Концепции современного естествознания

доказал, что если формальная арифметика действительно непротиворечива, то это недоказуемо ее средствами. Можно показать, что то же самое относится к любой формализованной математической теории, не уступающей по своим выразительным средствам формальной арифметике.

Осмысление содержания упомянутой теоремы Геделя выделилось в конечном итоге в три важных вывода: а) несостоятельны универсальные программы обоснования непротиворечивости математики; б) обоснование математики в целом не может быть не чем другим, как обоснованием ее непротиворечивости; в) обоснованием непротиворечивости математики является многоступенчатый процесс всестороннего совершенствования математического знания.

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (без общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определенные количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводя, в предположении независимости перемещений каждой частицы

91

от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере – законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере – дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений. А также и наоборот: когда практически решают дифференцированные уравнения, от производных переходят к разностям и получают дискретную модель.

В биологических науках математический метод играет более подчиненную роль. В еще большей степени, чем в биологии, математический метод уступает свое место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математического метода в биологических, социальных и гуманитарных науках осуществляется главным образом через кибернетику. Существенным остается значение математики для социальных дисциплин (как и для биологических наук) в форме подсобной науки – математической статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод часто отступает на задний план.

Начала арифметики и элементарной геометрии возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своем развитии на запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т.д.). Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частыми производными впервые было начато с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т.д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей – теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математической логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближенного решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближенного решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных

92

уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. В связи с возможностями, которые открыли ЭВМ для решения практических задач, все большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретической математики дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная математика сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практических проблем, включая проблемы использования атомной энергии и космического исследования. В основаниях любой математической дисциплины непременно обнаруживаются некоторые математические элементы и постулируемые различия между ними. При этом для построения математической системы используются, как правило, два метода: аксиоматический и конструктивистский.

A PROPOS (фр.) – кстати

На случай аварии… В машинном зале компьютеров, обслуживающих Центр исследований высокоэнергетических частиц в Чикаго, на специальной подставке стоит стеклянный куб с надписью: «При аварии разбить стекло!» В кубе находятся обыкновенные счеты.

При аксиоматическом методе исходят из аксиом (исходных положений теории) и правил вывода (дедукции) из них других положений.

Как отметила профессор С.А. Яновская, решить математическую, например, геометрическую задачу – значит свести ее к композиции уже решенных, в частности, на конечном этапе к аксиомам. Поэтому аксиоматика в математике – ее принципиальная, неотъемлемая особенность. Ранее считалось что, математики нет и не может быть без полной системы аксиом для каждого из ее разделов, однако Гедель доказал теорему о неполноте, из которой следует, что аксиомная теория не может быть полной. Математика – это язык для описания процессов и явлений, который без строгих правил не может дать результатов.

Для физики решить задачу – значит получить конкретный результат, заведомо приближенный, справедливый в практических условиях: получить число, зависимость. В физике полнота системы аксиом решающей роли не имеет.

Проиллюстрируем особенности математических аксиом на примере определения прямой и плоскости из школьного учебника геометрии. Посмотрите, насколько сложно математическое определение элементарного, казалось бы, обобщения понятий о проведенной по линейке линии или о поверхности стола. «Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек». И даже это еще не полное опре-

93

деление прямой. Для полноты необходимо еще привести несколько аксиом, но мы их опустим. В чем дело, почему необходимо такое сложное, на первый взгляд бессмысленное, определение прямой и плоскости? Да потому, что природных объектов, точно соответствующих рассматриваемым в геометрии, т.е. имеющих протяженность без толщины, не существует. Именно поэтому появилось волевое утверждение в определении: «существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость». Не менее тысячелетия понадобилось человечеству для формирования и внедрения в науку такой модели реальных тел.

Прямые и плоскости должны состоять из чего-то – из математических точек. Но как математические точки, не имеющие конечных размеров, не имеющие поэтому и частей, могут заполнять математическую прямую или плоскость? Ведь одна из их частей должна касаться одной соседней точки, а другая – другой. Но для этого они должны иметь протяженность, что противоречит их определению. И вот появляется вторая часть аксиомы: «каждая прямая и каждая плоскость есть … непустое множество точек». Опять утверждение – несмотря ни на что идеализированный объект существует. Естественно, что в науке используется своя терминология, в частности, для этого утверждения – «непустое множество».

