Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МК_Справочник_том_1

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

08.05.2015

Размер:

6.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 5755 56 57 > Следующая >>>

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab;

(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2; a2 − b2 = (a + b)(a − b);

С двумя неизвестными

a1x + b1y + c1 = 0; x = b1c2 − b2c1 ; a1b2 − a2b1

a2x + b2y + c2 = 0; y = c1a2 − c2a1 ; a1b2 − a2b1

18.4. ÎСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Формулы сокращенного умножения

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc;

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3ac2 + 3bc2 + 3b2c + 6abc; a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2); a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Степени и корни

= a−n; (am)n = amn; n am = a

aman = am+n; am an = am−n; a0 = 1;

Линейные уравнения:

С тремя неизвестными

a x + b y + c z + d = 0; x = -

A1d1 + A2d2 + A3d3

;

A1 = b3c2 − b2c3;

A1a1 + A2a2

+ A3a3

A2 = b1c3 − b3c1;

x + b y + c

z + d

= 0;

y = -

B c + B

+ B c

A3 = b2c1 − b1c2;

1 1

3 3

;

B1 = a3d2 − a2d3;

A a + A a

+ A a

x + b y + c

z + d

= 0;

z =

B b + B b + B b

B2 = a1d3 − a3d1;

1 1

2 2

3 3

;

B3 = a2d1 − a1d2;

A a + A a

+ A a

Квадратные уравнения

x2 + px + q =

0; x = −

− q ; ax2 + bx + c = 0; x =

−b ± b2 − 4ac

Логарифмы

Aa = N ; lg

N = a; lg1 = 0;

lg(N

× N

) = lg N

+ lg N

; lg

= lg N

- lg N

; lg N n = n lg N ;

lg n N =

lg N ;

ln x = 2,302585 lg x;

lg x = 0,434294 ln x

541

Прогрессии

Прогрессия

Члены прогрессии

Сумма n членов

Примечания

1-é

2-é

n-é

Арифметическая

a1+r

a1+(n-1)r

(a1 + an)n

r – разность прогрессии

Геометрическая

n-1

a(qn

- 1)

q – знаменатель прогрессии

a1q

q - 1

Соединения

Число размещений из n элементов по m, отличающихся составом или порядком элементов:

= n(n - 1)(n - 2)L(n - m + 1).

Число перестановок из n элементов по n, отличающихся только порядком элементов: Pn = 1 × 2 × 3.K,

n = n !

Число сочетаний из n элементов по m, отличающихся только составом элементов:

n(n - 1)(n - 2)L(n - m + 1)

n !

; C1 = n; Cm

= C n−m; Cn

= C0

= 1.

× 2 × 3Km

m !(n -

m)!

Бином Ньютона

n−1

n(n - 1)

n−2

n−1

(a + b)

= a

b +

+L+nab

+ b

2 !

18.5. ÎСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

	A	C
0	B	D

sin a =

;

tga =

sin a

;

sin2 a + cos2 a = 1;

cosa

cosa =

;

ctga =

cosa

;

1 + tg2a =

;

sin a

cos2 a

tga =

;

coseca =

;

1 + ctg 2a =

;

sin a

sin2 a

ctga =

;

