947 году).

5.Квадратура круга. Задача на построение квадрата, равного по площади данному кругу. Ф.Линдеман показал в 1882 году, что такое построение неосуществимо, доказав трансцендентность числа П.

6.Проблема параллельных. Начиная с I в до н. э. делались попытки, исходя из остальных аксиом геометрии Евклида, доказать так называемую аксиому о параллельных: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а. Создав в 1826 г. новую неевклидову геометрию, Н.И. Лобачевский доказал, что аксиома параллельных не выводится из остальных аксиом.

7.Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии. Проблема возникла в Древней Греции в связи с критикой первой попытки (Евклид, IX в до н. э.) построить полную систему аксиом так, чтобы все

113

утверждения элементарной геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. Такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г.

8.Проблема уравнений 5-й и высших степеней – основная проблема алгебры комплексных чисел.

Задачи, возникшие после того, как в Италии в 1530-х гг. были получены формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней.

8а. Для уравнения n-ой степени (n = 5) найти формулу, выражающую его корни через коэффициенты при помощи четырех арифметических действий и извлечения корня. Н.Х. Абель доказал в 1826 г., что общей формулы для всех уравнений 5-й степени не существует. Э. Галуа указал

в1831 г. условия существования такой формулы для уравнения произвольно заданной степени n.

8б. Показать, что уравнение n-ой степени с комплекснозначными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. К.Ф. Гаусс в 1799 г. привел доказательство этого факта, доказав основную теорему алгебры комплексных чисел.

9.Проблема Ферма (великая теорема Ферма). Утверждение теории чисел, согласно которому уравнение хn + yn = zn, при n > 2 не имеет целых положительных решений, опубликована П. Ферма в 1670 г. Американский математик Э. Уайле доказал теорему Ферма в 90-х годах ХХ века.

10.Проблема Эйлера. Утверждение согласно которому уравнения:

не имеют целых ненулевых решений. Однако в 1966 г. удалось установить, что уравнение (2) имеет минимальное решение х = 27, у = 84, z = 110, u = 133, t = 144. В 1987 г. нашли минимальное решение уравнения

(1): х = 95 800, у = 217 519, z = 414 560, t = 422 481. Таким образом, ут-

верждение Эйлера оказалось ошибочным.

11.Проблема четырех красок. Английский математик А.Кели поставил в 1879 г. в Лондонском географическом обществе эту задачу. Можно ли всякую, расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета. К. Аппель и В. Хакен доказали в

1976 году, что так можно раскрасить любую карту.

Не все математики считают, что проблема 4х красок решена. Так как Аппель и Хакен существенным образом в своем доказательстве использовали счет на компьютерах, то можно предположить, что в компьютерах мог произойти сбой и результат неверен. Без компьютеров обойтись пока нельзя, т.к. слишком много переборов разных вариантов.

12.Проблема континуума (континуум-гипотеза). Задача, поставленная

114

Г. Кантором в 1878 году: выяснить, существует ли множество, в котором больше элементов, чем во множестве всех натуральных чисел, и меньше, чем во множестве всех вещественных чисел. К. Гедель в 1938 году и П. Коэн в 1963 году показали, что как существование, так не существование такого множества не выводятся из аксиом теории множеств.

Математика описывает математические предметы с помощью формальных структур и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют. Математика изучает не материальные предметы, а абстрактные понятия, методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.).

Принципиально математическое единство всего естествознания отражает всеобщую гармонию самой Природы и, поэтому должно выражаться математической логикой описания детерминированных структурных элементов материи.

Таким образом, с помощью математики можно исследовать весь окружающий мир, она входит в методологию исследования всех естественных и гуманитарных наук.

115

Глава 3. Основные концепции физики

Мы – физики, трудяги и Эйнштейны. Вселенная, в которой мы живем, нам кажется не слишком совершенной. Мы скоро переделаем ее.

Один из вариантов гимна студентов физического факультета МГУ

Теоретики – поэты физики. Теоретик верит себе, а другие ему не верят, экспериментатор в себе сомневается, а другие ему верят.

Пословица

3.1. Предмет физики

Физика (от греч. physis – природа) – наука, изучающая наиболее фундаментальные закономерности и свойства материального мира и занимающая особое место в системе естественнонаучного знания, ибо именно ее законы составляют основу современного естествознания.

Физические закономерности носят универсальный характер, т.е. любая материальная система (например, химическая), обладая своей спецификой, тем не менее, основывается на законах природы, выявляемых физикой. Очевидно, что «более высокая» форма материи (биологическая) отнюдь не сводится к ее «более низким» (физическая) формам. Однако именно в процессе такого сведения (редукционизма) были достигнуты наиболее конструктивные результаты в науке: в химии – появление квантовой химии, в биологии – молекулярной генетики и т.п.