Вопрос о том, каким образом математические точки могут непрерывным образом заполнять прямую, плоскость, объем для своего разрешения потребовал далеко не тривиальных условий. Фундаментальный для всей науки раздел математики, посвященный предельному переходу, разрешает этот парадокс. Вводится понятие об «ε-окрестности» точки, и математическая точка становится пределом последовательности чисел или непрерывной функции, благодаря чему нематериальные, не имеющие частей математические точки, линии, поверхности приобретают способность непрерывным образом заполнять геометрические объекты. Создание последовательной теории пределов и ее использование для обоснования основ дифференциального и интегрального исчисления завершилось совсем недавно, всего только в середине – конце ХIХ века, т. е. почти на два тысячелетия позже создания геометрии Евклидом. Эффективность применения этих идеализированных образов лежит, без преувеличения, в основе всей научно-технической революции, а противоречия сопряжения реального и его моделей обычно становятся основой фантастических надежд. Например, в романе известного писателя-фантаста Герберта Уэллса «Машина времени» обоснование возможности путешествий во времени ищется именно в противоречии математических определений прямых

иплоскостей с реальными объектами.

Впоследнее время в математике получила развитие фрактальная геометрия. Фракталы, множества с крайне нерегулярной разветвленной или

94

изрезанной структурой. Термин введен Б. Мандельбротом в 1975 г. Основной характеристикой фрактала является дробная (так называемая фрактальная) размерность. Примеры естественных фракталов – береговая линия, снежинки, траектории броуновского движения. Фракталы возникают в процессах нелинейной динамики, гидродинамики, при фазовых переходах и др.

Вматематике широко используются символьные записи, а не громоздкие словесные выражения. Замена естественного языка математическими символами называется формализацией. Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода доказательства формулы называются теоремами. Таково описанное вкратце содержание аксиоматического метода.

Вслучае конструктивистского метода исходят из принимаемых интуитивно очевидными математических конструктов, на их основе строят более сложные, чем они, элементы (а не выводят формулы), в процессе конструирования этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов.

Математик непременно оперирует конструктами, часть из которых принимается интуитивно, выражаясь точнее, на основе обобщения доступного ему математического опыта, а другие либо дедуцируются из аксиом, либо конструируются, чаще всего в форме последовательно осуществляемых символьных записей. Для математика важно задать отличие математических конструктов друг от друга. В синтаксическом ряду знаков они, будучи взаимосвязаны между собой, смотрятся в зеркало друг друга. В естествознании чувства, мысли, слова и предложения несут информацию об изучаемых природных явлениях, они обращены в сторону природы. В математике дело обстоит принципиально по-другому, здесь математические конструкты «не смотрят по сторонам», они соотносятся исключительно друг с другом.

Не прекращавшийся рост математического знания, сопровождаемый изобретением все более и более непривычных конструктов, ставил под сомнение мнения тех ученых, которые продолжали настаивать на эмпи-

рической природе математики. Комплексные числа (типа −1), сложные метаморфозы дифференциальных форм, предполагающих оперирование с бесконечно малыми величинами – все это вроде бы отсутствует в эксперименте. Стало ясно, что ход математических доказательств не поддается прямому сопоставлению с экспериментальной реальностью.

Дело обстоит так, что математическое знание прямо и непосредственно извлекается из экспериментальных данных. Оно вначале воображается,

95

следовательно, математики создают специфическую виртуальную реальность, которая, вполне возможно, обладает операциональным значением для естествознания и гуманитаристики. Как разъяснил еще в XVIII в. философ И. Кант, продуктивное воображение человека – его важнейшая способность. Действительно, в математике человек использует свое воображение эффективнейшим образом. Математические миры – это воображаемые миры. Было бы совершенно губительно для математики в угоду тем, кто без должных оснований настаивает на ее эмпирической природе, отрицать силу человеческого воображения, без которого последняя превратилась бы в довольно унылое мероприятие.

Но имеют ли воображаемые математические миры операциональное значение для естествознания? Не подобны ли они миражам? На этот счет история науки свидетельствует неопровержимым образом: воображаемые математические миры имеют для естествознания (и гуманитаристики) возможностное операциональное значение. Сохраняя свою относительную самостоятельность, математика не только не изолирована от естествознания, но и находится с ним в непрекращающихся союзных отношениях, что, кстати, свидетельствует об органической целостности и единстве науки, взаимосопряженности ее составных частей.

PAR OCCASION (фр.) – по случаю

Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер Математика есть способ называть разные вещи одним именем.

Анри Пуанкаре Механизм математического творчества, например, не отличается существенно от механизма какого бы то ни было иного творчества.

А. Пуанкаре Математик, так же как художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей.