seca =

tga

cosa

542

Формулы приведения и значения функций для некоторых углов

Функция

Данный угол

–α

90°−α

90°+α

180°−α

180°+α

270°−α

270°+α

360°−α

0°

30°

45°

60°

90°

sin

–sin α

+cos α

+sin α

–sin α

–cos α

–sin α

1 2

cos

cos α

+sin α

–sin α

–cos α

–sin α

+sin α

+cos α

1 2

–tg α

+ctg α

–ctg α

–tg α

+tg α

+ctg α

–ctg α

–tg α

±∞

ctg

–ctg α

+tg α

–tg α

–ctg α

+ctg α

+tg α

–tg α

–ctg α

+∞

Тригонометрические функции двух углов, двойного и половинного углов

Функции суммы и разности двух углов

Функции двойного и половинного углов

Суммы и разности функций двух углов

sin(α + β) = sin α cosβ + cosα sin β

sin 2α = 2 sin α cosα

sin α + sin β = 2 sin

α + β

cos

α − β

sin(α − β) = sin α cosβ − cosα sin β

cos 2α = cos2 α − sin2 α

sin α − sin β = 2 cos

α + β

sin

α − β

cos(α + β) = cosα cosβ − sin α sin β

tg2α =

2tgα

cosα + cosβ = 2 cos

α + β

cos

α − β

1 − tg2α

cos(α − β) = cosα cosβ + sin α sin β

sin

1 − cosα

cosα − cosβ = −2 sin

α + β

sin

α − β

tg(α + β) =

tgα + tgβ

cos

1 + cosα

tgα + tgβ =

sin(α + β)

1 − tgαtgβ

cosα cosβ

tg(α − β) =

tgα − tgβ

1 − cosα

tgα − tgβ =

sin(α − β)

1 + tgαtgβ

cosα cosβ

1 + cosα

ctg(α + β) =

ctgαctgβ − 1

–

ctgα + ctgβ =

sin(α + β)

ctgα + ctgβ

sin α sin β

ctg(α − β) =

ctgαctgβ − 1

–

ctgα − ctgβ =

sin(β − α)

ctgβ − ctgα

sin α sin β

543

18.6. ÐЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема синусов

sin A

(p − b)(p − c) .

= 2R;

sin

sin B

sinC

Теорема косинусов

= b2 + c2 − 2bc cos A;

cos

p(p − a)

;

S – площадь треугольника;

= a

+ c

− 2ac cosB;

p – полупериметр;

(p − b)(p − c)

= a2 + b2 − 2ab cosC;

tg 2

p(p − a)

;

R – радиус описанного круга.

a = b cosC + c cosB;

1 ab sinC = 2R2 sin A sin B sinC =

abc .

b = a cosC + c cos A;

S =

p(p − a)(p − b)(p − c) =

c = b cos A + a cos B.

Прямоугольные треугольники

Äàíî

Требуется определить

a, b

tg A =

tg B =

–

a2 + b2

a, c

sin A =

cosB =

–

c2 − a2

–

c2 − a2

A, a

–

90°–A

–

a ctg A

a2 ctg A

sin A

A, b

–

90°–A

b tg A

–

b2 tg A

cos A

A, c

–

90°–A

c sin A

c cos A

–

c2 sin 2A

544

Косоугольные треугольники

Äàíî

Требуется определить

a, b, c

cos A = c

− a

+ b

cosB = a

− b

+ c

cosC = a

+ b

− c

ab sinC

–

2bc

2ac

2ab

a, b, A

–

sin B =

b sin A

180°–A–B

–

b sinC

–

sin B

a, b, C

sin A =

a sinC

180°–A–C

–

a2 + b2 − 2ab cosC

ab sinC

a, B, C

180°–B–C

–

a sin B

a sinC

a2 sin B sinC

sin A

2 sin A

a, A, B

–

180°–A–B

a sin B

a sinC

a2 sin B sinC

sin A

2 sin A

18.7. ÏЕРЕВОД ГРАДУСОВ В РАДИАНЫ

Градусы – радианы

°	ðàä	°	ðàä	°	ðàä	°

1	0,0174533	31	0,5410521	61	1,0646508	91
2	0,0349066	32	0,5585054	62	1,0821041	92
3	0,0523599	33	0,5759587	63	1,0995574	93
4	0,0698132	34	0,5934119	64	1,1170107	94
5	0,0872665	35	0,6108652	65	1,1344640	95
6	0,1047198	36	0,6283185	66	1,1519173	96
7	0,1221730	37	0,6457718	67	1,1693706	97
8	0,1396263	38	0,6632251	68	1,1868239	98
9	0,1570796	39	0,6806784	69	1,2042772	99
10	0,1745329	40	0,6981317	70	1,2217305	100
11	0,1919862	41	0,7155850	71	1,2391838	101
12	0,2094395	42	0,7330383	72	1,2566371	102
13	0,2268928	43	0,7504916	73	1,2740904	103
14	0,2443461	44	0,7679449	74	1,2915436	104
15	0,2617994	45	0,7853982	75	1,3089969	105