Более того, выявляя фундаментальные закономерности объективной реальности, физика стала наиболее развитой сферой современного научного знания, обладая необходимыми теоретическим аппаратом и эмпирическими методами. Использование этого аппарата и методов другими науками существенно повышает их статус в динамике познавательного процесса.

Закономерности материального мира (законы природы), выявляемые физикой, представляют собой систему утверждений (теории, принципы, законы, гипотезы и т.п.), дающих идеализированное представление о физических объектах. Совокупность физических законов, теорий и принципов формирует физическую картину мира, т.е. идеальную модель природы, соответствующую конкретным, исторически обусловленным этапом развития естественнонаучного познания, стилям естественнонаучного мышления.

Физическая картина мира основывается на складывающихся представлениях о веществе и формах его проявлений, специфике интерпретации пространственно-временных отношений, понимании сущности движения,

116

причинности и др. эти представления формируются в рамках складывающейся системы физического знания (эмпирические данные, научные методы и теории и т.п.).

Понятие состояния физической системы является центральным элементом физической теории. Оно подразумевает совокупность данных, характеризующих особенность рассматриваемого объекта или системы в данный момент времени. Оказывается, что для описания поведения како- го-либо объекта одних только законов природы недостаточно, важно знать также начальные условия, описывающие состояние данного объекта в начальный момент времени. По словам великого математика Е. Вигнера, «именно в четком разделении законов природы и начальных условий и состоит удивительное открытие ньютоновского века» [16].

Состояние физической системы – это конкретная определенность системы, однозначно детерминирующая ее эволюцию во времени. Для задания состояния системы необходимо:

–определить совокупность физических величин, описывающих данное явление и характеризующих состояние системы, – параметры состояния системы;

–выделить начальные условия рассматриваемой системы (зафиксировать значения параметров состояния в начальный момент времени);

–применить законы движения, описывающие эволюцию системы. Параметрами, характеризующими состояния механистической систе-

мы, являются совокупность всех координат и импульсов материальных точек, составляющих эту систему. Задать состояние механической системы, значит, указать все координаты ri (хi, уi, zi,) и импульсы Рi, всех материальных точек. Основная задача динамики состоит в том чтобы, зная начальное состояние системы и законы движения (законы Ньютона), однозначно определить состояние системы во все последующие моменты времени, то есть однозначно определить траектории движения частиц. Траектории движения получаются путем интегрирования дифференциальных уравнений движения. Траектории движения дают полное описание поведения частиц в прошлом, настоящем и будущем, то есть характеризуются свойствами детерминированности и обратимости. Здесь полностью исключается элемент случайности, все заранее жестко причинно-след- ственно обусловлено. Считается, что задать начальные условия можно абсолютно точно. Точное знание начального состояния системы и законов движения ее предопределяет попадание системы в заранее выбранное, «нужное» состояние.

Все работы в теоретической физике можно разделить на три основных класса: стратегические, тактические и оперативные.

Стратегические работы определяют развитие физики не только на се-

117

годняшний день, но и на много (иногда на сотни, как в случае механики Ньютона) лет вперед. Физики-стратеги занимаются созданием фундаментальных теорий, в основе которых лежат принципы, имеющие всеобщую приложимость. Новые фундаментальные физические уравнения, предлагаемые стратегами, обладают абсолютной предсказуемостью в тех областях, где справедливы принципы теории.

Основным методом работы стратегов является интуиция, которая позволяет им постоянно следовать внутренней логике развития физической науки. Как правило, такое состояние достигается на основе глубокого анализа трудов предшественников, их критического осмысления и последующего конструктивного обобщения.

Стратеги являются создателями новой картины мира, поднимая общественное сознание еще на одну более высокую ступень, что считается весьма сложной работой. Судьба стратегических работ, как правило, драматична. По этому поводу И. Ньютон заметил: «Либо не надо сообщать ничего нового, либо всю жизнь надо затратить на защиту своего открытия». На стратегические работы у исследователей уходят десятки лет.

Тактические работы – это уже более детальная разработка различных фрагментов стратегической работы. Физики-тактики занимаются поиском принципиальных следствий, вытекающих из фундаментальных уравнений, организуют крупные научные школы и направления.

Особым разделом тактической работы является создание феноменологических и полуфеноменологических теорий, представляющих собой первый шаг на пути поиска фундаментальной теории. Тактические работы выполняются в течение нескольких лет.

Наконец большинство физиков-теоретиков занимается оперативной работой, т.е. решением уравнений, найденных стратегами и тактиками, с тем чтобы внедрить результаты фундаментальных и феноменологических исследований в практику.

Оперативные работы делаются в течение нескольких дней или месяцев. Если стратегические и некоторые тактические работы с самого начала обычно встречаются научной общественностью в штыки, то работы оперативные кажутся бесспорными. Оперативные работы требуют энциклопедических знаний и прекрасного владения математическим аппаратом. Во времена застоя стратегической мысли физики-теоретики, занимающиеся оперативной работой, быстро делают научную карьеру и задают тон исследованиям других физиков. Происходит развитие и совершенствование формальных методов исследования, которые, кстати, активно используются стратегами и тактиками следующего периода развития физики.