Г. Вейль

В мире нет места для некрасивой математики.

Г. Харди Если услышите, что кто-то не любит математику, не верьте. Ее нельзя не любить – она и вовне и внутри нас. Ее можно только знать –

или не знать.

Г. Галилей

Математика имеет для всей науки в целом непреходящее операциональное значение. Почему это возможно? Потому что критерий непротиворечивости характерен не только для математики, но и для всей науки.

96

Выражаясь несколько метаморфически, можно сказать, что математическое знание перекачивается в естествознание (и гуманитаристику) по каналам непротиворечивости. В плане образцов непротиворечивости математика столь многообразна и богата, что всегда готова удовлетворить запросы своих «клиентов» из области естествознания (и гуманитаристики). И вот здесь начинается самое удивительное. Математическое знание столь детально, а порой необычно по форме, что оно часто вызывает у естествоиспытателей (и гуманитариев) не только чувство восхищения, но и известное недоумение. Обращение к арсеналу математических идей сплошь и рядом вынуждает естествоиспытателя не без удивления обнаружить, что упорядоченность изучаемых им феноменов намного больше, чем это казалось ему до своего математического прозрения. Весьма показательны в этом отношении успехи, связанные с использованием в естествознании, например, дифференциального и интегрального исчисления, так называемого математического анализа.

На первый взгляд, специалисты в области математического анализа занимаются довольно странными манипуляциями с бесконечно малыми величинами, производными, интегралами, изучают функции, находят их экстремальные значения и все это под эгидой понятия предела, развитого благодаря усилиям таких великолепных математиков, как К. Вейерштрасс и О. Коши. И вдруг выясняется, что в тиши кабинетов, вдали от физических и биологических лабораторий сотворено нечто такое, что имеет и для физики, и для биологии (и для различных разделов гуманитарного знания) непреходящее значение.

Естествоиспытатель из знания уравнения, описывающего изучаемые явления, извлечет важную информацию. Что касается самого этого уравнения, то его поиск обычно ведется с опорой на экспериментальные данные, но в контексте известных исследователю математических знаний они постоянно встают перед взором исследователя. Современная наука – далеко не простое мероприятие, она требует изощренности ума и воображения, высокой компетентности в области различных разделов математики, каковых достаточно много и которые не поддаются унификации, в том числе и на основе теории множеств, главного, но не единственного оплота современной математики.

Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (теория алгоритмов, теория информации, исследование операций, теория игр).

97

На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла конечная или дискретная математика.

Вопросы о наилучшем управлении физическими или математическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях – к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Итак, математика, поскольку в ней не используется критерий подтверждаемости, отличается от естествознания, но вместе с тем используется в нем. Единство математики и естествознания, опора на математику

вэкспериментальных науках приводит к тому, что она порой зачисляется

вестествознание. Часто говорят, что есть «чистая» математика и прикладная математика. Утверждается также, что математика изучает объекты реального мира, но абстрагируется от их конкретного содержания. Споры вокруг статуса математики продолжаются, и им не видно конца.

Математика – относительно самостоятельная часть науки, которая обладает такой спецификой, которая делает несостоятельной ее зачисление

вобласть то ли естествознания, то ли гуманитаристики (где она также широко используется). Математике чужды семантический критерий подтверждаемости и прагматический критерий эффективности. Несмотря на принципиальное различие математики, естествознания и гуманитаристики

между ними существует некоторая синтаксическая общность (простой пример: у = х2 встречается в любой науке, но при этом под у и х понимаются специфические вещи, понятия, ценности, параметры). Именно эта общность как раз и является основанием того, что выше обозначалось как «использование математики в естествознании и гуманитаристике». Между математикой и гуманитаристикой существует некоторая синтаксическая общность, но лишь частичная. Синтаксические достоинства математики намного богаче синтаксических реалий естествознания, равно как и гуманитаристики. Наличие общности между математикой и естествознанием не является достаточным основанием для их отождествления (если А и В имеют нечто общее, то отсюда не следует, что А есть В).

Строго говоря, выражение «использование математики в естествознании» нельзя отнести к числу ясных по своему смыслу. Упомянутое «использование» фактически является установлением взаимно однозначного соответствия между математическими и естественно-научными структу-

98

рами. При этом каждый тип структур сохраняет свою специфику. Следует отметить, что лица, компетентные во взаимоотображениях математических и нематематических структур, занимаются междисциплинарными исследованиями. Так, компетентный в области математической физики ученый является одновременно знатоком как математики, так и физики.