ðàä	°	ðàä	°	ðàä

1,5882496	121	2,1118484	151	2,6354472
1,6057029	122	2,1292017	152	2,6529005
1,6231562	123	2,1467550	153	2,6703538
1,6406095	124	2,1642083	154	2,6878070
1,6580628	125	2,1816616	155	2,7052603
1,6755161	126	2,1991149	156	2,7227136
1,6929694	127	2,2165682	157	2,7401669
1,7104227	128	2,2340214	158	2,7576202
1,7278760	129	2,2514747	159	2,7750735
1,7453293	130	2,2689280	160	2,7925268
1,7627825	131	2,2863813	161	2,8099801
1,7802358	132	2,3038346	162	2,8274334
1,7976891	133	2,3212879	163	2,8448867
1,8151424	134	2,3387412	164	2,8623400
1,8325957	135	2,3561945	165	2,8797933

545

Продолжение

Градусы – радианы

°	ðàä	°	ðàä	°	ðàä	°

16	0,2792527	46	0,8028515	76	1,3264502	106
17	0,2967060	47	0,8203047	77	1,3439035	107
18	0,3141593	48	0,8377580	78	1,3613568	108
19	0,3316126	49	0,8552113	79	0,3788101	109
20	0,3490659	50	0,8726646	80	1,3962634	110
21	0,3665191	51	0,8901179	81	1,4137167	111
22	0,3839724	52	0,9075712	82	1,4311700	112
23	0,4014257	53	0,9250245	83	1,4486233	113
24	0,4188790	54	0,9424778	84	1,4660766	114
25	0,4363323	55	0,9599311	85	1,4835299	115
26	0,4537856	56	0,9773844	86	1,5009832	116
27	0,4712389	57	0,9948377	87	1,5184384	117
28	0,4886922	58	1,0122910	88	1,5358897	118
29	0,5061455	59	1,0297443	89	1,5533430	119
30	0,5235988	60	1,0471976	90	1,5707963	120

		Минуты – радианы

’	ðàä	’	ðàä	’	ðàä	”

1	0,0002909	21	0,0061087	41	0,0119264	1
2	0,0005818	22	0,0063995	42	0,0122173	2
3	0,0008727	23	0,0066904	43	0,0125082	3
4	0,0011636	24	0,0069813	44	0,0127991	4
5	0,0014544	25	0,0072722	45	0,0130900	5
6	0,0017453	26	0,0075631	46	0,0133809	6
7	0,0020362	27	0,0078540	47	0,0136717	7
8	0,0023271	28	0,0081449	48	0,0139626	8
9	0,0026180	29	0,0084358	49	0,0142535	9
10	0,0029089	30	0,0087266	50	0,0145444	10


ðàä	°	ðàä	°	ðàä

1,8500490	136	2,3736478	166	2,8972466
1,8675023	137	2,3911011	167	2,9146999
1,8849556	138	2,4085544	168	2,9321531
1,9024089	139	2,4260077	169	2,9496064
1,9198622	140	2,4434610	170	2,9670597
1,9373155	141	2,4609142	171	2,9845130
1,9547688	142	2,4783675	172	3,0019663
1,9722221	143	2,4958208	173	3,0194196
1,9896753	144	2,5132741	174	3,0368729
2,0071286	145	2,5307274	175	3,0543262
2,0245819	146	2,5481807	176	3,0717795
2,0420352	147	2,5656340	177	3,0892328
2,0594885	148	2,5830873	178	3,1066861
2,0769418	149	2,6005408	179	3,1241394
2,0943951	150	2,6179939	180	3,1415927