Все физические теории можно разделить на три больших класса: фун-

118

даментальные, феноменологические (или конструктивные) и полуфеноменологические.

Фундаментальные теории базируются на физических принципах, имеющих всеобщую приложимость (конечно, в тех рамках, в которых эти принципы справедливы). Уравнения фундаментальных теорий обладают «абсолютной» предсказуемостью, т.е. теоретические предсказания явлений, сделанные на основании точных решений фундаментальных уравнений, полностью подтверждаются экспериментальными фактами. Это свойство фундаментальных уравнений делает их бесценными и наиболее совершенным орудием исследования природы.

Обобщение фундаментальных теорий – стратегическая задача теоретической физики – представляет собой наиболее трудоемкую работу для физика-теоретика. Физиков, которые создавали или обобщали уже существующие фундаментальные физические теории, можно пересчитать по пальцам. Примерами фундаментальных физических теорий являются: теории гравитации Ньютона и Эйнштейна, электродинамика МаксвеллаЛоренца, и т.д.

В отличие от фундаментальных теорий, в которых применяется аналитический метод, феноменологические используют метод синтетический. Эти теории возникают в физике под давлением экспериментальных фактов и представляют собой скорее метод для систематизации данных опыта в тех областях физики, где фундаментальные теории еще не созданы.

Потенциалы взаимодействия в феноменологических теориях подбираются искусственным образом так, чтобы удовлетворительно описать феноменологические взаимодействия. Как правило, в феноменологические потенциалы входят одна или несколько подгоночных констант, значения которых определяются путем согласования теории с данными эксперимента. Феноменологические теории обладают слабой предсказательной силой (образно говоря, предсказывают на расстоянии вытянутой руки) и не раскрывают истинной природы физического явления. Примерами феноменологических теорий являются теории ядерных сил, электромагнитных формфакторов и др.

Как известно, ядерные взаимодействия были впервые обнаружены Э. Резерфордом при исследовании упругого рассеяния α-частиц (ядер гелия) в кулоновском поле ядер тяжелых элементов. Ученому удалось показать, что на расстояниях r >> 10–12 ÷ 10–13 см от центра ядра взаимодействие α-частиц и ядер описывается фундаментальным потенциалом Кулона. На расстояниях же порядка 10–12 ÷ 10–13 см от центра ядра было обнаружено отклонение от фундаментального кулоновского рассеяния.

Существующие теории фундаментальных частиц носят полуфеноменологический характер. В основе каждой из них лежит фундаментальная

119

теория, усложненная добавочными предположениями феноменологического характера. Наиболее яркий пример полуфеноменологической теории – теория электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глэшоу

[17].

Создание феноменологических и полуфеноменологических теорий – оперативная задача теоретической физики. Подобные теории представляют собой всего лишь промежуточный этап при создании фундаментальной теории, и основная цель теоретической физики состоит в замене феноменологических и полуфеноменологических теорий фундаментальными.

Следует отметить, что А. Эйнштейн никогда не занимался теорией ядерных сил, электромагнитных или какой-либо другой феноменологической теорией. Для себя он считал эту работу бесполезной, полагая, что «теории, которые постепенно приспосабливаются к наблюдаемым данным, приводят к страшному накоплению разрозненных утверждений».

Опасения А. Эйнштейна не были напрасными, поскольку современные теории объединительного характера представляют собой пеструю картину многих аналитически трудно объединяемых явлений. Идет процесс дезинтеграции науки, и теоретикам приходится больше запоминать, чем понимать физические явления. Дело дошло даже до того, что теоретикам приходится составлять словари для объяснения многих понятий и явлений в области микромира.

Oдним из элeмeнтoв coвpeмeннoй физической картины мира является стиль естественнонаучного мышления, т.е. исторически складывающаяся общность научных представлений, методов и принципов познания. Существуют различные стили естественнонаучного мышления (механистический, вероятностный и др.), соответствующие механистической (классической) или вероятностной (неклассической) картине мира.

Физика исторически занимает лидирующее место в системе естественнонаучного познания: именно развитие физического знания обусловило формулирование наиболее фундаментальных законов природы; кроме того, достижения физики способствовали конструктивному развитию всей системы современного научного знания.

Во второй половине XX в. использование физических законов и методов существенно способствовало изменениям в системе биологических наук, которые все более приближаются к статусу лидирующих наук. Очевидно, что развитие биологии и смежных с ней областей обусловлено именно взаимосвязью с физикой, применением ее методов в исследованиях биологических объектов. Тем самым конструктивное накопление научного знания происходит в смежных областях, где сочетаются методы различных наук. Подобная тенденция способствует развитию как всей

120