2.2. Понятие хаоса

Природа даже в состоянии хаоса может действовать только правильно и слаженно

И. Кант

Понятия, ранее являвшиеся достоянием узкого круга ученыхспециалистов, сейчас становятся широко используемыми в различных областях знания, причем специфика той или иной области соответствующим образом корректирует смысл, вкладываемый в данное понятие. Такие междисциплинарные, общезначимые понятия далеко выходят за рамки конкретного контекста и тех специальных задач, в связи с которыми они первоначально и возникли. В развитых областях наук о природе «есть некоторые более основные проблемы, есть учения и явления, есть коренные методологические вопросы, есть, наконец, характерные точки или представления о космосе, которые неизбежно и одинаковым образом затрагивают всех специалистов, в какой бы области наук они ни работали. Каждый из них подходит к этим основным и общим явлениям с разных сторон, иногда касается их довольно бессознательно».

Понятие «хаос» мы можем встретить и в точных науках, и в естественных, также в науках об обществе. Тема хаоса затрагивается почти во всех религиях, что принято называть тайными учениями – там, где речь идет о таких вещах, как рождение, возникновение, развитие нашего мира, Вселенной. Вообще само это слово (субъективно) несет в себе отсвет че- го-то запредельного, метафизического – и, как следствие, активно используется при всяком удобном и неудобном случае околонаучными «любителями». Это, очевидно, тоже некоторая принадлежность, определенный штрих нашего времени. Времени, когда происходит смена научной парадигмы, самая, пожалуй, масштабная с момента создания общей теории относительности, квантовой механики (т.е. начала 20 века) – с тех пор, как известно, классической ньютоновской динамике в картине физическою описания мира стали отводить место частного случая.

Теория относительности развеяла представления Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика похоронила мечту о детерминизме физических событий, а хаос развенчал теорию Лапласа о полной предопределенности развития систем. Из этих трех открытий

99

лишь теория хаоса применима к Вселенной, которую мы можем ощущать, наблюдать и изучать, т.е. к объектам, которые доступны человеку. Повседневный опыт и реальная картина мира стали уместным предметом исследований. Зрело ощущение, разделяемое многими философами и физиками, что теоретическая физика уклонилась от интуитивных представлений человека о мире, умножая сущности, имеющие малое отношение к действительности. Оставляя в сторону вопрос об обоснованности такого взгляда, можно тем не менее указать, что некоторые специалисты, считавшие, что физика загоняет себя в угол, видят в хаосе выход из тупика. Объективно новую смену парадигмы можно связать с тем, что, начиная со второй половины XX века, в науке, как никогда ранее, стало проявляться стремление к интеграции знания, примером чего могут служить кибернетика Н. Винера, системный подход Л. Берталанфи, программа синтеза и анализа образов У. Гренандера, теория катастроф Р. Тома и К. Зимана, фрактальная теория Б. Мандельброда, теория самоорганизации «диссипативных» структур, известная по работам И. Пригожина, синергетика Г. Хакена. По существующим определениям, синергетика изучает процессы самоорганизации в открытых системах. Она исходит из термодинамики и предметом своего изучения имеет антиэнтропийные процессы в диссипативных структурах. Процессы самоорганизации оказались универсальными для целого ряда систем. Было также обнаружено, что нелинейные динамические системы, включая и те, которые описываются простейшими уравнениями, при отсутствии случайных внешних воздействий могут демонстрировать поведение, отличное от детерминистического, т.е. непредсказуемое, хаотическое. Хаос оказался «вездесущим».

Явления динамического хаоса и самоорганизации потребовали философского осмысления, так как ввели в науку целый ряд новых, весьма общих понятий, изменили привычные представления о движении и развитии самых разных систем. Концепция динамического хаоса и самоорганизации стала новой общенаучной парадигмой. В их основу легла качественная теория динамических систем, или нелинейная динамика, которая создала специальный математический аппарат и новый нелинейный язык, чем изменила господствующее до этого в науке линейное мировоззрение, приобрела огромный круг приверженцев. В отличие от прежних, эта новая парадигма охватила не только физику, но и многие другие, науки, став действительно общенаучной. Во всяком случае, явление хаоса уже дало новые важные инженерные идеи, привело к созданию на их основе устройств и теорий, уже используемых на практике. Очевидно, что тема хаоса требует сейчас широкого философского осмысления с множества позиций, возможностей раздвинуть горизонты современной науки и необходимости рассмотреть собственно сложившуюся в науке ситуацию в связи

100