	Секунды – радианы

ðàä	”	ðàä	”	ðàä

0,0000048	21	0,0001018	41	0,0001988
0,0000097	22	0,0001067	42	0,0002036
0,0000145	23	0,0001115	43	0,0002085
0,0000194	24	0,0001164	44	0,0002133
0,0000242	25	0,0001212	45	0,0002182
0,0000291	26	0,0001261	46	0,0002230
0,0000339	27	0,0001309	47	0,0002279
0,0000388	28	0,0001357	48	0,0002327
0,0000436	29	0,0001406	49	0,0002376
0,0000485	30	0,0001454	50	0,0002424

546

												Продолжение

		Минуты – радианы							Секунды – радианы

’	ðàä	’	ðàä	’	ðàä		”	ðàä	”	ðàä	”	ðàä

11	0,0031998	31	0,0090175	51	0,0148353	11		0,0000533	31	0,0001503	51	0,0002473
12	0,0034907	32	0,0093084	52	0,0151262	12		0,0000582	32	0,0001551	52	0,0002521
13	0,0037815	33	0,0095993	53	0,0154171	13		0,0000630	33	0,0001600	53	0,0002570
14	0,0040724	34	0,0098902	54	0,0157080	14		0,0000679	34	0,0001648	54	0,0002618
15	0,0043633	35	0,0101811	55	0,0159989	15		0,0000727	35	0,0001697	55	0,0002666
16	0,0046542	36	0,0104720	56	0,0162897	16		0,0000776	36	0,0001745	56	0,0002715
17	0,0049451	37	0,0107629	57	0,0165806	17		0,0000824	37	0,0001794	57	0,0002763
18	0,0052360	38	0,0110538	58	0,0168715	18		0,000873	38	0,0001842	58	0,0002812
19	0,0055269	39	0,0113446	59	0,0171624	19		0,0000921	39	0,0001891	59	0,0002860
20	0,0058178	40	0,0116355	60	0,0174533	20		0,0000970	40	0,0001939	60	0,0002909

18.8. ÎРДИНАТЫ И УГЛЫ НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНЫХ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ОКРУЖНОСТИ, ЭЛЛИПСА

	y
	ϕ	f
	ϕ	x
		x
	0 12345678910	20

												Номер сечения и его относительная абсцисса
Формула					Величина
Формула					Величина	0 (20)		1(19)		2 (18)			3 (17)		4 (16)		5 (15)		6 (14)		7 (13)		8 (12)	9 (11)

							0,00		0,05		010,			015,		0,20		0,25		0,30		0,35	0,40		0,45

			1		2	3		4		5			6		7		8		9		10		11	12
												Парабола

y =	4 f			x(l − x)	y	0,00		0,19		0,36			0,51		0,64		0,75		0,84		0,91		0,96	0,99
y =	l 2			x(l − x)	y	0,00		0,19		0,36			0,51		0,64		0,75		0,84		0,91		0,96	0,99
	l 2
tg ϕ =		4 f (l − 2x)			tg ϕ	4,00		3,60		3,20			2,80		2,40		2,00		1,60		1,20		0,80	0,40
tg ϕ =					tg ϕ	4,00		3,60		3,20			2,80		2,40		2,00		1,60		1,20		0,80	0,40
				l2

			Множитель
	10		Множитель
			l
	0,50		l
	0,50

	13		14

	1,00		f
	0,00		f:l

547

																				Продолжение
		1			2		3	4	5	6	7	8		9	10	11	12		13	14
										Полуокружность
y2 = x(l - x)					y		0,000	0,218	0,300	0,357	0,400	0,433	0,458		0,477	0,490	0,497		0,500	l
tg j =		l - 2x			tg j		¥	2,064	1,333	0,980	0,750	0,577	0,437		0,314	0,204	0,101		0,000	1
tg j =		2	x(l - x)		tg j		¥	2,064	1,333	0,980	0,750	0,577	0,437		0,314	0,204	0,101		0,000	1
		2	x(l - x)
										Полуэллипс
y2 =	4 f 2		x(l - x)		y		0,000	0,436	0,600	0,714	0,800	0,866	0,916		0,954	0,980	0,994		1,000	f
y2 =		l2	x(l - x)		y		0,000	0,436	0,600	0,714	0,800	0,866	0,916		0,954	0,980	0,994		1,000	f
		l2
tg j =	f	×	l - 2x		tg j		¥	4,129	2,666	1,960	1,500	1,155	0,873		0,629	0,408	0,201		0,000	f:l
	l		x(l - x)
							18.9. ÏЛОЩАДЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ КРИВОЙ И ОСЬЮ КООРДИНАТ
						¹		Формула (сверху вниз						¹		Формула (сверху вниз
			Эскиз			ï.ï.		в порядке возрастания				Примечание		ï.ï.		в порядке возрастания				Примечание
								точности результата)								точности результата)
	h	η	η		η	1	F = b(0,5y0 + y1 + y2 +L+ym−1 + 0,5ym )									0	1	2	3
	h	η	η		η	1	F = b(0,5y0 + y1 + y2 +L+ym−1 + 0,5ym )
														4	+3y4 + 3y5		+ 2y6 +L+2ym−3 +			m – кратное
									m			m – четное				+ 3ym−2 + 3ym−1 + ym)				òðåì
						2			F = bå h							+ 3ym−2 + 3ym−1 + ym)
									1
								b												Для кривой не
						3		F = 3 (y0	+ 4y1 + 2y2	+ 4y3	+			5		l				выше третьего
			l			3		4	m−2	m−1	m			5		F = 6 (y0 + 4y0,5m + ym)				порядка;
								4	m−2	m−1	m									m – четное
																				m – четное
									По формуле (1)			.....................................................................................F= 0,156997
	y =		0,02	l = 1;	m = 10.				Òî æå		(2)	.....................................................................................F= 0,157121
Пример:	y =		1 + x2 ;	l = 1;	m = 10.				Òî æå		(3)	.....................................................................................F= 0,157088
									По формуле (4)			– на участке 0–0,9 è (5) – на участке 0,9 – 1..........F=0,157080
									Точное значение			.....................................................................................F= 0,15707963
																				548

18.10. ÎРДИНАТЫ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ

Определение ординат точек производят в такой последовательности:

1)определяют расстояние между ординатами à умножением величины радиуса на коэффициент Ê, соответствующий заданному радиусу;

2)находят число точек делением ñ íà à;

3)ординаты точек получают умножением радиуса на величину À, соответствующую данному номеру точки.

Пример. Исходные данные: R=8100 ìì; ñ=2700 ìì.

В таблице «Значения коэффициента Ê» находим коэффициент для данного радиуса К=0,018. Расстояние между точками à= RK= 8100· 0,018= 145,9 мм. Число точек (оно же число отрезков à)

n =	c	=	2700	= 18 точек.
	a		145,9

Остаток b = c - na = 2700 - 18 ×145,9 = 74 мм. Ординаты точек: S1 = RA1 = 8100 × 0,000162 = 1 ìì;

S2 = RA2 = 8100 × 0,000648 = 5 ìì;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S17 = RA17 = 8100 × 0,047968 = 389 ìì;

Значения коэффициента Ê			S18 = RA18 = 8100 × 0,053943 = 437 ìì.
R, ìì		K

Äî 6 000		0,025
6 000	– 8 300	0,018
8 300	– 16 500	0,009
16 500	– 30 000	0,005
30 000	– 50 000	0,003
50 000	– 100 000	0,0015

b		n´a
n		1
		2
s	1	s s	R	f
	n-		R
	n-
s		c	c
		c	c
c = RK b = c - na S = RA

¹ точки			Значение À	ïðè					¹ точки
¹ точки									¹ точки

	K=0,025	K=0,018	K=0,009	K=0,005		K=0,003	K=0,0015

1	2	3	4	5		6	7		8
1	0,000 313	0,000 162	0,000 041	0,000	012	0,000 005	0,000	001	1
2	0,001 251	0,000 648	0,000 162	0,000	050	0,000 018	0,000	005	2
3	0,002 817	0,001 459	0,000 365	0,000	112	0,000 041	0,000	010	3
4	0,005 013	0,002 595	0,000 649	0,000	200	0,000 072	0,000	018	4
5	0,007 843	0,004 058	0,001 013	0,000	313	0,000 112	0,000	028	5

549

									Продолжение

1	2	3	4	5		6	7			8
6	0,011 314	0,005 849	0,001 459	0,000	450	0,000 162	0,000	041		6
7	0,015 432	0,007 970	0,001 986	0,000	613	0,000 220	0,000	055		7
8	0,020 204	0,010 422	0,002 595	0,000	801	0,000 288	0,000	072		8
9	0,025 641	0,013 209	0,003 286	0,001	013	0,000 365	0,000	091		9
10	0,031 754	0,016 333	0,004 058	0,001	251	0,000 450	0,000	112		10
11	0,038 556	0,019 798	0,004 913	0,001 514		0,000 545	0,000	136		11
12	0,046 061	0,023 607	0,005 849	0,001	802	0,000 648	0,000	162		12
13	0,054 286	0,027 763	0,006 868	0,002	115	0,000 761	0,000	190		13
14	0,063 250	0,032 273	0,007 970	0,002	454	0,000 882	0,000	220		14
15	0,072 976	0,037 140	0,009 155	0,002	817	0,001 013	0,000	253		15
16	0,083 485	0,042 370	0,010 422	0,003	206	0,001 153	0,000	288		16
17	0,094 807	0,047 969	0,011 774	0,003	620	0,001 301	0,000	325		17
18	0,106 971	0,053 943	0,013 209	0,004	058	0,001 459	0,000	365		18
19	0,120 015	0,060 300	0,014 729	0,004	523	0,001 626	0,000	406		19
20	0,133 975	0,067 047	0,016 333	0,005	013	0,001 802	0,000	450		20
21	0,148 898	0,074 195	0,018 023	0,005	528	0,001 986	0,000	496		21
22	0,164 835	0,081 749	0,019 798	0,006	069	0,002 180	0,000	545		22
23	0,181 846	0,089 723	0,021 659	0,006	635	0,002 383	0,000	596		23
24	0,200 000	0,098 127	0,023 607	0,007	226	0,002 595	0,000	648		24
25	0,219 375	0,106 971	0,025 641	0,007	843	0,002 817	0,000	703		25
26	0,240 066	0,116 271	0,027 763	0,008	486	0,003 047	0,000	761		26
27	0,262 183	0,126 041	0,029 974	0,009	155	0,003 286	0,000	820		27
28	0,285 857	0,136 297	0,032 273	0,009	849	0,003 535	0,000	882		28
29	0,311 252	0,147 055	0,034 661	0,010	568	0,003 792	0,000	947		29
30	0,338 562	0,158 335	0,037 140	0,011	314	0,004 058	0,001	013		30
31	0,368 039	0,170 159	0,039 709	0,012	085	0,004 334	0,001	082		31
32	0,399 999	0,182 551	0,042 370	0,012	883	0,004 619	0,001	153		32
33	0,434 867	0,195 535	0,045 123	0,013	706	0,004 913	0,001	226		33
34	0,473 217	0,209 142	0,047 969	0,014	556	0,005 216	0,001	301		34
35	0,515 876	0,223 406	0,050 908	0,015	432	0,005 528	0,001	379		35

550

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 5755 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.11.201826.96 Кб1Мировая экономика.docx
#
04.08.201926.11 Кб2мировая экономика.docx
#
07.11.2019314.37 Кб6Мировая_экономика_Контрольная.doc
#
16.03.2016169.48 Кб13мировое хозяйство.rtf
#
08.05.2015189.05 Кб28МИСИК.docx
#
08.05.20156.85 Mб161МК_Справочник_том_1.pdf
#
08.05.20157.77 Mб159МК_Справочник_том_2.pdf
#
06.09.201940.06 Кб2мкб.docx
#
18.09.201966.05 Кб3МКД.doc
#
24.11.2019117.25 Кб1мкд.doc
#
08.05.2015195.36 Кб4ммм.docx